桂祖华微积分三定理

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1、桂祖华微积分三定理（第一定理-桂氏积分定理）(2013-10-03 16:53:28)桂祖华微积分三定理“桂祖华微积分三定理”分别是指“第一定理 - 桂氏积分定理”；“第二定理 - 桂氏多中心泰勒定理”；“第三定理 - 桂氏多中心牛顿定理”。这些全新的微积分理论全面改写了300多年来被世界数学界视为经典的微积分理论，是本人埋头数学研究数十年所究取得的重大理论突破，必将极大地推动现代数学基础理论的新发展。第一定理桂氏积分定理1已知结果牛顿-莱布尼兹定理(即微积分基本定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则abf(x)dx =F(b)F(a),其中F(x)是函数f(x)的任意一个原函数2问题提

2、出如何去寻找上述原函数F(x)的新方法？3负导函数（1）可导函数列设函数列Fn(x)（n= 1,2,3,）在闭区间a,b上满足如下三个条件：（i）Fn(x)可导（可导性）（ii）dFn(x)/dx= Fn(x)= Fn+1(x)（递推性）（iii）所有Fn(x)只变动足标n，不变动变量x，它们都有相同的函数形式（不变形式性），Fn(x)（n= 1,2,3,）称为可导函数列(2)n阶原函数设两个函数f(x)和F(x)在区间D(x)= x| X0|,X0xx0上满足dnF (x)/dxn= f(x)（n=1,2,），函数f(x)称为函数F(x)的n阶导函数（或导数）;函数F(x)称为函数f(x)的

3、n阶原函数.当n= 1时,函数f(x)和函数F(x)分别称为F(x)的导函数和f(x)的原函数.(3)k阶负导函数设函数f(n)(x)（n= 1,2,3,）可导函数列,令f(-k)(x)（k=1,2,3,）为k阶负导函数.(4)任意阶负导函数的存在性一般情况下(如初等函数)，函数f(x)在区间D(x)= x| X0|上具有任意阶导函数，则存在可导的任意阶负导函数(5)负导函数定理设可导函数列f(n)(x)（n=1,2,3,）,f(1)(x)可导，且f(0)(x)= f(x)时，则函数f(x)的一阶负导函数（简称负导数）f(1)(x)与函数f(x)的任意原函数F(x)相差一个常数(6)负导函数一

4、例设f(x)= xex,计算可得f(n)(x)=（1）n+1（nx）ex,f(n)(x)为可导函数列,f(1)(x)=（1+x）ex可导,f(0)(x)=（1）1（x）ex=f(x).(7)特殊原函数寻找函数f(x)的一阶负导函数f(1)（x）与通常的原函数F(x)的求法是完全不同的方法相对来说，前者方法要比后者有时是更为容易，新方法是简单的、直接的、有效的和别具一格的，由此我们可以得到许多有趣的应用.(8)不定积分一例eaxcos(bx+c)dx=（a2+b2）1/2eaxcos(bx+c)+C,其中=arccosa/（a2+b2）1/2记f(x)= eaxcos(bx+c)，可得f(n)(

5、x)=（a2+b2）n/2eaxcos(bx+c+n),f(n)(x)为可导函数列,f(1)(x)=（a2+b2）1/2eaxcos(bx+c)可导,f(0)(x)=f(x)，(9)k阶负导函数设可导函数列f(n)(x)（n=1,2,3,）,则函数f(x)的可导k阶负导函数f(-k)(x)与函数f(x)的任意k（=1,2,3,）阶原函数相差一个任意（k1）次多项式;4桂氏积分定理设在闭区间a,b上的可导函数列f(n)(x)（n=1,2,3,）,f(1)(x)可导，且f(0)(x)= f(x)时，则abf(x)dx = f(1)(b)f(1)(a),(1)定积分一例取f（x）=sinx，f(n)

6、（x）=sin（x+n/2）,f(1)（x）=sin（xn/2）可导,f(0)（x）=sin（x0/2）= sinx= f(x)absinxdx= sinx(1)(x)|ab= sin（x/2）|ab= sin（b/2）sin（a/2）=cosacosb(2)桂氏积分定理的推广设在闭区间a,b上的F(n)(x)为可导函数列，即Fn(x) =Fn+1(x)（n=k-h-1,k-h,）,Fk-h-1(x)在闭区间a,b内具有（h+1）阶导函数，则abdxaxdxaxFk(x)dx=Fk-h-1(b)i=0hFk-h-1+i(a) (ba)i/i!（h+1）个积分记号.特别地,当Fn(x) =f(n

7、)（x）;k=0时,F(x) =f（x）= f(0)（x）=F0(x),则abdxaxdxaxf（x）dx =f(-h-1)（b）i=0hf(-h-1+i)（a）(ba)i/i!(3)二次定积分一例abdxaxsinxdx =sinasinb+(ba)cosa,在(2)中取f（x）=sinx，f(n)（x）=sin（x+n/2）,f(0)（x）= f（x）=sinx,f(-1)（x）=sin（x/2）=cosx,f(-2)（x）=sin（x）=sinxabdxaxf（x）dx= f(-2)（b）f(-2)（a）f(-1)（a）（ba）桂祖华微积分三定理（第二定理-桂氏多中心泰勒定理）(2013

8、-10-03 18:41:47)第二定理 桂氏多中心泰勒定理1桂氏多中心泰勒定理设函数f（x）在区间D（x）上具有s（=h1+h2+hn）阶导数,给定n个固定点xi（i=1,2,n）和任意一个活动点xD（x）,xxi（i=1,2,n），则存在一个值（m,M），其中m=minxi（i=1,2,n），M=max xi（i=1,2,n）,使f（x）=TQ（f）+Rf,s（x），TQ（f）称为函数f（x）的型为Q（x）Q（x）=X1(h,1)X2(h,2)Xn(h,n);(h, i)hi（i=1,2,n）是n个正整数的桂氏多中心泰勒多项式Rf,s（x）= Q（x）f(s)（）/s!或Rf,s（x）=

9、Q（x）f(s)m+（Mm）/s!（01），称为函数f（x）的型为Q（x）的桂氏多中心泰勒余项，其中（i）TQ（f）= Q（x）i=1nj=0(h,i)-1f（x）Xi(h,i)/Q（x）(j)|x=(x,i)Xij-(h,i)/j!.（ii）TQ（f）= Q（x）i=1n(h,i)-1f（t）（txi）(h,i)/Q（t）（xt）/t(h,i)-1|t= (x,i)/（hi1）!.（iii）TQ（f）=i=1nj=0(h,i)-1aij(x) f(j)（xi）,其中aij(x)= Q（x）k=0(h,i)-1-jXi(h,i)/Q（x）(k)|(x,i)Xij+k-(h,i)/j!k!(i=

10、1,2,n;j=0,1,2,hi1）当n=1时即常规泰勒定理2应用(1)高阶导数插值公式设函数f（x）在区间D（x）内，给定n个点xi（i=1,2,n）的函数值f（xi）和各阶导数值f(j)（xi）(i=1,2,n;j=0,1,2,hi1;s=h1+h2+hn;f(0)（x）f（x）和任意一个点xD（x），则存在一个值（m,M），m=minxi（i=1,2,n），M=max xi（i=1,2,n）使f（x）=F（x）+Rf,s（x）其中F（x）=i=1nj=0(h,i)-1aij(x) f(j)（xi）,aij(x)为插值函数系数,F（x）为插值多项式；使F(j)（xi）=f(j)（xi）,R

11、f,s（x）=f(s)（）Q（x）/s!或Rf,s（x）= Q（x）f(s)m+（Mm）/s!（01）,Rf,s（x）为余项（2）有理函数（正,负）高阶导数定义M（+a）n=n!ln|+a|(-n)（n=,2,1,0,1,2,;a为任意实数）,M=（1）!,p!=123p(p为任意实数）(i)P（x）/Q（x）(k)=（1）!/（1k）!i=1n(h,i)-1P（t）（txi）(h,i)/Q（t）（xt）k+1/t(h,i)-1|t=(x,i)/（hi1）!.Q（x）=X1(h,1)X2(h,2)Xn(h,n),hi（i=1,2, n）是n个正整数(ii)P（x）/Qc（x）(k)=（1）!/

12、（1k）!i=1nhiwiwi(h,i)-1P（t）C(u,i)(h,i)（t）/Qc（t）（xt）k+1|t=(x,i)(k=0,1,2,）其中hi和wi分别为正整数,步长和点xixj+mwj（ij;i,j =1,2,n;m=0,1,2,hi1）,ui=Xi/wiC(u,i)(h,i)（x）= ui（ui1）（uihi+1）/hi!,C(u,i)0（x）=1,Qc（x）=i=1nC(u,i)(h,i)（x）,（3）有理函数积分公式(i)P（x）dx/Q（x）=P（x）/Q（x）(-1)+C其中P（x）/Q（x）(-1)=i=1n(h,i) -1P（t）（txi）(h,i)ln（tx）/Q（t

13、）/t(h,i) -1|t=(x,i)/（hi1）!.cd(c,d)(ii)P（x）dx/Qc（x）=P（x）/Qc（x）(-1)+C其中P（x）/Qc（x）(-1)=i=1nhiwiwi(h,i) -1P（t）C(u,i)(h,i)（t）ln（tx）/Qc（t）|t=(x,i)（4）奥-桂有理函数积分公式P(x)dx/Q(x)=P1(x)/Q1(x)+P2(x)dx/Q2(x),其中Q2(x) =X1X2Xn（x2+r1x+s1）（x2+r2x+s2）（x2+rmx+sm）；Xi= xxi,rj24sj；（i=1,2,n; j=1,2, m）P2(x)dx/Q2(x)= i=1nP2(xi)ln|Xi|/Q2(xi)+j=1mujln|x2+rjx+sj|+vjarctan(2x+rj)/(4sjrj2)1/2+C.uj=P2(j) /Q2(j*)+P2(j) /Q2(j*); vj=iP2(j) /Q2(j*)P2(j) /Q2(j*); (i(1)1/2)j=rj+i(4sjrj2)1/2/2;j*=rji(4sjrj2)1/2/2;（j=1,2, m）.（5）多维积分大家知道aaf(x）dx=0.假设aaf(x）dx0,又会发生什么样的情况呢？一维积分，令a,b