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1、- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。专题检测卷(十一)等差、等比数列的概念与性质(40分钟)一、填空题1.设 Sn为等差数列a n的前 n项和,若 a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项 a1等于.2.(2013黄冈模拟)等比数列前 n项和为 Sn,有人算得 S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来发现有一个数算错了,错误的是.3.在等差数列a n中,a 1=-2013,其前 n项和为 Sn,若 - =2,则 S2013的值等于.4.(2013福建高考改编)已知等比数列 的公
2、比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m, ,bn,cn中是等比数列的是,公比为 .5.(2013辽宁高考改编)下面是关于公差 d0的等差数列a n的四个命题:p1:数列a n是递增数列;p 2:数列na n是递增数列;p3:数列 是递增数列;p 4:数列a n+3nd是递增数列.其中真命题为.6.(2013徐州模拟)已知 Sn是等差数列a n的前 n项和,若 S7=7,S15=75,则数列 的前 20项和为.7.已知 an= ,把数列a n的各项排列成如下的三角形状,a 1- 2 -a 2a
3、3a 4a 5a 6a 7a 8a 9记 A(m,n)表示第 m行的第 n个数,则 A(10,12)=.8.(2013广东高考)在等差数列a n中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7= 9.数列a n是首项 a1=4的等比数列,且 4a1,a5,-2a3成等差数列,则 a2013=.10.数列a n的首项为 1,数列b n为等比数列且 bn= ,若 b10b11=2,则 a21=.11.(2013盐城模拟)若等比数列a n满足 am-3=4且 amam-4= (mN *且 m4),则a1a5的值为.12.(2013扬州模拟)数列a n中,a 1=2,an+1=an+cn(c为常数),且
4、a1,a2,a3成公比不为 1的等比数列,则a n的通项公式 an=.二、解答题13.(2012陕西高考)设a n是公比不为 1的等比数列,其前 n项和为 Sn,且a5,a3,a4成等差数列.(1)求数列a n的公比.(2)证明:对任意 kN *,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.14.设数列a n是公差大于零的等差数列,已知 a1=2,a3= -10.(1)求数列a n的通项公式.(2)设数列b n是以函数 y=4sin2x 的最小正周期为首项,以 3为公比的等比数列,求数列a n-bn的前 n项和 Sn.15.(2013湖北高考)已知 Sn是等比数列a n的前 n项和,S 4,S2,S3
5、成等差数列,且 a2+a3+a4=-18.- 3 -(1)求数列a n的通项公式.(2)是否存在正整数 n,使得 Sn2013?若存在,求出符合条件的所有 n的集合;若不存在,说明理由.16.(2013扬州模拟)已知三个互不相等的正数 a,b,c成等比数列,公比为 q.在 a,b之间和 b,c之间共插入 n个数,使这 n+3个数构成等差数列.(1)若 a=1,在 b,c之间插入一个数,求 q的值.(2)设 a0,知数列a n是递增数列真命题p2:数列na n是递 由(n+1)a n+1-nan 假命题- 5 -增数列 =(n+1)(a1+nd)-na1+(n-1)d=a1+2nd,仅 由 d0
6、 是无法判断 a1+2nd 的正负的,因而不能判定(n+1)a n+1,nan 的大小关系p3:数列 是递增数列显然,当 an=n 时, =1,数列 是常数数列,不是递增数列假命题p4:数列a n+3nd是递增数列数列的第 n+1 项减去数列的第 n 项an+1+3(n+1)d-(an+3nd)=(an+1-an)+3(n+1)d-3nd=d+3d=4d0.所以 an+1+3(n+1)dan+3nd,即数列a n+3nd是递增数列真命题答案:p 1,p46.【解析】因为 S7=7,所以 7a4=7,即 a4=1,又因为 S15=75,所以 15a8=75,即 a8=5,所以公差 d= = =1
7、,a1=-2,所以 Sn=n(-2)+ = ,= , 为等差数列,其首项为-2,公差为 ,所以前 20 项和为 20(-2)+ =55.答案:557.【解析】前 9 行共有 1+3+5+17= =81 项,所以 A(10,12)为数列中的第 81+12=93 项,所以 a93= .答案:( )93【误区警示】解答本题时易把前 9 行包含的数列a n的项数求错.- 6 -8.【解析】设公差为 d,则 a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.答案:209.【解析】设公比为 q,则 a5=a1q4,a3=a1q2.又 4a1,a5,-2a3 成等差数列
8、,所以 2a5=4a1-2a3,即 2a1q4=4a1-2a1q2,所以得:q 4+q2-2=0,解得 q2=1 或 q2=-2(舍去),所以 q=1,所以 a2013=4(1)2013-1=4.答案:410.【解析】因为 b10b11=2,所以 b1b2b20=(b10b11)10=210.又 bn= ,所以 b1b2b20= = ,即 =210,所以 a21=210=1 024.答案:1 02411.【解析】因为在等比数列a n中有 amam-4= ,所以 m+m-4=8,m=6,所以a3=4,a1a5= =16.答案:1612.【解析】依题知 a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,且(
9、2+c) 2=2(2+3c),解得 c=0(舍),c=2,所以 an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+21+2=n2-n+2.- 7 -答案:n 2-n+213.【解析】(1)设数列a n的公比为 q(q0,q1),由 a5,a3,a4 成等差数列,得 2a3=a5+a4,即 2a1q2=a1q4+a1q3,由 a10,q0 得 q2+q-2=0,解得 q1=-2,q2=1(舍去),所以 q=-2.(2)对任意 kN*,Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)=ak+1+ak+2+ak
10、+1=2ak+1+ak+1(-2)=0,所以对任意 kN*,Sk+2,Sk,Sk+1 成等差数列.14.【解析】(1)设数列a n的公差为 d,则解得 d=2 或 d=-4(舍),所以 an=2+(n-1)2=2n.(2)因为 y=4sin2x=4=-2cos2x+2,其最小正周期为 =1,故首项为 1,因为公比为 3,从而 bn=3n-1.所以 an-bn=2n-3n-1,故 Sn=(2-30)+(4-31)+(2n-3n-1)= - =n2+n+ - .【变式备选】设数列a n的前 n 项和 Sn=n2,数列b n满足 bn= (mN*).- 8 -(1)若 b1,b2,b8 成等比数列,
11、试求 m 的值.(2)是否存在 m,使得数列 bn中存在某项 bt满足 b1,b4,bt(tN*,t5)成等差数列? 若存在,请指出符合题意的 m 的个数;若不存在,请说明理由.【解析】(1) 因 为 Sn=n2,所以当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2n-1.又当 n=1 时 ,a1=S1=1,适合上式,所以 an=2n-1(nN*),所以 bn= ,则 b1= ,b2= ,b8= ,由 =b1b8,得 = ,解得m=0(舍) 或 m=9,所以 m=9.(2)假设 存在 m,使得 b1,b4,bt(tN*,t5)成等差数列 ,即 2b4=b1+bt,则2 = + ,化简得 t=7+ ,所
12、以当 m-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36 时,分别存在 t=43,25,19,16,13,11,10,9,8 符合题意,即存在这样的 m,且符合题意的 m 共有 9 个.15.【解题提示】(1)由条件 S4,S2,S3 成等差数列和 a2+a3+a4=-18 列出方程组,解出首项和公比,运用等比数列通项公式得出a n的通项公式.(2)假设存在正整数 n,使得 Sn2013,解不等式,求 n 的解集.【解析】(1) 设 数列 的公比为 q,则 a10,q0.由题意得即 解得故数列 的通项公式为 an=3 .(2)由(1)有 Sn= =1- .若存在 n,使得 Sn2013,则 1-
13、 2013,即 -2012.当 n 为偶数时, 0,上式不成立;- 9 -当 n 为奇数时, =-2n-2012,即 2n2012,则 n11.综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为.16.【解析】因为 a,b,c 是互不相等的正数 ,所以 q0 且 q1.(1)由已知 ,a,b,c 是首项为 1,公比为 q 的等比数列,则 b=q,c=q2,当插入的一个数位于 b,c 之间时,设由 4 个数构成的等差数列的公差为 d1,则消去 d1,得 q2-3q+2=0,因为 q1,所以 q=2.(2)设所构成的等差数列的公差为 d2,由题意,d 20,q1,共插入 4 个数.若在 a
14、,b 之间插入 1 个数,在 b,c 之间插入 3 个数,则 于是= ,2b-2a=c-b,q2-3q+2=0,又 q1,解得 q=2.若在 a,b 之间插入 3 个数,在 b,c 之间插入 1 个数,则 于是= ,2c-2b=b-a,2q2-3q+1=0,解得 q=1(舍去 ),或 q= (不合题意,舍去).若 a,b 之间和 b,c 之间各插入 2 个数,则 b-a=c-b,q2-2q+1=0,解得 q=1(不合题意,舍去).综上,在 a,b 之间插入 1 个数,在 b,c 之间插入 3 个数.(3)设所构成的等差数列的公差为 d3,由题意,b=a+(s+1)d 3,d3= ,又 c=b+(t+1)d3,d3= ,所以 = ,即 = ,- 10 -因为 q1,所以 =q.所以,当 q1,即 abc 时,st.关闭 Word 文档返回原板块
