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1、1专题十：参数取值问题的题型与方法（4 课时）求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例 1已知当 时，不等式 恒成立，求实数 的取Rx45sin452cosaxxa a值范围.分析：在不等式中含有两个变量 及 ，其中 的范围已知( )，另一变量 的范围R即为所求，故可考虑将 及 分离.解：原不等式即： 542cosin4ax要使上式恒成立，只需 大于 的最大值，故上述问题转化5a
2、x2cosin成求 的最值问题 .xfsi)(，3)1(i1si2 ，即 ，345a4上式等价于 或 ，解得 .2)(0a05854a说明：注意到题目中出现了 及 ，而 ，故若把 换元xsincoxx2sin1sxsin成 ，则可把原不等式转化成关于 的二次函数类型.t t另解： 即4452cosxa，令 ，则 ，iin1atin,整理得 ， 恒成立.0t 1,t设 ，则二次函数的对称轴为 ，)(2tf 1t在 内单调递减.x1,只需 ，即 .(下同第一种解法)0)(f 245a例 2已知函数 在定义域 上是减函数，问是否存在实数 ，使不等式,(k对一切实数 恒成立？并说明理由.)sin()s
3、in(2xkfxkfx分析：由单调性与定义域，原不等式等价于 对于任意 恒1sinsi2xkRx成立，这又等价于对于任意 恒成立.)2()1(sin41222xk Rx不等式（1）对任意 恒成立的充要条件是 ，即 -(3)R1)sin(mi22k1k不等式（2）对任意 恒成立的充要条件是 ，494ax22即 或 ，-(4)1k2由（3） 、 （4 ）求交集，得 ，故存在 适合题设条件.1k1k说明：抽象函数与不等式的综合题常常需要利用单调性脱掉函数记号.例 3设直线 过点 ，和椭圆 顺次交于 、 两点，试求 的取值l)3,0(P492yxABPA范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到： ，但
4、从此后却一筹莫展, 问题的根BAxP源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路 1: 从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由于有两个变量 、APBxAx，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量直线 的斜率 . Bx Bk问题就转化为如何将 转化为关于 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消BAx,k去 得出关于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.y解 1：当直线 垂直于 轴时，可求得 ；lx51
5、PBA当 与 轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭圆lx)(,21yx， l3kxy所求量的取值范围把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y得到关于 x 的一元二次方程xA= f（k） ，x B = g（k）得到所求量关于 k 的函数关系式求根公式AP/PB = （x A / xB）由判别式得出 k 的取值范围3方程，消去 得 ，解之得 y045492kxk .4956272,1kx因为椭圆关于 轴对称，点 在 轴上，所以只需考虑 的情形.Py0当 时， ， ，0k496721kx 22kx所以 = = = .21xPBA52 5918225918k由 , 解得 ，
6、0498)54(2k2k所以 ，综上 .5112 51PBA思路 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系k k起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 不是关于 的对称21xPBA21,x关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关系式.21,x解 2：设直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得l3kxyy（*）045492把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去y 得到关于 x
7、 的一元二次方程xA+ xB = f（k） ，x A xB = g（k ）构造所求量与 k 的关系式关于所求量的不等式 韦达定理AP/PB = （x A / xB）由判别式得出 k 的取值范围4则 令 ，则，.495,21kx21x .204531k在（*）中，由判别式 可得 ，,0952k从而有 ，所以 ，36452k 536214解得 .结合 得 . 综上， .11051PBA说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，
8、能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.例 4当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.)2,1(xxxalog)1(2a分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解.解：设： ， ，则 的图象为右图所示的抛物线，要使对一切21)(xyxyalog1y， 恒成立，显然 ，并且必须也只需当 时 的函数值大于等于)2,(x2xy的函数值 .1y故 ， ， 10.则原方程有解即方程 有tx3 04)(2tat正根。即04)(21xa16428a或解得
9、 .8a解法 2（利用根与系数的分布知识）：即要求 有正根,)(tt设 .4)axf10. ，即 , 或0162a .8a时， ，得 ，a)(tf 02t不合题意；时， ，得 ,82x符合题意。 .20. ，即 或 时，8a0 ，故只需对称轴 ，即 .4)(f 024a4 ，综合可得 .三、求参数的取值范围在解析几何中的应用解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。由于此类问题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难。为此，我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法.在几何问题中，有些问题和参数无关，这就构成定值问题，
10、解决这些问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的.解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数关系式，然后根据函数关系式手特征选用参数法，配方法，判别式法，应用不等式的性质，以及三角函数最值法等求出它的最大值或最小值.充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题（解析法的应用，数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，与圆锥曲线相关的定值问题，最值问题，应用问题和探索性问题）.研究最值问题是实践的需要，人类在实践活动中往往追求最佳结果，抽象化之成为数学上的最值问题，所以最值问题几乎渗透到数学的每一章.4o xy4o
11、 xy7解析几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值，到定直线的距离最值，还有面积最值，斜率最值等，解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值.而一些函数最值，反而可以通过数形结合转化为解析几何中的最值问题.1几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。2代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数的值域法、函数的单调性法.例 9 已知椭圆 : 和点 ，过 作直线交椭圆于 、 两点，在C82yx)1,4(PAB线段 上取点 ，使 ，求动点 的
12、轨迹所在曲线的方程及点 的横坐标的取ABQAPBQQ值范围.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点 的变化是由直线 的变化引起的，自然可选择直线 的斜率 作为参),(yxQABABk数，如何将 ， 与 联系起来？一方面利用点 在直线 上；另一方面就是运用题目条kQ件： 来转化.由 、 、 、 四点共线，不难得到 ，APBQABPQ)(824BAxx要建立 与 的关系，只需将直线 的方程代入椭圆 的方程，利用韦达定理
13、即可.xk C将直线方程代入椭圆方程，消去 y，利用韦达定理利用点 Q 满足直线 AB 的方程：y = k (x4)+1，消去参数 k点 Q 的轨迹方程BAP)(824BAxxkfx8通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关kfx于 ， 的方程（不含 ） ，则可由 解得 ，直接代入 即可y 1)4(xky41xykkfx得到轨迹方程。从而简化消去参的过程.解：设 ， ， ，则由 可得： ，1,xA)(2B， ),(QQBAPx2121解之得： （1）)(8421x设直线 的方程
14、为： ，代入椭圆 的方程，消去 得出关于 的一元AB4kyCyx二次方程：（2）08)1(2)(1222 kxxk .128)4(,122kx代入（1） ，化简得： (3).3与 联立，消去 得：)4(xkyk.0)4(2xy在（2）中，由 ，解得 ，结合（3）0462 41021k可求得 .919106x故知点 的轨迹方程为： （ ）.Q042y9102691026x说明：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.9
15、例 10已知 ，试讨论 的值变化时，方程 表示的曲线的0,)22sincos1xy形状.解：（1）当 时，方程化为 ，它表示两条与 轴平行的直线；1y（2）当 时，方程化为 ，它表示两条与 轴平行的直线； x（3）当 时，方程化为 ，它表示一个单位圆；42（4）当 时，方程化为 ，因为 ，所以它表0211sincoy0cos1sin示一个焦点在 轴上那个的椭圆；x（5）当 时，方程化为 ，因为 ，所以它4222sicxycsi0表示一个焦点在 轴上那个的椭圆；y（6）当 时，方程化为 ，因为 ， ，2211sincosxysin0cos1所以它表示一个焦点在 轴上那个的双曲线.x10五、强化训练1 （ 南京市 2003 年高三年级第一次质量检测试题） 若对 个向量 存在 个不nna,21全为零的实数
