平面线弹性问题的有限元

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1、第三章 平面线弹性问题的有限元,涂国祥,有限元基础,成都理工大学环境与土木工程学院,有限单元法的基本原理及步骤,q,如图所示受其自重作用的等截面直杆，上端固定，下端自由。设单位杆长的重力为q，杆长为L，横截面面积为A，材料弹性模量为E，试求直杆各横截面上的应力。,x,o,材料力学解,从直杆任一截面取一微段dx，并令该微段截面上的内力为N(x)，则该微段的伸长量为,第三章 平面线弹性问题的有限元,1,2,3,4,R1,R2,R3,x,R4,i,j,e,ui,uj,有限元解,其中,成直线关系，它们反映了单元的位移形态，所以称为形函数。,单元的位移函数取,则,记,则,令,写成矩阵形式,位移列向量,则

2、,第三章 平面线弹性问题的有限元,由几何方程得：,由于,所以,若记,矩阵B反映了单元应变与节点位移之间的关系，称之为应变矩阵,第三章 平面线弹性问题的有限元,由物理方程得：,若记,则,其中,矩阵G反映了单元应力与节点位移之间的关系，称之为应力矩阵,第三章 平面线弹性问题的有限元,如果知道节点位移就可以求出单元应力和应变，如何求节点位移？,可以利用虚功方程来分析单元得节点受力与节点位移的关系,对于单元来说，节点力为外力,外力所作的虚功为,内力所作的虚功为,根据虚功原理，单元虚功方程为,由于,而假定单元虚应变与节点位移具有如下关系,第三章 平面线弹性问题的有限元,则,由于节点虚位移是任意的，所以,

3、若记,则,单元平衡方程,其中矩阵Ke反映了单元的节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度矩阵,其中,（r，si，j；rs时取“”；r s时取“”）,第三章 平面线弹性问题的有限元,则,利用节点平衡方程，可以建立包括整个结构的以节点位移为未知量的线性代数方程组。,节点1,节点3,节点2,节点4,R,R1,R2,R2,R3,R4,R3,F1,F2,F2,F3,F3,F4,第三章 平面线弹性问题的有限元,单元,1,2,3,4,节点,写成矩阵形式,第三章 平面线弹性问题的有限元,对于具体单元，将矩阵升阶到44阶以后得,第三章 平面线弹性问题的有限元,（r，s1，2，3，4；rs时取“”；r s时取“”

4、）,第三章 平面线弹性问题的有限元,已知u10，修正总体平衡方程得：,解之得：,该结果与材料力学的精确解答相同,第三章 平面线弹性问题的有限元,第三章 平面线弹性问题的有限元,3.1 有限单元法求解过程的一般步骤,1. 研究区域离散化,就是将所研究问题的区域划分成有限大小不等的单元体，并在单元体的指定点设置节点，把相邻的单元体在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替所研究问题的原区域；并以所离散单元节点处的位移作为基本未知量。,边坡有限单元模型,第三章 平面线弹性问题的有限元,3.1 有限单元法求解过程的一般步骤,2. 选择位移模式,离散后，采用节点位移为基本未知量，因此需要用节点位移表示单元

5、体的位移。必须对单元中位移分布作出一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数。,一般选用多项式（不完全的泰勒级数）,位移模式节点位移与单元内任意一点位移的关系式,单元内任意一点的位移列阵,形函数矩阵 （其元素是位移坐标的函数）,单元节点的位移列阵,有限元法比经典的近似法在位移函数的选取上具有明显的优越性。其中，多项式的项数为单元的自由度，阶数应含常数项和线性项。,第三章 平面线弹性问题的有限元,3.1 有限单元法求解过程的一般步骤,3. 单元分析,利用选定的位移模式，可进行单元力学特征分析（即用节点位移表示单元应变，单元应力，节点力）,利用几何方程，导出用节点

6、位移表示单元应变的公式,利用物理方程，导出用节点位移表示单元应力的公示,利用虚功原理建立节点位移与节点力的关系,第三章 平面线弹性问题的有限元,3.1 有限单元法求解过程的一般步骤,4. 计算节点荷载,将作用在单元边界上的表面力以及作用于单元上的体积力、集中力等等效地移植到节点上，也就是用等效的节点荷载来替代作用在单元上的力。（移植必须遵循静力等效或虚功等效原则）,5. 集合所有单元的刚度方程，建立整个结构的平衡方程,总体刚度矩阵,位移列阵（未知量）,荷载列阵（已知量）,第三章 平面线弹性问题的有限元,3.1 有限单元法求解过程的一般步骤,6. 引入位移边界条件，修正总体平衡方程,7. 解方程

7、，求未知节点位移及单元应力应变,由于已形成的总体矩阵K为一奇异矩阵，即其不存在逆矩阵K-1。 因此引入位移边界条件（或约束条件）修正刚度矩阵的奇异性（力学意义：即为消除结构的刚体运动）。,第三章 平面线弹性问题的有限元,3.2 位移模式及单元分析,1. 位移模式,即假定的单元内任意一点位移与坐标X，Y的某种函数关系式，用以描述单元内部的位移形态。,三角形的节点位移,第三章 平面线弹性问题的有限元,根据弹性力学的原理，外力总可以等效地移植到节点节点力只要有节点力就会产生节点位移。 对于三角形单元，有三个节点，就有6个位移分量（ui，vi，uj，vj，um，vm，也即有6个自由度），可以求出6个系

8、数。 我们可以将三角形单元的位移模式假设为：,位移模式为整个单元内位移与坐标的函数关系， 待定系数a1，a2，a3，a4，a5，a6可以根据节点坐标及节点位移确定。,第三章 平面线弹性问题的有限元,将节点坐标及对应的节点位移分量代入位移模式得：,为一线性代数方程组,由于此方程组得求解较繁，故定义节点坐标差：,顺次轮换，可得另外两组a，b，c的值。,第三章 平面线弹性问题的有限元,解方程组得：,是三角形单元的面积,令：,则：,简记,第三章 平面线弹性问题的有限元,设ui1，ujum0，则u（x，y）Ni Ni就表示当节点i产生单位位移时单元内部产生的位移，所以Ni是形函数。 从前面可知：三角形的

9、位移模式是线性的位移模式。,有限元的误差、是否收敛取决于位移模式，为了满足解的收敛性，位移模式必须满足三个条件。 位移模式必须包含刚体位移成分。为了描述相邻单元的位移，一个单元的变形相对另一个单元来说，就是刚体位移。 位移模式应包含单元的常量应变。 即当单元无限小时，应变常应变 位移模式应保证相邻单元在公共边界处位移的连续性。 满足、 条件，叫完备性单元 满足为收敛的充分条件。 三个条件同时满足的单元叫完备协调单元。,第三章 平面线弹性问题的有限元,可以证明：三节点三角形单元的位移模式满足上述条件 设单元的刚体位移为：,将三角形三节点的位移模式改写成：,将两式对比可得：,三节点三角形的位移模式

10、中含有刚体位移,第三章 平面线弹性问题的有限元,将位移模式代入几何方程可得,位移模式包含了全部常量应变。,由于所选位移模式为线性位移模式，因而单元上任一直线在位移后仍为一条直线。,第三章 平面线弹性问题的有限元,3.2 位移模式及单元分析,2. 由节点位移求应变,位移模式的选取已确定了单元内任一点的位移与节点位移的关系，由几何方程可得出应变与节点位移的关系。 对于平面问题有：,对形函数求偏导得：,（i, j, m）轮换,第三章 平面线弹性问题的有限元,将其代入几何方程得：,写成矩阵的形式为：,B中的元素均与三角形单元的几何性质有关的常量，所以三节点的三角形单元也叫常应变三角形单元。,第三章 平

11、面线弹性问题的有限元,3. 单元应力分析,也就是,对于平面应力问题,对于平面应变问题，,将换成,将E换成,即可,第三章 平面线弹性问题的有限元,4. 单元节点力与节点位移的关系,利用虚功原理建立单元刚度方程,则外力所作虚功：,则应力所作虚功：,由虚功原理得：,假设虚位移与实位移有相同得位移模式，则有：,第三章 平面线弹性问题的有限元,将U*中得元素考虑为常数，且虚位移可以是任意的，则：,Ke为单元的刚度矩阵。 所谓刚度：就是描述位移和力的关系的参数。 弹性系数：用以描述应力与应变得关系。 这里的Ke是一个通用公式，与单元的形状无关。 对于三节点的常应变三角形单元：,为一个66阶的方阵，它决定于

12、单元的形态、大小、方位和弹性常数，与单元的位置无关。,第三章 平面线弹性问题的有限元,将应变矩阵、应力矩阵（弹性矩阵）代入单元刚度矩阵得：,对于平面应变问题，,将换成,将E换成,即可,第三章 平面线弹性问题的有限元,单元刚度矩阵得物理意义,由虚功原理得节点力与节点位移的关系,根据矩阵乘法可得,由此可知：单元刚度矩阵的22阶子矩阵Krs表示使节点S（si，j，m）产生单位位移时，在节点r（r i，j，m ）上所需要施加的节点力得大小。,第三章 平面线弹性问题的有限元,如果将Krs展开,就是使节点s产生一个水平单位的位移，在r节点上所需要施加得垂直力,r,s,第三章 平面线弹性问题的有限元,单元刚

13、度矩阵的特性,a. 对称性,Ke是对称矩阵，即KijKji，可以用功的互等原理来证明,Fr,由Fr引起的位移Usr,Fs,由Fs引起的位移Urs,对弹性体有FrUrs FsUsr,对于单元e，在节点i，j上 FjxUjFiyVi 假定UjVi1 则FjxKji FiyKij KijKji,i,j,Fiy,Vi,Uj,Fjx,b. 奇异性,不存在,是由于没有引入位移边界条件的结果。,c. 分块性,第三章 平面线弹性问题的有限元,3.3 总刚矩阵的形成及其修正,1. 利用节点平衡组成总刚矩阵,外力节点力未知的内力 节点荷载节点力,（单刚矩阵描述了节点力与节点位移的关系）,第三章 平面线弹性问题的有

14、限元,第三章 平面线弹性问题的有限元,根据节点受力分析可得,R1x，R1y，R2y为约束反力，R2xR3xR4x0,第三章 平面线弹性问题的有限元,以上可以将它们按节点分单元写成矩阵形式，即,第三章 平面线弹性问题的有限元,写成分块矩阵的形式为：,那么对于节点力与节点位移的关系可表示为：,第三章 平面线弹性问题的有限元,将单元刚度矩阵、节点位移、代入节点力与节点荷载的平衡方程得：,第三章 平面线弹性问题的有限元,一般地,如果一个单元组合有n个节点，m个单元，那么总体刚度矩阵就是m个单刚矩阵由66阶升阶2n2n阶以后叠加的总和。,第三章 平面线弹性问题的有限元,2. 总刚矩阵的形成规律,Krs当

15、rs时，就是共用节点的所有单元的单刚矩阵子块的叠加结果。 Krs当rs时，若rs是结构体的内边，就是共用rs这条边的单元的对应的子块的叠加，如53边，若rs是外边，就是使用这个单元的对应子块，如14边。 若r、s不同属于一个单元时，则：Krs0。 总刚矩阵Krs中的两个脚标，r表示节点力作用的节点编号，s表示产生位移的节点编号，当rs时，该节点位移与所有共用单元在该节点的节点力有关，当rs时，节点s的位移就与rs所在单元的节点r的节点力有关，当r、s不属于同一单元，则节点s的位移与节点r的节点力没有直接关系。,第三章 平面线弹性问题的有限元,3. 总刚矩阵的特征,a. 对称性,KrsKsr,c. 奇异性,不存在,b. 稀疏性,证明,第三章 平面线弹性问题的有限元,4. 位移边界条件的引入及总刚矩阵的修正,零位移边界条件，删除对应的列和行 非零位移边界条件 两种方法： a. 一般方法 i）令已知位移u0i对应的荷载：Riu0i； ii）修改总刚矩阵中相应行、列元素，使： KijKji0， Kii1； iii）修改荷载矢量R，令：,b. 主对角线元素优先法 i）将与已知节点位移uiu0对应的总刚矩阵中的主对角线元素Kii乘以一个绝对大的数，如A1012； ii）将对应荷载项改为AKiiu0； iii）其余各项保持不变。,岩土工程地质问题分