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1、解析几何在实际生活中的应用,解析几何既是应用数学专业的一门基础课，又在其他科学技术中有着直接的应用。例如，大部分机械零件的外形都是平面、柱面、椎面、球面等等曲面之一，或是它们的某种组合。这里不打算详细介绍解析几何在实际中的应用，因为那要涉及其他科技方面的知识。这里仅举几个简单的例子。,一、多面体零件的计算 一多面体零件如图所示，在制造时，需要求出二面角 、 、 和 的角度 和 ，以便制造测量样板，试求角 和 的值。,解 可以应用前面学过的知识解此问题。为此，先如上图所示，取坐标原点为C，建立直角坐标系Oxyz。各点的坐标已知为 其次，求出诸平面的方程。我们知道，过点 的平面方程为 于是过点 的
2、平面方程为,将点D、点A的坐标代入上式，有 解此方程，得 于是求得平面DAE的方程为 类似的可求得平面BAE的方程为 及平面FBE的方程为,平面CBF的方程为 平面GEF的方程为 最后，由平面夹角的余弦公式 可求得平面DAE和BAE的交角 的余弦,故 平面ABE和FBE的夹角 的余弦为 故 平面EBF和CBF的夹角 的余弦为,故 平面GEF和BEF的夹角 的余弦为 故 二、板金零件的展开图 图二是我们通常见到的二通管道变形接头或炉筒拐脖的示意图。制造这类零件，先按照,零件展开图的度量尺寸（展平曲线）在薄板（铁皮或铝板等）上下料，然后弯曲成型，并将各部分焊接在一起。 为了获得零件展开图的展平曲线
3、，必须求出截交线的方程。设圆柱管道的方程为 截平面的方程为,为求截平面与管道的截交线方程，将管道的方程改写成参数形式 将其代入截平面方程中，得,圆柱的底圆展平时有 ，即 ，这里 是弧长。将 代入上式，有 上式即是截交线（截平面与圆柱管道的交线）的展平曲线方程。 如果截平面是正垂面（平y轴） ： ，则截交线的展平曲线方程成为,即 这是一条调整过振幅的余弦曲线。,三、火力发电厂的供水塔 火力发电厂的供水塔（冷却塔）的横截面曲线均为圆，其半径R与塔高H的关系（见图4）为 度量单位为m。 令冷却塔的中心轴为z轴，z轴与地面的交点为原点，在地面上选一个方向y轴，则有,冷却塔半径R与塔高H的关系式可以改写
4、为 冷却塔的外形曲面的方程可以表示为 即 这正是旋转单叶双曲面。,四、交叉管道的距离 在工程中有时要将两条交叉管道连通，需求出连接管的最短长度和连接位置，这在几何上归结为求两条交叉空间（异面）直线的距离。两条异面直线的距离为这两条直线的公垂线的长度。 设两交叉管道AB与CD所在直线方程依次为,试求直线AB与CD的距离。 先过直线CD作平行于直线AB的平面，则其方程为,将上式左端的三阶行列式按第1行展开，得 因为直线AB平行于平面，故直线AB上任意一点到平面的距离即是两直线AB与CD的公垂线的长度。,因此，直线AB上的点 到平面 的距离为 这就是直线AB与CD之间的距离。,五、直纹曲面的应用实例
5、 （一）飞机机翼的外形曲面 我们来看飞机机翼的外形曲面，下图表示两个平行横截面之间的机翼外形。 横截面的边界是两条参数闭曲线，其方程为,作参数变换 和 ，这样有 和 对于同一参数 ，在两横截面的边界线分别对应两点 。这两点的直线向量式参数方程为 其中 为参数。当 从 时，上直线就连续地描出一张直纹曲面，此直纹曲面的方程可以写为 其中 为曲面的参数。,（二）、飞机机翼的整流面 某型号飞机的机翼为直纹面，机翼表面上的信号灯（或称航向灯）突出部分的曲面称为整流面，是由两族不同方向的直母线相交织构成的曲面。整流面上四个不重合的点 ，可以确定整流面上的一小片曲面的方程。 设四个点 对应的向径分别表示为
6、。,这块整流曲面片 的边界线均为直线，四条直线的方程可以表示为 由直线 和直线 确定的直纹曲面可以表示为,由直线 和 确定的直纹曲面可以表示为,显然两直纹曲面 和 在四个角点 处的函数值相等。因此这块整流曲面的方程可以表示为,六、生产规划问题 某厂生产A和B两种产品，生产A一吨要用煤9t，电力4kW，劳动力3个（以工作日计算）；生产B一吨要用煤4t，电力5kW，劳动力10个。已知生产A一吨的经济价值为7千元；生产B一吨的经济价值为1万2千元。现在该厂有煤360t，电力200kW，劳动力300个。问应该生产A和B各多少t，才使所创造的经济价值最大？,设生产A和B两种产品各为 和 ，则问题立即转化
7、为如下数学问题。 在限制条件： 之下，使所创造的经济价值 （以千元为单位）达最大，即,此问题可用图解法解：,阴影部分为可行域 由图五可以看出S的最大值在点 处取得，最大值为428。 七、平面图形的变换 在目前已广泛应用的计算机绘图中，常要对图形进行各种变换。图形变换不同于坐标变换，坐标变换是图形不变，坐标系改变，而图形变换是坐标系不变，图形改变，图形变换的基本问题是建立图形上的,点与变换前和变换后其坐标之间的关系式。为简明起见，这里仍以矩阵为工具，并且只在直角坐标系中讨论。 1、基本变换 图形的缩放、对称、错移、旋转、平移等变换称为基本变换。 平面上的点的坐标可以用行矩阵 表示。设 是变换前图
8、形上点的坐标,是变换后图形上的坐标。除平移外，上述几种基本变换都可由下式实现，即 或 其中方阵 称为变换矩阵。,给T的四个元素 以不同的值，将得到不同的基本变换。下面分别讨论之。 （1）缩放变换 缩放变换即是将图形沿坐标轴方向缩小或放大。在T中令 ，得变换矩阵 称为缩放变换矩阵。这时，变换前后图形上的点的坐标变换公式为,即 其中 为缩放因子。 若 ，则图形沿 方向和 方向按同一比例缩小或放大。且当 时，图形缩小；当 时图形放大。 当 时，图形不变，这种变换称为恒等变换。,若 ，则图形沿 方向按不同比例变化，即产生畸变。 例1：对单位圆 分别作下列缩放变换：1)缩小一半； 2)放大一倍； 3)沿
9、 方向放大一倍，沿 方向缩小一半。试求变换矩阵及变换后图形的方程。 解 1)把图形缩小一半的变换矩阵为,坐标变换公式为 或 变换后图形的方程为 即 2)把图形放大一倍的变换矩阵为,坐标变换公式为 或 变换后图形的方程为 即 3)把图形沿 方向放大一倍，沿 方向缩小一半的变换矩阵为,坐标变换公式为 ， 或 变换后图形的方程为 即 这是长半轴为2，短半轴为，中心位于原点，且以坐标轴为对称轴的椭圆。,在T中令 可得关于 轴对称的变换矩阵 图形变换前后点的坐标变换公式为 即 2)关于轴的对称变换 在这种情况下，变换矩阵为,图形变换前后点的坐标公式为 即 （3）错移变换 错移变换分沿 方向和沿 方向错移
10、两种情况。 1)沿 方向错移 沿 方向错移变换，是指变换后图形上的点的 坐标保持不变， 坐标依赖初始坐标,线性地变化 。变换矩阵为 图形上变换前后的点的坐标变换公式为 即 从几何上看，平行于 轴的直线变换后仍平行于 轴，平行于 轴的直线变换后沿方向错移与轴成 角的直线， 的点为不动点， 的点沿 方向错移了的距离 ，见图六,2）沿y轴方向错移 沿y方向的错移变换，是指变换后图形上的点的x坐标保持不变，y坐标依赖于初始坐标 线性地变化。变换矩阵为 图形上变换前后的点的坐标变换 公式为 即,从几何上看，与沿x方向错移的情况类同，见图七。,例2 将单位圆 沿x方向错移 的距离，写出单位圆错移后的图形的
11、方程。 解 沿x方向错移 的距离，图形上的点的坐标之间的关系之间的关系式为 或 将上式代入单位圆方程中，得错移后图形的方称为,即 这是一个 椭圆，其图形如图八所示。,（4）旋转变换 旋转变换是指图形绕坐标原点旋转 角，且规定逆时针方向的转角取正值，瞬时针方向的转角取负值。旋转变换的矩阵为 图形变换前后点的坐标变换公式为,图形变换前后点的坐标变换公式为 即 由前面的讨论可见，上述四种图形变换的都可以用一个方阵来实现。 （5）平移变换 平移变换是值将图形平行移动。这种变换无法用二阶方阵来实现。事实上，设图形沿 方向平移个 单位长度，沿 方向平移 个单位长度，,则平移前后点的坐标之间的关系式应为 显
12、然，上式右端无法表示成行矩阵 与一个二阶方阵的乘积。 为了能用矩阵表示图形的平移变换，下面引进齐次坐标概念。 1)平面齐次坐标 设 是平面直角坐标系中任一点的坐标， 现改用行矩阵 表示该点的位置，称为该点的齐次坐标，其中 。 由上述定义知道，平面上每个点的齐次坐标不是唯一的。,例如齐次坐标 ，都表示普通坐标点 ，只不过所取的 值分别为3，2，1。只有当 时，齐次坐标的前两个坐标值才与普通坐标相同。因此，若 ，普通坐标与齐次坐标关系是 。 2）平移变换的矩阵表示 利用齐次坐标就可以把平移变换公式,表示成 其中三阶方阵 即是平移变换的变换矩阵。 除平移变换矩阵外，前述四种基本变换矩阵也可以写成三阶
13、方阵的形式。例如，缩放变换矩阵可以写成 其中 为 方向的缩放因之，为 方向的缩放因之。图 形上变换前后点的坐标之间的关系式为,其他三种变换矩阵，请同学自己改写一下。 3)齐次坐标的优点 引进齐次坐标后，可将平面图形的五种基本变换矩阵统一用一个三阶方阵表示，即,式中左上角的二阶方阵实现缩放、对称、错移、旋转等变换。左下角 阶矩阵实现平移变换。只要给 赋以不同的值，即可实现所期望的变换。 其次，引进其次坐标后，可以很方便的用齐次实现由多种基本变换组成复杂的变换。坐标表示无穷远点 。 此外，由于采用齐次坐标，使得平面图形的五种基本变换矩阵统一成三阶方阵，这就有可能实现由多种基本变换组成复杂的变换。,
