《08多元函数微分法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《08多元函数微分法（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学数学实验 微积分（下）微积分（下）多元函数微分法多元函数微分法实验目的：实验目的： 1、学习用软件求解多元函数的导数 2、学习用软件求解极值问题 3、会用软件解决应用问题 一、多元函数 z = f (x1, x2, xn)的求导命令 命 令 说 明 diff(z, xi) diff(z, xi, n) diff(diff(z,xi),xj) 求函数 z 对 xi 的偏导数求函数 z 对 xi 的 n 个偏导数求函数 z 先对 xi ，再对 xi 的二阶混合偏导数 实验内容例1 设：z=x4+y4-4x2y2, 求: , 及 当x=1,y=2,z=3时的值 syms x y z z=x4+y
2、4-4*x2*y2; zxx=diff(z,x,2) zyy=diff(z,y,2) zxy=diff(diff(z,x),y) x=1;y=2; eval(zxy) 运行结果： zxx =12*x2-8*y2 zyy =12*y2-8*x2 zxy =-16*x*yans = -32例2（隐函数求导）设 siny+ex-xy2=0 syms x y F=sin(y)+exp(x)-x*y2; yx=-diff(F,x)/diff(F,y) 运行结果： yx=(-exp(x)+y2)/(cos(y)-2*x*y) 求 例3计算函数 的全微分。 syms x y z u=x+sin(y/2)+e
3、xp(y*z); du=diff(u,x)*dx+diff(u,y)*dy+diff(u,z)*dz 运行结果： du =dx+(1/2*cos(1/2*y)+exp(y+z)*dy +exp(y+z)*dz 二、多元函数的极值 1、无条件极值（1）命令格式 命命 令令 说 明明 x,fmin=fminsearch(fun, x0)x, fmin=fminunc(fun, x0) 单 纯 形 法 ， x0为 初 始 搜 索点，x为极小值点，fmin为极小值拟牛顿法 步骤：绘制曲面图形，观察极值点用命令求极值 例4求函数 f=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值 X,Y=meshgrid(-
4、4:0.5:4); f=X.3-Y.3+3*X.2+3*Y.2-9*X; surf(X,Y,f) f1=x(1)3-x(2)3+3*x(1)2+3*x(2)2-9*x(1); x1,f1min=fminsearch(f1,2,0) 运行结果：x1 =1.0000 0.0000 f1min =-5.0000 f2=-x(1)3+x(2)3-3*x(1)2-3*x(2)2+9*x(1); x2,f2min=fminsearch(f2,-2,3) 运行结果：x2 =-3.0000 2.0000 f2min =-31.0000fmax=-f2min 运行结果：fmax =31.0000 即 极小值f(
5、1,0)=5,极大值 f(3,2)=31（2）用判定定理求极值。 解方程组 对每一驻点(x0 ,y0 )求出二阶偏导数的值。 A=fxx(x0 ,y0 ), B=fxy(x0 ,y0 ), C=fyy(x0 ,y0 )判别：若 ACB20 且 A0 且 A0， 极小值 f(x0,y0)； 若 ACB20， f(x0,y0)不是极值； 若 ACB20，失效；例5求例3的极值。 syms x y z=x3-y3+3*x2+3*y2-9*x; s=solve(diff(z,x),diff(z,y); s=double(s.x s.y); A=diff(z,x,2); B=diff(diff(z,x)
6、,y); C=diff(z,y,2); P=A*C-B2; P=double(subs(P,x,y,s(1:4,1), s(1:4,2) 运行结果： P = 72-72 -72 72A1=double(subs(A,x,y,s(1:4,1), s(1:4,2) 运行结果： A1 =12 -12 12 -12zmin=double(subs(z,x,y,s(1,1), s(1,2) 运行结果： zmin =-5 xmin=s(1,1)xmin = 1 ymin=s(1,2) ymin =0 zmax=double(subs(z,x,y,s(4,1), s(4,2) 运行结果： zmax =31
7、xmax=s(3,1) 运行结果： xmax =-3 ymax=s(3,2) 运行结果： ymax =2 2、条件极值拉格朗日数乘法问题：求函数 z=f(x,y) 在条件下的可能极值点 .基本理论：构造拉格朗日函数 其中r为参数；得x , y及,则 (x , y) 是 f(x , y) 在条件 下的可能极值点。 解方程组例6 设生产某种产品的数量与所用的两种原料A，B的数量x，y间的关系式 f (x , y )= 0.00 5x2 y ，欲用150元购料，已知A，B原料的单价分别为1元，2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？解：生产数量函数： f (x , y )= 0.00 5x2
8、y 条件： x + 2y = 150 syms x y r f=0.005*x2*y; L=f+r*(x+2*y-150); s=solve(diff(L,x),diff(L,y),x+2*y-150); S=double(s.x s.y s.r) 运行结果： S = 0 75 0 100 25 -25 fmax=double(subs(f,x,y,S(2,1),S(2,2) 运行结果： fmax =1250 xmax=S(2,1) 运行结果： xmax =100 ymax=S(2,2) 运行结果： ymax =25 故购进原料A为100个单位，原料 B为25个单位时，生产的产品最多为 125
9、0 个单位。三、多元函数微分学的三、多元函数微分学的应用用基本理论：空间曲线的参数方程1、空间曲线的切线与法平面上的点 M (x (t0) , y (t0) , z (t0) 处的切线方程为 上点M处的法平面方程为例求曲线 在对应于t=1的点处的切线及法平面方程，并画图。解解（1）求切点坐标 和M0处的切向量Matlab命令窗口输入 syms t M=t/(1+t) (1+t)/t t2; %动点M T=diff(M); %曲线在点M的切向量 t=1; M0=eval(M) M0 = 0.5000 2.0000 1.0000 T0=eval(T) T0 = 0.2500 -1.0000 2.0
10、000于是得切线方程法平面方程 （2）作曲线、切线和法平面的图形 t=0.1 : 0.1 : 2; x1=t./(1+t);y1=(1+t)./t;z1=t.2; subplot(2,2,1) plot3(x1,y1,z1,0.5,2,1,r*) text(0.3,1,2,切点(0.5,2,1) title(曲线x=t/(1+t),y=(1+t)/t, z=t2) t=-1:0.1:1; x2=1/2+1/4*t;y2=2-t;z2=1+2*t; subplot(2,2,2) plot3(x2,y2,z2,0.5,2,1,r*) title(切线x=1/2+t/4,y=2-t, z=1+2t)
11、 x=0:0.1:1;y=0:0.3:10; X,Y=meshgrid(x,y);Z=-X/8+Y/2+1/16; subplot(2,2,3) surf(X,Y,Z) hold on plot3(0.5,2,1, r*) hold off title(法平面2x-8y+16z=1) subplot(2,2,4) plot3(x1,y1,z1, b-, x2,y2,z2, r-,0.5,2,1, r*) hold on mesh(X,Y,Z) hold off hidden off %产生透视效果 xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z) title(曲线、切线及法平面)2、
12、曲面的切平面与法线 基本原理：曲面 F (x , y , z)在点M ( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为： Fx( x0 , y0 , z0 )( x- x0 ) + Fy( x0 , y0 , z0 ) ( y y0) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0) = 0法线方程为： 例8求曲面 ez-z+xy=3 在点 ( 2, 1, 0) 处的切平面及法线方程。 syms x y z F=exp(z)-z+x*y-3; n=diff(F,x) diff(F,y) diff(F,z); %求曲面的法向量 x=2; y=1; z=0; n0=eval(n)运行结果：
13、n0 =1 2 0故 切平面方程 ( x 2 ) + 2 ( y 1 ) = 0即 x + 2y 4 = 0法线方程为 3、近似计算基本理论：二元函数 z = f ( x , y ) 在点p ( x , y )处的改变量z dz = fx(x ,y)x + fy(x ,y)y 亦即 f( x+x, y+y ) f(x ,y) + dzz 的绝对误差 zdz fx(x,y)x +fy(x,y)y 其中x，y的绝对误差 xx ，yy 例9 有一无盖圆柱形容器，容器的壁 与底的厚度为0.1cm，内高为20cm，内半 径为4cm，求容器外壳所含体积的近似值。z 的相对误差解：设容器内半径为r，内高为h
14、，则容器内体积为v=r2h r0=4 h0=20 r=0.1 h=0.1容器外壳所含体积 v1 v ( r0 , h0 ) + vr ( r0 , h0 )r + vh ( r0 , h0)hsyms r h v=pi*r2*h; vv=diff(v,r) diff(v,h); r=4; h=20; v0=eval(v); vv=eval(vv); m=0.1 0.1; dv=vv*m; v1=v0+dv 运行结果: v1= 1.06060e+003 故容器外壳所含体积大约为 1060.6cm3 例10测得一块三角形土地的两边边长分别为630.1m和780.1m，这两边的夹角为601，试求三角
15、形面积的近似值，求其他绝对误差和相对误差。 解：如图所示：三角形的两条边长分别为 a=63cm, b=78cmA = 60 a=0.1 b=0.1 A1 三角形的面积 syms a b A s=a*b*sin(A)/2; sd=diff(s,a) diff(s,b) diff(s,A); a=63; b=78; A=60*pi/180; s0=eval(s)运行结果： s0 =2.1278e+003 sd0=eval(sd); m=0.1 0.1 pi/180; ds=sd0*m运行结果： ds =27.5468 es=ds/s0运行结果： es =0.0129 故得三角形面积的近似值为 21
16、28 m2，绝对误差为 27.5468m2 相对误差为1.29%。实验题一、基础型 1、求下列函数的偏导数（1）设z = yx ，求（2）设z = x ln (xy)，求 2、设 f (x, y, z) = xy2 + yz2 + zx2 求 ： 求fxx( 0, 0, 1), fxz (1, 0, 2 ), fyz ( 0, -1, 0)及 fzzx ( 2, 0, 1) 3、求曲线x = t, y = t2, z = t3在点（1，1，1）处的切线方程。 4、求旋转椭圆球面 3x2+y2+z2=16在点（-1，-2，3）处的切平面及法线方程。5、求函数的极值二、应用型 1、某厂要造一个体积为2m3的有盖长方体箱子，应该怎样选择尺寸，才能使用料最省。 2、当圆锥体形变时，它的底半径R由30cm增加到30.1cm，高H由60cm减到59.5cm，试求体积变化的近似值。
