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1、地震数据约束的地质统计学,INTRODUCTION,近几年来，石油勘探开发中研究的一个热点是在储层建模中整合(integrate)不同类型的数据。最典型的就是利用地震数据信息来约束井间孔隙度的度量。目的就是用一种或几种密集采样的二级属性（如从三维地震数据中提取出的声阻抗、振幅或旅行时等）来约束相关的一级变量（孔隙度、渗透率、深度等）,从而获得相应的空间分布。在这个过程中，地质统计学中不同的方法理论得到广泛的应用。,地质统计学理论方法简介,第一部分,本世纪50年代初期，南非矿业工程师克里金（kriging)在矿山工作时观察到金属的分布在空间上并非是纯随机的，而是在空间上具有相互联系。 法国巴黎矿
2、业学院马特隆教授(G.Matheron)将克里金的经验和方法上升为理论，即区域化变量理论(Regio-nalized Variable Theory)的雏形，从而为地质统计学理论体系的形成创造了条件。 美国斯坦福大学应用地球科学系儒尔奈耳(A.G.Journel)教授等人在1978年出版的专著矿业地质统计学(Mining Geostatistics)对地质统计学进行了系统的叙述，并总结了地质统计学在矿业中应用的实际经验。 80年以来，在石油勘探开发领域广泛的应用于储层和油藏参数的空间估计建模及非均质性分析。,地质统计学的发展史,本世纪50年代初期，南非矿业工程师克里金（kriging)在矿山工
3、作时观察到金属的分布在空间上并非是纯随机的，而是在空间上具有相互联系。 法国巴黎矿业学院马特隆教授(G.Matheron)将克里金的经验和方法上升为理论，即区域化变量理论(Regio-nalized Variable Theory)的雏形，从而为地质统计学理论体系的形成创造了条件。 美国斯坦福大学应用地球科学系儒尔奈耳(A.G.Journel)教授等人在1978年出版的专著矿业地质统计学(Mining Geostatistics)对地质统计学进行了系统的叙述，并总结了地质统计学在矿业中应用的实际经验。,地质统计学的定义,以区域化变量理论为基础，以变差函数为基本工具，研究那些在空间分布上既具有随
4、机性又具有结构性的自然现象的科学。,显然，按定义，凡是要研究空间分布数据的结构性和随机性，并对其进行最优无偏估计，或要模拟所研究对象的离散性、波动性或其他性质时均可应用地质统计学的理论与方法。,地质统计学的定义,地质统计学的若干基本假设及理论 （一）、区域化变量,所谓区域化变量是指以空间点的三个直角坐标为自变量的随机场。当对它进行了一次观测后，就得到了它的一个实现，它是一个普通的三元实值函数或空间点函数。区域化变量的两重性表现在：观测前把它看成是随机场(依赖于坐标 )，观测后把它看成一个空间点函数(即在具体的坐标上有一个具体的值)。,地质统计学的若干基本假设及理论,在地质统计学研究中是用变差函
5、数表示研究范围内区域化变量的空间结构性的，要用下式 计算变差函数时，必须要有，这一对区域化变量的若干现实，而在实际中只有一对这样的现实，即在、点只能测得一对数据(因为不可能恰在同一样点上取第二个样品)，也就是说，区域化变量的取值是唯一的，不能重复的。为了克服这个困难，提出了如下的平稳假设及内蕴假设。,（1）、平稳假设(stationary assumption) 满足下列两个条件时，称该区域化变量满足平稳假设： 1、区域化变量的数学期望是一个常数： 2、在整个研究区内，区域化变量的空间协方差函数存在且平稳：,协方差平稳意味着方差及变差函数平稳，从而有关系式:,地质统计学的若干基本假设及理论 （
6、二）基本假设,（二）、内蕴假设(intrinsic assumption) （只考虑变量的增量，而不考虑变量本身） 满足下列两个条件时，称该区域化变量满足内蕴假设： 1、在整个研究区内，随机函数的增量的数学期望为0： 2、对于所有矢量的增量的方差函数存在且平稳，即：,地质统计学的若干基本假设及理论 （二）基本假设,变差函数（Variogram)的定义,距离为h的变量值差的数学期望的平方的一半。,注：有时把 也称为变差函数,变差函数能够量化的描述区域化变量的空间结构变化特征，在地质统计学及储层建模中有无比重要的作用。 变差函数是一个距离函数。描述不同位置变量的相似性， 值越大，相关性越差。通常，
7、值随着距离矢量的增大而增大，直到达到一定值，达到其极大值，而后保持这个常数值不变。,变差函数的基本参数,变程 用来度量空间相关性的最大距离。一般来说，随样品点间距离增大，变差值趋于增大，使变差函数达到一定的平稳值时的空间距离叫做变程。当空间距离较变程大时，变差函数仍保持其平稳值。 基台值 变差函数在变程处达到的平稳值 此时，其变差值应为。然而，由于诸多因素的影响，比如抽样和实验误差以及小尺度的变异，上述结论不一定正确。例如在短距离内的大变异引起间隔非常近的样品有十分不相近的值，这就导致变差函数在原点的不连续性。 块金值 在原点附近非零的变差函数值。 块金效应 大变异性对原点附近变差函数的影响
8、. 它通常用块金值与基台值的比表示。相对块金效应常用百分比的形式，下图给出了一个实验变差函数的例子，同时对上面引进的三个参数加以说明。,变差函数的定义,实验变差函数的计算,1 基本的变差函数公式 变差函数的定义式是从所有可能的样品点对计算出来的。在实际中，假设是间距为的所有点对的总数，则变差函数可以通过下式计算： 式中N(h)是步长为h数据的对的数目， 和 是相距为h的两点采样值。因为变差函数是一种统计方法，在一定的步长上采样点越多，变差函数的估计结果越可靠。由于取样的特性，上面的等式不能直接在实际中运用。因为取样点对很少严格满足间距为h ，除非是按照规则的网格取样，为了采用此公式必须考虑如下
9、几点：,间距h为的取样点对的数目必须根据邻域的概念来计算。换而言之，在矢量h的首尾用一维线段，二维面或三维体来计算点对，意思是如果一点位于以矢量h的首端为中心的邻域，而另一点位于以矢量h的尾端为中心的邻域，这对点视为一个距离为h的取样点对。 变差仅对所选择的多个空间距离h来计算，通常的作法是选择一组规则的空间间距，如h,h ,h等。这就暗示着连续的变差函数用一系列的离散值来逼近。变差函数的特征，比如形状和大小，通过对照所选的空间距离的离散变差点来检查。 为了获得一个非常好的变差函数，取样点对不能太少，即取样的总数应尽可能地大。少量的样品点对将会产生怪异的实验变差值，因为变差函数是根据差的平方的
10、平均值来定义的，少量反常的样品值便会很容易地歪曲变差图。,实验变差函数的计算,采用邻域的概念，可以通过如下方法来修正，用以进行变差函数的实际计算 其中xi ,xj代表两个取样位置，上面等式的右边被除，这纯粹为了数学的方便，另一个变化便是邻域概念的使用。取代一个确切的距离矢量，我们仅仅要求两个样品的距离近似等于先前定的距离矢量。这种改进使它可以对所有的有效距离都能计算出变差函数。变差函数是关于h对称的，这种关系暗示着对任何特殊的方向上计算的变差函数等于其反方向的计算结果。这种对称性使它很容易在克立格方法中应用。,实验变差函数的计算,定义样品点邻域的方法不止一种。一种典型的方法就是采用图所示的截断
11、的楔形来定义样品的邻域，对距离和方向设定一个容许范围，这种方法把一个点扩展到一个面或一个体。实际上，容许范围的应用是恰当的，因为地学测量中很难设法确定取样点的确切位置。在变差函数计算中允许范围的使用实际上是合理的。邻域的概念也使变差函数值有某种程度的光滑性，这有利于建立变差函数模型。,计算实验变差函数,.,例如: 从第6个延迟距离开始计算,从一个点开始，考虑距离和角度的允许范围内的所有点。,.,移到下一个结点继续计算,计算实验变差函数,计算所有的结点,然后对多个空间距离重复上面的步骤,.,计算实验变差函数,理论变差函数模型的意义,实际中，实验变差十分混乱，使得掌握区域化变量的属性和利用变差函数
12、进行结构分析变得困难，为了根据实验变差函数获取区域化现象的主要空间结构，理论变差函数是必需的。 在估计网格结点时，样品点和估计点之间的空间相关性必须给定，这无法通过实验变差来产生，因为样品点和估计点间的距离可能是任何数而不是距离间隔。(这类似于回归分析中的预测问题，拟合线被用来预测与任何自变量值（不一定是观测值）相应的因变量的值。 ),基本变差函数模型,1、块金效应模型 块金效应模型、纯块金效应模型是最简单的变差函数，它们描述了在坐标原点不连续性的现象。许多实验变差，在原点或近原点具有明显的不连续性，这意味着有一明显的跳跃现象存在在距离原点的一个小的距离范围内，变差值从零跳到一个较大的值，这种
13、现象可以由下面的一个函数来刻划： 值得注意的是块金效应通常并不作为单独的基本模型来考虑，而在变差函数中当作常数来考虑，然而这个常数给出了在原点的不连续性的程度，上面的记号可理解为纯块金效应的标准化形式，块金效应的大小是通过来给出的，而也表示在原点不连续性的程度，在变差的套合模型中这个符号的方便之处可以很容易看出来。,基本变差函数模型,2、球状模型 球状模型是最普遍采用的变差模型，它的标准化形式为 其中a是变程，一个主要特点是在原点附近的小范围内表现出线性行为，但在大距离时变得平缓，当为变程时达到基台值。模型的另一个特点是原点的切线在变程时便达基台值，这个事实在拟合实验变差函数时非常有用，在图中
14、用黑实线给出的便是一球状模型。,基本变差函数模型,基本变差函数模型,3、指数模型 另一个普遍使用的跃迁模型是指数模型： 其中a是常数，这模型渐近达到它的基台值，使变差值达到基台值的95的距离a被认为是近似的变程，相似于球状模型，指数模型在原点附近是线性的，它逐步增加，当值逐渐增加到一定程度时变平缓了，原点处的切线在变程值的/附近达到基台值，在拟合实验变差时记住这一点是非常有用的。图中的点线便是指数模型。,基本变差函数模型,基本变差函数模型,4、高斯模型 高斯模型是用于刻划空间连续性的另外一个跃迁模型，其定义如下： a是常数，函数渐近地达到它的基台值，定义为变程，它使变差值达到基台值的，高斯模型
15、的特点是在原点附近表现出抛物线性质，在图中用虚线表示。这是仅有的一个含有拐点的基本变差模型。,基本变差函数模型,基本变差函数模型,5、线性模型 某些实验变差在整个图形上表现出线性，线性模型用于描述这种线性连续性，它没有跃迁行为，模型定义如下 这个模型没有一个确定的变程。,基本变差函数模型,1、块金效应模型、纯块金效应模型,2、球状模型,3、指数模型,4、高斯模型,5、线性模型,基本变差函数模型,空间的各向异性,一个各向异性的变差函数，随着方向的改变，它的变程或基台值也发生明显地改变。在地质统计学的文献中，定义了两种主要的各向异性：几何的和带状的。几何各向异性描述在各个不同的方向上有不同的变程，
16、但在所有的方向上有不变的基台值。而带状各向异性，基台值随方向变化而变程不变。,图 几何各向异性和带状各向异性的图示,实验变差函数建模过程,(1) 需要判断的是被考察的空间连续性是各向同性还是各向异性。如果是各向同性，在变差模型中仅用全向变差就可以了；如果是各向异性，模型将变得非常复杂，需要用多个步骤来完成这个过程。在各向异性变差模型中的第一步就是辨别各向异性，这通过结合定性和定量信息能够做到，例如，主要的轴，可以通过地质特征，比如地质体的延伸方向、倾向等等来确定。 (2) 构造一个模型，能够描绘整个变差函数特征在距离和方向上的改变。 (3)变差函数的标准化 这是焦点部分，就是，以使各向异性的问题可以采用各向同性变差函数同样的方法来对待。三维的各向异性变差函数需要结合不同方向的模型，这个组合模型按基台值和变程来说在所有的
