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1、小学数学应用题解决的理论模型：基于阅读视角11级课程与教学论 陈筱媛 引言培养学生的问题解决能力是义务教育数学课程的重要目标之一，应用题不仅可以训练小学生的数学思维，而且可以提高小学生的问题解决能力。美国数学教育家波利亚（George Polya）在怎样解题中了解题的四个步骤：理解问题，制定方案，实施计划，回顾检查。理解问题是解题的第一步，也就是审题，审题即是学生对应用题进行文字理解，获得信息的认知过程。可见，小学生对数学应用题解决所面临的问题，不仅仅是数学计算技能，而更大的是对于应用题文字的理解，如何将应用题文字转译为数学符号和数学算式，因此，数学应用题的阅读理解成为关注的重要一隅。而这一问
2、题在实践中究竟应该怎样教学？这是对于教育研究者和一线教师都值得思考的问题。最近，美国的研究者罗伯特卡普拉罗（Robert M. Capraro）等人，研究了1974年到2009年有关数学应用题解决与阅读认知研究的相关文献，在此基础上了阅读与数学的理论模型，这个理论的形成和建立在数学和阅读的认知过程的相互关系，把阅读作为一种工具，增强数学应用题的解决能力。本文介绍了其阅读和数学认知模式，并对之加以评析，以期为我国的应用题教学策略获得启发意义。 一、研究背景（缘起） 数学应用题又称为数学文字题(mathematical word problems)，是以现实世界中的事件与关系为题材，用自然语言叙述
3、，以执行数学运算为主的问题 康园园.近年国内小学数学应用题解决研究的评述J.成都大学学报:教育科学版,2008,22(10):20-23.。小学数学应用题的研究一直是数学教育研究中重要的主题。涉及应用题解题的认知心理研究，应用题教学策略研究等。数学作为一种特殊的语言，而数学应用题是以文字信息呈现的问题，包含特殊的语义关系和数学变量关系，如果学生阅读能力不足，会导致数学应用题解题困难。 （一）应用题语句中渗透变量关系 整个小学阶段的应用题教学内容主要是以算术应用题为主，可分为涉及加减运算的加减应用题和涉及加减乘除运算的算术应用题。如一个两步运算的应用题包含两个变量名的数字关系。第一个句子包含关于
4、第一个变量名的赋值语句，第二个句子包含第二个变量名和第一个变量名之间关系的关系语句，第三个句子会针对第二个变量名的数量提问（如小明有4个苹果，小红比小明多5个苹果，请问小红有多少个苹果？）。 （二）应用题包含不同程度的语义关系 Greeno、Riley等根据增加、减少、合并、比较等概念知识，按语义关系将加减算术应用题归为三种类型：（1）引起变换问题( cause- change problems)。变换问题描述了加减这种操作引起的事物在数量上的增加或减少。比如“乔有3个弹球，汤姆给了他5个弹球。乔现在有多少个弹球？”（2）组合问题(Combination problems)。组合问题中有一个并
5、不变化的量，问题解决者需要做出合并或分解。比如“乔有3个弹球，汤姆有5个弹球。他们俩一共有多少个弹球？”（3）比较问题(Comparison problems)。比较问题是比较两个不变的量的大小。比如“乔有3个弹球，汤姆比他多5个弹球。汤姆有多少个弹球？”这种区别的价值在于能直观地确定问题的难度，因为尽管有些问题有相同的算术结，但概念结构不同，因而对于儿童来说，难度就不同。 （三）阅读能力不足导致小学生解题障碍 阅读理解在数学学习过程中十分重要。一线教师通过多年教学实践发现，在做数学应用题时，如果由教师读题，学生们一般都能顺利理解题意，而由他们独立完成题目，则往往会出现各种不同的错误 刘 佳.
6、小学生在数学题阅读方面的问题及对策J小学生教学实践.2011(6). 。这说明，小学生的数学阅读能力存在着不足之处，以至于不能准确理解题意，从而导致应用题解题障碍。因此，如何培养学生的数学阅读能力，通过阅读促进小学生的问题解决能力，成为了研究者和数学教师关注的问题。 二、小学数学应用题解决的理论模型 根据近期（2009），美国教育进展评估的资料显示，自从2007年开始小学四年级学生的数学成绩整体没有提高。这使得小学四年级的数学教学备受关注。美国的研究者罗伯特卡普拉罗（Robert M. Capraro）等人，综述了以往有关数困生（mathematics difficulties）和共症生（ma
7、thematics and reading difficulties）的研究发现，数困生问题解决能力超过共症生，共症生应用题解题表现最差1，进一步说明我们应关注与应用题相关联的阅读问题。另一方面，研究发现小学低年级的数学学困生比共症生占有更大的比例(Jordan 等2002），数困生仅仅趋向于缺乏某一方面的数学思维，而共症生在数学思维上有普遍缺乏的现象（Jordan和Hanich2000)。研究需要进一步，来确定哪一个认知过程在很大程度上使得仅数困生(MD)和共症生（MD / RD）表现不同，以及那个认知过程使得阅读障碍或者是语音加工障碍，在调节上表现差异2。阅读与数学学习有着密切的联系，在实
8、证研究和理论研究中需要一个整合数学和阅读的理论框架。因此，近期美国的研究者罗伯特卡普拉罗（Robert M. Capraro）等人对前人有关整合阅读与数学认知成分的研究进行了元分析，包括实证研究和理论研究，保留实证研究中最大效应的认知成分，以及理论研究中有预期结果和假设的适用于小学生的整合数学和阅读的明确模式，进行分析和简化，形成了一个集成的认知策略，通过发展和细化一个可行的理论框架，促进阅读来解决数学问题，用以提高数学概念的理解。 这一理论框架的是基于一定的理论基础。 （一） 理论基础 数学不仅是用于发现的工具，而且是一门交流的语言，然而，数学的语义特征和句法结构使得学生难以掌握 (Esty
9、 1992)。小学高年级的学生从非语境化算法的解释转移到复杂情景化问题解决的理解，数学学习开始从算法的焦点转移到数学思想的理解和数学概念的归纳(Ashlock 2001)，小学高年级学生都处于数学学习的关键期，这说明通过阅读理解和推理能力，派生出数学算术表达式，提高应用题解决的迫切性和必要性；其次，数学和阅读认知存在共享的认知技能，这使得整合理论成为可能。 1. 小学高年级学生处于数学学习的关键期 小学高年级学生学习期望是，通过使用阅读认知策略，能够发展和深化内容知识。也就是说，处理数学应用题，理解内容文本意味着能够成功地解释对文本的理解，并且为执行过程策略做好部署(Scammacca et
10、al. 2007; Vaughn and Coleman 2004)。研究表明小学高年级数学和阅读困难的学生，通过提高阅读能力，加强解决复杂问题的认知表征，可以使他们成功解决数学问题 (Baxter and Reddy 2007; Geary 1993; Heilman et al. 2002)。1.1 小学高年级数学课程对阅读认知的要求很多数学学习很好的小学生可能会经历“四年级衰退”(Chall et al. 1990)，因为阅读需求已经转变为阅读学习。小学生进入高年级，数学和阅读技巧两者因素，使得他们在数学学习上产生差异(Fuchs et al. 2004; Swanson and Jer
11、man 2006)。一方面，小学高年级的数学和阅读内容经历了较大的课程变化，这对学生阅读和从文本中学了更高的认知技能(Chall 1996)。另一方面，小学高年级课程，数学算法内容变得较少，学生解决复杂的问题更多依赖于解释文本和阅读理解。 1.2小学高年级阅读和数学认知的语境化因为小学生阅读文本刚刚开始形成语境化，数学发展和认知还处于新生的水平，教师对高年级学生应用题转变教学是最合适的时间，也就是维果茨基(1978)所谓的学生的最近发展区，他认为在这个范围能够最快速度的促进学生发展。其次，认知科学家一直认为，学习发生在一定的情境中是至关重要的(Godden and Baddeley 1975)
12、。（Collins et al.1989）认为，当所教的技能和概念独立于学生的现实生活环境和情境时，认知能力没有获得太大的发展。就如他们(Brown et al. 1989, p. 32)所说“情境通过活动也许可以共生知识，学习和认知是否能够共同发展，从根本上，这值得讨论。” 2. 数学和阅读共享的认知技能阅读和数学之间存在着共享的认知技能，包括连接已知知识、词汇知识和元认知策略。 2.1 阅读解码词语，连接已知知识阅读所需要的技能，同样是阅读数学问题所需要的，学生必须能够解码多音词语，与他们已知的新概念进行连接，总结选择的概念，组织信息和读取记忆(Readance et al. 1998)，
13、数学教科书中没有支持学生获得和使用，以及在学习中需要转化的这些技能。例如，了解线性方程和代数关系是学生成功学习高等数学概念的基础。小学高年级学习或者中年级学生需要为深刻理解和流畅性理解线性方程，开发专业技能 (Silver 2000)。因此，理解学生熟练地将书面和口头线性方程转化为，更为概括化的形式和解决方案是很重要的。 2.2 词汇认知负荷影响数学问题解决在数学问题中的词汇是高度专业化，富有挑战性的认知，更需要的是读者的评判性阅读技巧(Gardner 2007)。通常不熟悉的词汇承载着大量的内容负荷，之前没有看过或者听过，并且会有多个含义。例如，一篇100字的叙述文中，学生不识的单词多达10
14、个，也可以保持足够的理解。一篇数学文本，准确地认识其中90%的单词，可能会造成理解不顺畅，因为在那些未知的词语可能对于解决这个问题至关重要。学生必须能够解码词语和了解词语对于问题的作用，此外，他们必须理解专业数学词汇，以便数学地交流和数学地思考 (Bryant et al. 1999;Samuels and Flor 1997; Zevenbergen 2000)。国家评估局已经反复显示，年轻的和年老的学生发现数学问题，包含了困难的无关信息(Carpenter et al. 1988; Kouba et al. 1988; Kouba and Wearne 2000)。大量数学问题解决研究着手
15、于问题解决中词语意义的心理表征，然而，很少的工作是关注于学生用来区分什么是无关紧要信息的认知策略。因此，数学问题阅读中还需要区分无关信息的认知策略。 （二）理论模式 两个认知理论模式包涵不同的认知组件，侧重点也不一样，识别模式是基于分步练习的直接教学，体现的是影响学生应用题阅读的词语识别的认知成分；而生成模式是应用题解决的认知需要，是关于应用题故事结构的组织，解释故事文本，提炼数学问题，体现的是影响学生产生应用题解决方案的认知成分。 1. 识别模式这个识别模式中的认知成分是基于分步练习的直接教学(Blair et al. 2007)。学生在阅读和口头重复述文章时，获得指导和反馈能使得他们能够成
16、为更好的阅读者。嵌入数学概念的口头重复阅读能够大大促进他们阅读相似数学内容的文字识别、速度、准确性和流利度，在阅读其他信息文本时也同样如此。这些组件增强学生数学里阅读的经验，从而导致整体识别文字的数量不断增长，从而使学生建立几十个常用数学词语的自动刺激反应模式。1.1 识别模式的认知组件研究表明，应用题阅读中文字识别、词汇和语义、语法的认知特征至关重要(Capraro et al. 2007)。这些认知特征可能影响学生阅读的流利度（例如，反复阅读，押韵，歌曲），和理解语言结构（例如，动词，主语或者名词一致性和语素） 。并且能支持和加强数学问题概念化。 菲尔德和李塞尔 (Littlefield and Riesers1993) 研究了识别信息的语义功能特
