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1、高中数学难点突破系列难 点 突 破(学生版)压轴题-函数与导数常考题型一、要点归纳1.曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为.2.若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立.3.对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。4.函数在区间I上递增（减）的充要条件是：,恒成立（ 不恒为0）.5.函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）.6.在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立.7.若，恒成立，则; 若，恒成立，则.8.若，使得，则；若，使得，则.9.设与的定义域的交
2、集为D，若D 恒成立，则有.10.若对、 ，恒成立，则.若对，使得,则. 若对，使得，则.11.已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则12.若三次函数f(x)有两个极值点，当且仅当方程一定有两个不等实根，若三次函数f(x)没有极值点，则方程有两个相等的实根或没实根.13.证题中常用的不等式: 二、常考题型：题型一：恒成立求参数的最值或取值范围问题1.(1)求的值； 2.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值； （）证明：当，且时，.3已知函数（1）判断函数的单调性；（2）是否存在实数使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，试说明理由.4
3、已知函数（1）设0，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当x1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围5已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）如果当时，不等式恒成立，试求实数的取值范围6设，（）当时，求曲线在处的切线方程；（）若存在，使成立，求满足上述条件的最大整数；（）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围7.设函数(I)若与具有完全相同的单调区间，求的值；()若当时恒有求的取值范围.8.已知函数,（）判断函数零点的个数,并说明理由； （）当时，恒成立，求实数的取值范围.9.已知函数.(1) 当时，求函数f(x)的极值(2)设函数，如果存在，对任意都有成立，试求的最大值10.
4、设函数（1）若函数在处与直线相切，求实数的值；求函数在的最大值；（2）当时，若不等式对所有的都成立，求实数的取值范围.11已知函数（为常数，）.（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）求证：当时，在上是增函数；（3）若对任意的（1，2），总存在，使不等式成立，求实数的取范围.12.已知函数 ，为的导数.（1）当时，证明在区间上不是单调函数；（2）设，是否存在实数，对于任意的，存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.13.已知函数（1）求的单调增区间；（2）若存在使得的14. 设函数()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围15已知函数（1）当时，
5、求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求的最小值16.设函数（1）证明：当（2）当恒成立,求的取值范围.18.设函数()求的单调区间()若为整数，且当时，求的最大值.题型二：导数与函数的切线问题19已知函数（1）求的单调增区间和最小值；（2）若函数与函数在交点处存在公共切线，求实数的值；（3）若时，函数的图象恰好位于两条平行直线；之间，当与间的距离最小时，求实数的值20.已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）若函数的图象上存在两点,其横坐标满足,且的图象在此两点处的切线互相垂直,求的取值范围.21.已知在函数的曲线上存在唯一点P ，过点P作曲线的切线与曲线有且只有一个公共点P，则切线的
6、斜率= _22已知函数（I）若曲线在点 处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（II）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.题型三：导数与函数的零点及零点关系问题23.已知函数大值（I）求函数的解析式；（II）判断函数在内的零点个数，并加以证明24. 已知函数有两个零点，且.（）求的取值范围； （）证明 随着的减小而增大；（）证明 随着的减小而增大.25.已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.（）求的取值范围；（）记两个极值点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.26.已知函数.（）求函数的单调区间；（）若函数有两个零点，且，试证明.27已知
7、函数f（x）=（xR）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），证明：当x2时，f（x）g（x）；（3）如果x1x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2428已知函数有两个零点.（）求a的取值范围； （）设x1，x2是的两个零点，证明：x1+x22.29已知函数（其中为常数）（1）当时，求函数单调区间（2）当时，设函数f（x）的三个极值点为，且.证明：30. 已知（）当时，的图象在处的切线恰与函数的图象相切，求实数的值.（）若函数的两个极值点为，求证：.31设函数其中是的导函数（1）令求的表达式；（2）若恒成立，求实数a的取值范
8、围；（3）设，比较与的大小，并加以证明32已知函数f（x）=ex-kx，xR.（1）若k=，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k0，且对于任意xR，f（|x|）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f(x)+ f(-x)，求证：F（1）F（2）F（n）（n）.难 点 突 破(教师版)压轴题-函数与导数常考题型一、要点归纳1.曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为.2.若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立.3.对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间4.函数在区间I上递增（减）的充要条件是：,恒成立（ 不恒为0）.5.函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于
9、在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）.6.在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立.7.若，恒成立，则; 若，恒成立，则.8.若，使得，则；若，使得，则.9.设与的定义域的交集为D，若D 恒成立，则有.10.若对、 ，恒成立，则.若对，使得,则.若对，使得，则.11.已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则12. 若三次函数f(x)有两个极值点，当且仅当方程一定有两个不等实根，若三次函数f(x)没有极值点，则方程有两个相等的实根或没实根13. 证题中常用的不等式: 二、例题精选1.；
10、2.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值； （）证明：当，且时，。2.解：（） ，由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以.考虑函数，则所以当x1时，而h（1）=0，所以当时，可得；当（1，+）时，可得.从而当时，即.3已知函数(1)判断函数的单调性；（2）是否存在实数使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，试说明理由.3解：(1) , 设在上为减函数,在上为减函数.(2)(法一)： 在上恒成立在上恒成立,设则若时,则令得当时, 在上为增函数,则当时, 故不能使在上恒成立若，则当时恒成立，在上为减函数,在上恒成立,在上恒成立.若显然不满足条件.综
11、上所述：当时，在上恒成立.（法二）：若时，不等式恒成立，即 ：若时，不等式恒成立，也即: 若时，由（1）可知在上为减函数.又（罗比特法则型），所以,即的取值范围是.4已知函数（1）设，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当x1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围4解：（1）因为，则当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以在处取得极大值因为在区间（其中）上存在极值，所以，解得 （2）不等式，即设，则设，则因为，所以，则在上单调递增所以得最小值为，从而，故在上单调递增，所以得最小值为，所以，解得 5已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）如果当时，不等式恒成立，试求实数的取
12、值范围6设， （）当时，求曲线在处的切线方程；（）若存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围6. 解：（1）当时，所以曲线在处的切线方程为； （2）存在，使得成立，等价于：，考察， ，由上表可知：， ，所以满足条件的最大整数； （3）当时，恒成立，等价于恒成立，记， 。记，由于，所以在上递减， 又，当时，时，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以。 （3）另解：对任意的，都有成立等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，由（2）知，在区间上，的最大值为。，下证当时，在区间上，函数恒成立。当且时， 记， 当，；当，所以函数在区间上递减，在区
13、间上递增，即，所以当且时，成立，即对任意，都有.7.设函数(I)若与具有完全相同的单调区间，求的值；()若当时恒有求的取值范围.7.解：（I）， 当时，所以在内单调递减；当时，所以在内单调递增. 又由得.此时，显然在内单调递减，在内单调递增，故.(II)由，得. 令，则. ，.若，则当时，为增函数，而， 从而当，即；10分若，则当时，为减函数，而，从而当时，即，则不成立.综上，的取值范围为. 8.已知函数,（）判断函数零点的个数？并说明理由； （）当时，恒成立，求实数的取值范围.8.【解】（）令则令得当；当在上单调递减, 在上单调递增；故当时有最小值，也是唯一的极值点；当时有最小值,当时,故函数有唯一的零点，即有唯一的零点.（）令则令，则，令，则，在上单调递增，即在上单调递增，. 当时，则，故在上是不减函数，. 当时, 则,又在上单调递增，故存在区间使得，单调递减，使得,即存在区间使得，显然与恒成立相矛盾.综上可得.(法二) 当时，由（）知，当得.9.已知函数.(1) 当时，求函数f(x)的极值(2)设函数，如果存在，对任意都有成立，试求的最大值9【解】(1)f(x)令f(x)0，解之得x0或x当时，随x的变化，f(x)与
