《2018学年全国名校大联考高三第四次联考数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018学年全国名校大联考高三第四次联考数学（理）试题（解析版）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全国名校大联考20172018学年度高三第四次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】求解函数的定义域可得：，结合交集的定义可得： .本题选择B选项.2. 若方程表示圆，则其圆心为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】圆的一般方程为：，据此可得，其圆心坐标为：，即.本题选择D选项.3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数有意义，则：，求解对数不等式可得函数的定义域为：，表示为区间形式即.本题选择A选项.点
2、睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可4. 已知直线与圆相交于两点，且关于直线对称，则的值为（ ）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】D本题选择D选项.5. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）A. 2 B. 5 C. 15 D. 12【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，最大值为：.本题选择C选项.6. 如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，点为
3、其所在棱的中点，三视图对应的几何体为图中的正方体与四棱锥所形成的组合体，其中正方体的体积，四棱锥的体积：，该组合体的体积.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解7. 等比数列的前三项和，若成等差数列，则公比（ ）A. 3或 B. -3或C. 3或 D. -3或【答案】C【解析】很明显等比数列的公比，由题意可得：，且：，即，联立可得：或，综上可得：公比3或.本题选择C选项.8. 已知是相异两平
4、面，是相异两直线，则下列命题中错误的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】由线面垂直的性质可知选项A,B,C正确，如图所示，对于选项D，在正方体中，取直线为，平面为上顶面，平面为平面，则直线为，此时有，直线与为异面直线，即选项D的说法是错误的；本题选择D选项.9. 若点在函数的图像上，则下列点在函数的图像上的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数与函数互为反函数，其函数图象关于直线对称，则原问题等价于求解点关于直线的对称点，据此可得所求解的点的坐标为.本题选择C选项.10. “”是“直线：与直线：垂直”的（ ）A. 充分不必要条件 B.
5、必要不充分条件C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】D【解析】若“”，则所给的直线方程为：，两直线不垂直，充分性不成立；若“直线：与直线：垂直”，则：，解得：或，必要性不成立；综上可得：“”是“直线：与直线：垂直”的既不充分也不必要条件.本题选择D选项.11. 已知函数满足，若在上为偶函数，且其解析式为，则的值为（ ）A. -1 B. 0 C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：，即函数是周期为的函数，则：.本题选择B选项.12. 已知底面为正方形的四棱锥，各侧棱长都为，底面面积为16，以为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥相交部分的体积是（ ）A. B. C. D. 【答
6、案】C【解析】构造棱长为4的正方体,四棱锥O-ABCD的顶点O为正方体的中心,底面与正方体的一个底面重合.可知所求体积是正方体内切球体积的,所以这个球与四棱锥O-ABCD相交部分的体积是:.本题选择C选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13. 若，为第二象限角，则_【答案】【解析】由题意结合诱导公式有：，结合同角三角函数基本关
7、系有：，则：.14. 在空间直角坐标系中，已知点，点在轴上，且到与到的距离相等，则的坐标是_【答案】【解析】试题分析：设，由，可得，故.考点：用空间向量求直线间的夹角、距离点评：本题考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题15. 已知圆.由直线上离圆心最近的点向圆引切线，切点为，则线段的长为_【答案】结合几何关系可得线段的长度为.16. 设是两个非零平面向量，则有：若，则若，则若，则存在实数，使得若存在实数，使得，则或四个命题中真命题的序号为 _（填写所有真命题的序号）【答案】【解析】逐一考查所给的结论：若，则，据此有：，说法正确
8、；若，取，则，而，说法错误；若，则，据此有：，由平面向量数量积的定义有：，则向量反向，故存在实数，使得，说法正确；若存在实数，使得，则向量与向量共线，此时，若题中所给的命题正确，则，该结论明显成立.即说法正确；综上可得：真命题的序号为.点睛：处理两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知在中，且.（1）求角的大小；（2）设数列满足，前项和为，若，求的值.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：(1)
9、由题意结合三角形内角和为可得.由余弦定理可得，结合勾股定理可知为直角三角形，.(2)结合(1)中的结论可得 .则 ，据此可得关于实数k的方程，解方程可得，则或.试题解析：（1）由已知，又，所以.又由，所以，所以，所以为直角三角形，.（2） .所以 ，由，得，所以，所以，所以或.18. 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，.（1）求证：是平面的法向量；（2）求平行四边形的面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合空间向量数量积的运算法则计算可得，.则，结合线面垂直的判断定理可得平面，即是平面的法向量.(2)利用平面向量的坐标计算可得，则，.试题解析：（1），.
10、，又，平面，是平面的法向量.（2） ，故， .19. （1）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程；（2）求与圆外切于点且半径为的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意可得圆的一条直径所在的直线方程为，据此可得圆心，半径，则所求圆的方程为.(2)圆的标准方程为，得该圆圆心为，半径为，两圆连心线斜率.设所求圆心为，结合弦长公式可得，.则圆的方程为.试题解析：（1）过点且与直线垂直的直线为，由 .即圆心，半径，所求圆的方程为.（2）圆方程化为，得该圆圆心为，半径为，故两圆连心线斜率.设所求圆心为，.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有
11、关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式20. 如图所示，平面，点在以为直径的上，点为线段的中点，点在弧上，且.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面；（3）设二面角的大小为，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】试题分析：（1）由ABC中位线的性质可得，则平面.由线面平行的判断定理可得平面.
12、结合面面平行的判断定理可得平面.（2）由圆的性质可得，由线面垂直的性质可得，据此可知平面.利用面面垂直的判断定理可得平面平面.（3）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.结合空间几何关系计算可得平面的法向量，平面的一个法向量，则.由图可知为锐角，故.试题解析：（1）证明：因为点为线段的中点，点为线段的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.因为，且平面，平面，所以平面.因为平面，平面，所以平面平面.（2）证明：因为点在以为直径的上，所以，即.因为平面，平面，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（3）解：如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线
13、为轴，建立空间直角坐标系.因为，所以，.延长交于点.因为，所以，.所以，.所以，.设平面的法向量.因为，所以，即.令，则，.所以.同理可求平面的一个法向量.所以.由图可知为锐角，所以.21. 已知圆，点，直线.（1）求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）设所求直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径可得关于b的方程，解方程可得，则所求直线方程为（2）方法1：假设存在这样的点，由题意可得，则，然后证明为常数为即可.方法2：假设
14、存在这样的点，使得为常数，则，据此得到关于的方程组，求解方程组可得存在点对于圆上任一点，都有为常数.试题解析：（1）设所求直线方程为，即，直线与圆相切，得，所求直线方程为（2）方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；当为圆与轴右交点时，依题意，解得，（舍去），或.下面证明点对于圆上任一点，都有为一常数.设，则， ，从而为常数.方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，将代入得，即对恒成立，解得或（舍去），所以存在点对于圆上任一点，都有为常数.点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22. 已知函数的导函数为，其中为常数.（1）当时，求的最大值，并推断方程是否有实数解；（2）若在区间上的最大值
