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1、- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。专题检测卷(三)不等式、线性规划A组(30分钟)1.(2013徐州模拟)若 x0,y0,且 x+2y=1,则 2x+3y2的最小值是.2.函数 f(x)= 则不等式 x+(x+1)f(x+1)1 的解集是.3.设 00, a 恒成立,则 a的取值范围是.5.(2013新课标全国卷改编)已知 a0,x,y满足约束条件 若z=2x+y的最小值为 1,则 a=.6.函数 y=ax-1(a0,a1)的图象恒过定点 A,若点 A在直线 mx+ny-1=0上,其中m
2、n0,则 + 的最小值为.7.(2013扬州模拟)在平面区域(x,y)|x|1,|y|1上恒有 ax-2by2,则动点 P(a,b)所形成平面区域的面积为.8.(2013石家庄模拟)已知 x,y(0,+),2 x-3= ,若 + (m0)的最小值为 3,则 m等于.9.(2013常州模拟)点 P(x,y)在不等式组 表示的平面区域内,若点- 2 -P(x,y)到直线 y=kx-1的最大距离为 2 ,则 k=.10.定义 maxa,b= 设实数 x,y满足约束条件 且z=max4x+y,3x-y,则 z的取值范围为.11.(2013广东高考)给定区域 D: 令点集 T=(x0,y0)D| x0,
3、y0Z,(x 0,y0)是 z=x+y在 D上取得最大值或最小值的点,则 T中的点共确定 条不同的直线.12.已知 x0,y0,x+2y+2xy=8,则 x+2y的最小值是.13.(2013济南模拟)下列命题正确的序号为.函数 y=ln(3-x)的定义域为(-,3;定义在a,b上的偶函数 f(x)=x2+(a+5)x+b的最小值为 5;若命题 p:对 xR,都有 x2-x+20,则命题 p: xR,有 x2-x+20,b0,a+b=4,则 + 的最小值为 1.14.已知 t是正实数,如果不等式组 表示的区域内存在一个半径为 1的圆,则 t的最小值为.B组(30分钟)1.如果 a,b,c,d是任
4、意实数,下列结论ab,c=d acbd;a 3b3,ab0 ab;- 3 -a 2b2,ab0 0,b0,则 x+ 的最小值为.4.若直线 2ax-by+2=0(a0,b0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0所截得的弦长为 4,则 +的最小值为.5.(2013南京模拟)已知函数 f(x)=|lgx|,ab0,f(a)=f(b),则 的最小值等于.6.若对任意正数 x,均有 a20,b0)的最大值为 8,则 a+b的最小值为.8.(2013潍坊模拟)已知 lo (x+y+4)0)图象上一动点,若点 P,A之间的最短距离为 2 ,则满足条件的实数 a的所有值为.- 4 -12.已知实数 x,y满
5、足 则 2x+y的最小值为,最大值为 .13.若不等式 x2+ax+40 对一切 x(0,1恒成立,则 a的取值范围是.14.设函数 f(x)=x2-6x+5,集合 A=(a,b)|f(a)+f(b)0,且 f(a)-f(b)0.在直角坐标系 aOb中,集合 A所表示的区域的面积为.答案解析A 组1.【解析】因为 x0,y0,且 x+2y=1,所以 2y1,0y ,x=1-2y,因此,2x+3y 2=2-4y+3y2=3y2-4y+2=3 + =3 + ,因为 0y ,所以- y- - ,即 , 3 + 2,所以 2x+3y2 的最小值为 .答案:2.【解析】不等式转化为或解得-1x -1 或
6、 xloga(a2+1)loga(a+1),即 pmn.答案:pmn4.【解析】因为 x0,且 x+ 2,所以 = = ,所以 a .答案:a5.【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数 z=2x+y 表示的直线经过点 A 时,z 取得最小值,而点 A 的坐标为(1,-2a),所以 2-2a=1,解得 a= .答案:【方法总结】解决线性规划问题的一般步骤(1)确定 线性 约束条件.(2)确定 线性目 标函数.(3)画出可行域.(4)利用 线性目 标函数( 直线)求出最优解.(5)据实际问题的需要,适当调整最优解( 如整数解等).- 6 -6.【解析】由已知得定点 A 的坐标为(1
7、,1),由点 A 在直线 mx+ny-1=0 上,所以 m+n-1=0,即 m+n=1,又 mn0,所以 m0,n0,所以 + = (m+n)=2+ + +13+2 =3+2 ,当且仅当 n= -1,m=2- 时取等号.答案:3+27.【解析】依题设知:-1x1,-1y1,又因为 ax-2by2,所以当直线 ax-2by-2=0 过点(1,1) 或(1,-1) 或 (-1,1)或(-1,-1) 时有在平面直角坐标系中画出上述不等式组形成的平面区域(如图), 显然为菱形,其面积为 S= 24=4.答案:48.【解析】由 2x-3= 得 x+y=3,则 + = (x+y)= ,当且 仅当 y= x
8、 时取等号,- 7 -所以, (1+m+2 )=3,解得 m=4.答案:49.【解析】在平面直角坐标系中,画出不等式组 表示的可行域(图中阴影部分),而直线 y=kx-1 过定点(0,-1),显然点(0,3)到直线 y=kx-1 的最大距离为 4,而点(0,1) 到直 线 y=kx-1 的最大距离为 2,因此只有点 (1,2)到直线 y=kx-1 的最大距离可以为 2 ,因此只有直线 y=kx-1 与 x+y-3=0 平行才有可能,故 k=-1.答案:-110.【解析】因为(4x+y)-(3x-y)=x+2y,所以 z= 直线 x+2y=0 将约束条件 所确定的平面区域分为两部分.如图,令 z
9、1=4x+y,点(x,y)在四边形 ABCD 上及其内部,求得-7z 110;令 z2=3x-y,点(x,y)在四 边形 ABEF 上及其内部 (除 AB 边),求得-7z 28.综上可知,z 的取值范围为 -7,10.- 8 -答案:-7z1011.【解析】区域 D 是以(0,1),(0,4),(4,0) 为顶点的三角形内部区域(含边界),D 内的整点有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(4,0),这 11 个点中使 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点为(0,1),(0,4),(1,3),(2,2
10、),(3,1),(4,0),这些点共确定 6 条不同的直线.答案:612.【解析】因为 x+2y+2xy=8,所以 y= 0,所以 00,得 xb3,所以 ab,又因为 ab0,所以 ,即 b2,ab0,若 a ,所以不正确.答案:2.【解析】因为 am+bn+c- m- .所以点 P 所在的平面区域满足不等式 y- x- ,a0,b0.故点 P 在该直线的上侧,综上知,点 P 在该直线的左上方.答案:左上方3.【解析】x+ =x+1+ -1,因为 x+10,所以 0,根据基本不等式得,x+ =x+1+ -12 -1=1,当且仅当 x+1= ,即(x+1) 2=1,即 x+1=1,x=0 时取
11、等号,- 10 -所以 x+ 的最小值为 1.答案:14.【解析】圆的方程为(x+1) 2+(y-2)2=4,圆的直径为 4,直线 2ax-by+2=0 被圆截得的弦长为 4,即直线过圆的圆心,所以-2a-2b+2=0,即 a+b=1,所以 + =(a+b) =2+ 2+2 =4,等号当且仅当 a=b= 时成立.答案:45.【解析】因为 ab0,所以 lgalgb,又因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,即 lga=-lgb,所以 lga+lgb=0,lgab=0,ab=1,b= 0,b0,所以当 x=1,y=4 时,z=abx+y 取得最大值,即 8=ab+4,所以ab=4,
12、a+b2 =2 =4.答案:48.【解析】要使不等式成立,则有即作出不等式组对应的平面区域如图,设 z=x-y,则 y=x-z.- 12 -平移直线 y=x-z,由图象可知当直线 y=x-z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大,由 解得代入 z=x-y 得 z=x-y=3+7=10,所以要使 x-y0)由两点间的距离公式得|PA|= ,令 t=m+ 2得|PA|= = .若 a2,则当 t=a 时,|PA|min= =2 ,解得 a= 或 a=- (舍去);若 a2,则当 t=2 时,|PA =(2-a)2+a2-2=2a2-4a+2=8,解得 a=-1 或 a=3(舍去).答案:
13、-1 或12.【解析】作出不等式组 表示的可行域(如图阴影部分所示,含边界).- 14 -联立解得 或故两交点分别为 A(1,1),B(4,-2).设 z=2x+y,可知当直线 z=2x+y 经过点 B(4,-2)时,z=2x+y 有最大值,且 zmax=6;当直线 z=2x+y 与抛物线 y2-x=0 相切时,z=2x+y 有最小值,此时由 消去 y 得 4x2-(4z+1)x+z2=0,令 =(4z+1)2-16z2=0,解得 z=- .故 zmin=- .故 2x+y 的最小 值为- ,最大值为 6.答案:- 6【方法总结】线性规划需要注意的问题(1)准确无 误 地作出可行域.(2) 画
14、目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错,比如上题中目标函数所对应直线的斜率- 0.(3)一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.13.【解析】分离参数后得,a-x- ,设 f(x)=-x- ,则只要 af(x)max,由于函数 f(x)在(0,1上单调递增,所以 f(x)max=f(1)=-5,故 a-5.答案:-5,+)- 15 -【变式备选】设 x,y(0,2,且 xy=2,且 6-2x-ya(2-x)(4-y)恒成立,则实数 a 的取值范围是 .【解析】不等式 6-2x-ya(2-x)(4-y),即 6-2x-ya(10-4x-2
15、y),令 t=2x+y,即不等式 6-ta(10-2t),即(2a-1)t+6-10a0 恒成立.由于 xy=2,所以 y= 2,x1,2,所以 t=2x+ ,t=2- ,当 x1,2时,t0,所以函数 t=2x+ 在1,2上单调递增,所以 t 的取值范围是4,5.设 f(t)=(2a-1)t+6-10a,则 f(t)0在区间4,5 恒成立,因此只要 f(4)0且 f(5)0即可,即 2-2a0且 10,解得 a1,故实数 a 的取 值范围是 (-,1.答案:(-,114.【解析】因为 f(x)=x2-6x+5=(x-3)2-4,所以由 f(a)+f(b)0得(a-3)2-4+(b-3)2-40,即(a-3) 2+(b-3)28,它表示以 (3,3)为圆心,半径为 2 的圆面.由 f(a)-f(b)0得 f(a)f(b),- 16 -即 a2-6ab2-6b,整理得(a-b)(a+b-6)0,即 或显然 a-b=0,a+b-6=0 的交点为(3,3), 且两直线垂直,所以对应平面区域为二分之一个圆
