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1、1第一部分向量代数与空间解析几何一、向量及其运算二、空间中的直线与平面、平面方程、直线方程、点、直线与平面的相互关系三、空间曲线与曲面注 1：点 到平面 的距离公式0(,)Mxyz0AxByCzD022| |d注 2：点 到直线 的距离公式11(,)xyz000xyzlmn01 10101022|Mdxyzllnijks其中 。00(,)xyz例题1. 求过直线 且与平面 垂直的平面方程。230:1xyzL:230xyz解 设过 的平面束为12()(1)xyzyz即 21212( (3)0由 121()(得 ，因此所求平面的方程为100.xyz2. 求直线 在球面 上点 处的切平面0:1xyz
2、L22x(2,1)M上的投影直线的方程。解 球面在点 处的切平面的方程为 。(2,)M1:40yz过已知直线作一平面 垂直于切平面，那么两平面的交线即为所求的投影直线。设 2:0AxByCzD因为 ，故 ，又 ，在 上任取两点 代入 ，12L(0,1)(,22得 ， 注意到 ，得 ，0,CDBDCB0ABCA故 。因此所求投影直线的方程为.2:10yz4xz3. 设 ，求点 到 的距离。12:yL(1,0)PL解 令 ，则 , 0(,)P03,24s0 0636945124ijksij|=51| .72ds4. 求由平面 和 构成的二面角的平分面的方程260xyz480xyz解法 1 设 为所
3、求角平分面上的任意一点, 根据题意, 到两已知平面的距离相()MM等. 于是得222|6|48|1()(1)xyzxyz化得 3| |或 68(48)xyzxyz所求平面方程为: 或7126075210.yz解法 2: 设所求平面方程为 , 其法向量为(48)xyzx4,8n设 , 依题意 与 所成的锐角与 与 所成的锐角相等.12,1n1n2所以 , 将 的值代入此式解得12|n12, 12,.3得求平面方程为: 或 .750xyz7460xyz5. 一平面通过点 , 它在 轴和 轴上的截距相等. 问当平面的截距为何值时,它(123)P3与三个坐标平面所围成的空间立体的体积最小? 并写出此平
4、面的方程.解 设此平面的方程为 . 依题意得 故平面的方程又可写成1xyzabc,ab因为点 在平面上, 所以 , 解得(123)P23ac3.a设此平面与三个坐标面所围成的立体的体积为 , 则V3162Va设 , 令 得驻点 (舍去) 或3()f 29()0,3)af 0a9.2a因此当 时, 此平面与三个坐标平面所围成的立体的体积最小, 此平面的方92abc程为 1.xyz6. 设有曲面 证明曲面上过点 和23()(0).xyza(,)Pa处的法线相交.(,)Qa证明 设 则曲面上任一点 的法向量为23(,)().Fxyzxyz(,)xyz22,xyz xn于是在点 处的法向量为 , 在点
5、 处的法向量为(,)Pa210an(,)Qa. 易知 与 不平行, 即曲面在 两点处的法线不平行.2012P设 , 因为混合积,Qas221(,)0n故此三个向量 共面, 从而两法线共面, 由此可知曲面在 两点处的法线相交.12s ,PQ7. 已知曲面 ，且 可微，证明该曲面的为柱面.()xzefyzf证明 设 , 则2(,)(2)xFf2 2(2)xz xzy zeFefyz 4于是曲面上任一点 处的法向量为(,)xyz2 2,),(2)z xzefefyz n设定向量 要使 , 即lms0sn2 2()()0xz xzefyenfyz 只要取 即 这样曲面上任一点处的法向量都垂直,ln,.
6、lm于定向量 , 即该曲面为柱面.2第二部分 多元微分学内容：极限,连续,偏导数及其求法，链式法则，梯度，方向导数，隐函数求导法则，几何应用，极值与最值，不等式证明，坐标变换与微分方程.例题1. 设 其中 在点 的某邻域内连续, 试研究(,)|(,)fxyxy(,)xy(0)(1) 在什么条件下, 与 都存在?0xfyf(2) 在什么条件下, 在点 处可微?()xy(,)(,)解 (1) 先偏导数定义式求偏导数, 0,)0,lim()xffx0(,)(0,)lim(,)xfxf, 0(,(,)liyfyf 0,li ,yfyf故当 时, 与 都存在.(,)(0,)xf(,)yf(2) 由于 且
7、,|(,)f xy22|()xyxy于是当 时, (0,)0 0()(0,)|(,)|limlimxydffxyxy 502lim|(,)|0.xy故当 时, 在 点处可微,且,),f()(0,).df2. 设 中, 均可微, 证明11(,)0Fxzyx,zxyFzxy证法一 设 则11,.uzvzx(1)2()()0xvxFy(2)121uy yzzFz由(1),(2)得2211,vuuvx yFzzyx 则 2211vuuvxyxFzzxy法二 设 则(,)(,),Gzzyx2211 1 2=xyzFGyFx ，22 11 2,yxx yz zF .xyz法三 将 两边分别求全微分, 得1
8、1(,)0Fzx112()dyFdyzx1 122( )0xzdzx 解出 从而21121()(dz xyFyy2211122,x yFzx 推出 .xyzx63. 设 由方程组 决定, 求 ()yx(,),)0yfxtFyt.dyx解法 1 方程组 决定一组隐函数 于是(,)(,)Gtft (),.tx(,)xttxtxyyttFfFdytx解法 2 两个方程对 求导数,得0xtxytdydfFx消去 解出 为 .,t txyf解法 3 取全微分0xtxydfdF消去 , 解出 .dttxyf解法四 曲面 与 在 空间中的法向量为(,)0xt(,)ft,)xty12,1xtyxtF nn于是
9、 是曲线 的切向量, 其中 的方程为2 ,txytxtffFfLL,(),()x它的方向向量为 , 因此得1dtxs, ,tyxytxttyFffFf解得 tyxtttfdfF ,xyxtxyttFffdydF 4. 设 求 其中,sin,.vxueyzuv,.xyz0,cosin.uv7解 把 看成 的函数.,xy,uvxyuvvzz解得 (cosin)uxvyevz1csiuyvyv注: 本题也可以把 看作 的函数来求解. 或用全微分法求解. ,x5. 证明 满足2nuxfxyun证明 满足恒等式 两边对 求导, 得2(,)(,).ttt1nxyuuxy令 , 即得1t2.6. 以 其中
10、具有连续的二阶偏导数, 试变换方程,xyvwxyz()wv2220z解法一 由 知 . 视 为自变量, 为中间变量, 则有xyxyyuvzwuwvwxxyyuv22222zwuvwxxx222v同法可求得2222221,zwzwxyuvyuv代入所给方程, 得即 222204zzxy21.8解法二 视 为自变量, 为中间变换. 由 可得uv,xy,uxyvwxyz及1()()2xyv()12wxzxyzzzyxuuuy222221 1xx2221.4zzy7. 函数 称为 次齐次函数, 若对任意正数 , 有 试证明 是fnt(,)(,).nftxyztfxyzf次齐次函数的充分必要条件是: n
11、 .xyzfn证明 必要性. 设 , 已知等式两边求导得,utvwt1()nvxfyzffxyz得 ,uwttt或 (,)()(,),vwnxfyzfxyztfxytztt即 ().uvwffnu所以 .xyz充分性. 记 , 则()Ftfxtyz1uvwuvwdffft t(,)()nnftxyF解得 ().Ftczct令 , 得 , 从而有1)fxy(,)(,).nfxytzfxyz8. 求曲面 在 对应点处的切平面方程.,vuezv0解 而 可由方程组确定, 当 时 .()z(,)()xy 0uvxy9问题化为求 在点 处的切平面方程.(,)zxy(,)0,(0,)(0,)()zzzuv
12、uxxzuvuyy其中 可由 的隐式方程组 分别对 和 求偏导而得.,vy, ,vuxex01,01vvvvu ueyxe解得 1,()()uuvxevx1,.(1)()uuvyye所以 , 故所求切平面方程为 (0,)(0,)zzy .zx9. 在旋转椭球面 上, 求距离平面 的最近点和最远点, 最近221x26y距离和最远距离.解 设 为旋转椭球面上的动点. 必定满足 . 该点到(,)yz 221xz的距离为 26xyz1|26|6dxyz令 2(,)(2)(1)Fxyz求得驻点为 和1,P21,.P计算得 1 24| 6|,6.36dd故最近点为 ,最远点为 最近距离为 , 最远距离为1
13、,2P21,.P26346.31010. 求常数 的值, 使函数 在点 处沿 轴正abc232(,)fxyzabyzcx(1,)Mz方向的方向导数有最大值 64.解 . 依题意有(1,2)43,grdfcb且01aA|(,21)|64.gradf故有 24,()2cbc解得 6,8.ac11. 从已知 的内部的点 向三边作垂线, 求使此三条垂线长的乘积为最大的点 的ABCP P位置.解 设三边长分别为 , 从 到对应的三边所作垂线长分别为 . 又设 的abc ,xyzABC面积为 . 令 依题意有 S(,).fxyz2.axbyczS设 ,(2).FyczS解方程组 02xyzabcFzS得 依问题的实际意义, 有最大值 , 故当 到长分别为 的2,.33SxyabfP,abc边距离分别为 时, 三垂线长的乘积为最大.zc12. 函数 有二阶连续偏导数, 满足 且在极坐标系下可表示成()fxy20fxy其中 . 求 .(,),fxyhr2(,)fxy解 ()xr22
