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1、1.( 2010年高考全国卷I理科9)已知为双曲线C:的左右焦点,点p在C上,p=,则P到x轴的距离为(A) (B) (C) (D) 1.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质第二定义余弦定理,考查转化的数学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得,.由余弦定理得cosP=,即cos,解得,所以,故P到x轴的距离为6.(2010年高考四川卷理科9)椭圆的右焦点,其右准线与轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是w_w_w.k*s 5*u.c o*m(A) (B) (C)
2、(D)解析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,即F点到P点与A点的距离相等w_w w. k#s5_u.c o*m而|FA|= w_w_w.k*s 5*u.c o*m |PF|a-c,a+c于是a-c,a+c即ac-c2b2ac+c2 w_w_w.k*s 5*u.c o*m又e(0,1)故e答案:D3.(2010年高考江苏卷试题6)在平面直角坐标系xOy中,双曲线上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是_【答案】4 解析考查双曲线的定义,为点M到右准线的距离,=2,MF=41.(2010年高考山东卷理科)(本小题满分12分)如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的
3、点和椭圆的左右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和.()求椭圆和双曲线的标准方程;来源:学.科.网Z.X.X.K()设直线的斜率分别为,证明;()是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【解析】()由题意知,椭圆离心率为,得,又,所以可解得,所以,所以椭圆的标准方程为;所以椭圆的焦点坐标为(,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为()设点P(,),则=,=,所以=,又点P(,)在双曲线上,所以有,即,所以=1()假设存在常数,使得恒成立,则由()知,
4、所以设直线AB的方程为,则直线CD的方程为,由方程组消y得:,设,则由韦达定理得:所以|AB|=,同理可得|CD|=,又因为,所以有=+=,所以存在常数,使得恒成立【命题意图】本题考查了椭圆的定义离心率椭圆与双曲线的标准方程直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力其中问题(3)是一个开放性问题,考查了同学们观察推理以及创造性地分析问题解决问题的能力10.(2010年高考江苏卷试题18)(本小题满分16分)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左右顶点为AB,右焦点为F设过点T()的直线TATB与椭圆分别交于点M,其中m0,(1)设动点P满足,求点P的轨迹
5、;(2)设,求点T的坐标;(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)解析 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识考查运算求解能力和探究问题的能力满分16分(1)设点P(x,y),则:F(2,0)B(3,0)A(-3,0)由,得 化简得故所求点P的轨迹为直线(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)N(,)直线MTA方程为:,即,直线NTB 方程为:,即联立方程组,解得:,所以点T的坐标为(3)点T的坐标为直线MTA方程为:,即,直线NTB 方程为:,即分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,解得:(方法一)当时,直线MN方程为: 令,解得:此时必过点D(
6、1,0);当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)(方法二)若,则由及,得,此时直线MN的方程为,过点D(1,0)若,则,直线MD的斜率,直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点因此,直线MN必过轴上的点(1,0)20.(本小题满分14分)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点. 解:(1)依题可设 (),则; 又的图像与直线平行 , , 设,则当且仅当时,取得最小值,即取得最小值当时, 解得 当时, 解得 (2)由(),得 当时,方程
7、有一解,函数有一零点;当时,方程有二解,若,函数有两个零点,即;若,函数有两个零点,即;当时,方程有一解, , 函数有一零点 综上,当时, 函数有一零点;当(),或()时,函数有两个零点;当时,函数有一零点.21.(本小题满分14分)已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.解:(1)设直线:,联立得,则,(舍去),即,(2)证明:由于,可令函数,则,令,得,给定区间,则有,则函数在上单调递减,即在恒成立,又,则有,即. 11. (2010年全国高考宁夏卷20)(本小题满分12分)设分别是椭圆的左右焦点,过斜率为1的直线与相交于两点,且成等差数列(1)求
8、的离心率; (2) 设点满足,求的方程(20.)解:(I)由椭圆定义知,又,得的方程为,其中设,则AB两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1,所以得故所以E的离心率(II)设AB的中点为,由(I)知,由,得,即得,从而故椭圆E的方程为37.(2009重庆卷理)已知以为周期的函数,其中若方程恰有5个实数解,则的取值范围为( ) A.B.C.D.【答案】B【解析】因为当时,将函数化为方程,实质上为一个半椭圆,其图像如图所示,同时在坐标系中作出当得图像,再根据周期性作出函数其它部分的图像,由图易知直线与第二个椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点时,方程恰有5个实数解,将代入得令由同样由与第二个
9、椭圆由可计算得综上知6.(2009重庆卷理)已知双曲线的左右焦点分别为,若双曲线上存在一点使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .解法1,因为在中,由正弦定理得则由已知,得,即,且知点P在双曲线的右支上,设点由焦点半径公式,得则解得由双曲线的几何性质知,整理得解得,故椭圆的离心率解法2 由解析1知由双曲线的定义知 ,由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.14.(2009天津卷文)若圆与圆的公共弦长为,则a=_.【答案】1 【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ,利用圆心(0,0)到直线的距离d为,解得a=18.(2009山东卷理)(本小题满分14分)设椭圆E: (a,b0)过
10、M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,(I)求椭圆E的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由解:(1)因为椭圆E: (a,b0)过M(2,) ,N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 21世纪教育网 则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线
11、的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. 21世纪教育网 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.11.(2009全国卷文)(本小题满分12分)已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、
12、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为()求a,b的值;()C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由解析:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理解:()设 当的斜率为1时,其方程为到的距离为 故 , 21世纪教育网 由 得 ,=()C上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立由 ()知C的方程为+=6. 设 () C 成立的充要条件是, 且整理得 故 将 21世纪教育网 于是
13、 , =, 代入解得,此时 于是=, 即 21世纪教育网 因此, 当时, ; 当时, ()当垂直于轴时,由知,C上不存在点P使成立综上,C上存在点使成立,此时的方程为.13.(2009安徽卷理)(本小题满分13分)21世纪教育网 点在椭圆上,直线与直线垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线的倾斜角为.(I)证明: 点是椭圆与直线的唯一交点; (II)证明:构成等比数列.解:本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数列等基础知识考查综合运用知识分析问题解决问题的能力本小题满分13分解:(I)(方法一)由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P. (方法二)显然P是椭圆与的交点,若Q是椭圆与的交点,代入的方程,得即故P与Q重合(方法三)在第一象限内,由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即因此,就是椭圆在点P处的切线21世纪教育网 根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线的唯一交点(II)的斜率为的斜率为由此得构成等比数列19.(2009四川卷文)(本小题满分12分) 已知椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线方程为(I)求椭圆的标准方
