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1、XX届高考数学轮函数的最值专项复习教案10函数的最值知识梳理求函数最值的常用方法有:配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值;判别式法:若函数y=f可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程ax2+bx+c=0,则在a0时,由于x、y为实数,故必须有=b24ac0,从而确定函数的最值,检验这个最值在定义域内有相应的x值.不等式法:利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.数形结合法:利用函数图象或几何方法求出函数的最值.函数的单调性法.点击
2、双基函数f=的最大值是A.B.c.D.解析:1x=1x+x2=2+,f=,fax=.答案:D若x2+y2=1,则3x4y的最大值为A.3B.4c.5D.6解析:x2+y2=1,可设x=cos,y=sin.3x4y=3cos4sin=5sin5.答案:c函数y=x的最大值为_.答案:设x0,y0且3x+2y=12,则xy的最大值是_.解析:x0,y0,3x2y262xy6.答案:6函数y=|x1|+|x3|的最小值是_.解析:在数轴上,设1、3、x对应的点分别是A、B、P,y=|x1|+|x3|=|PA|+|PB|AB|=2.答案:2典例剖析【例1】某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边
3、长分别为x、y的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为82,问x、y分别为多少时用料最省?解:由题意得xy+x=8,y=.于是,框架用料长度为L=2x+2y+2=x+2=4.当且仅当x=,即x=84时,等号成立.此时,x2.343,y=22.828.故当x为2.343,y为2.828时,用料最省.【例2】设f=g=t+.求S=fg的最大值.解:当0t20时,S=.=10.5,又tN,t=10或11时,Sax=176.当20t40时,S=.t=20时,Sax=161.综上所述,S的最大值是176.【例3】设0a1,x和y满足logax3logxalogxy3,如果y有最大值,求这时a
4、和x的值.解:原式可化为logax3,即logayloga2x3logax32,知当logax时,logay有最小值.0a1,此时y有最大值a.根据题意有aa.这时xa.评述:本题是已知函数的最值,求函数式中的字母参数的值.这类问题,也是常见题型之一.深化拓展已知f=2+log3x,求函数g=f2+f的最大值与最小值.解:由f的定义域为1,9可得g的定义域为1,3.又g=2+=23,1x3,0log3x1.当x=1时,g有最小值6;当x=3时,g有最大值13.答案:当x=1时,g有最小值6;当x=3时,g有最大值13.闯关训练夯实基础若奇函数f在a,b上是增函数,且最小值是1,则f在b,a上是
5、A.增函数且最小值是1B.增函数且最大值是1c.减函数且最小值是1D.减函数且最大值是1解析:f=1,f=1.答案:B将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为_.解析:设正方形周长为x,则圆的周长为1x,半径r=.S正=2=,S圆=.S正+S圆=.当x=时有最小值.答案:设函数f的定义域为R,若存在常数0,使|f|x|对一切实数x均成立,则称f为F函数.给出下列函数:f=0;f=x2;f=;f=;f是定义在R上的奇函数,且满足对一切实数x1、x2,均有|ff|2|x1x2|.其中是F函数的序号为_.答案:函数y=的值域是_.解析:由
6、y=,得x=0.y3.答案:是偶函数,不必取0,)则y=sin2.yax=,yin=0.培养能力设函数f=x2+x+的定义域是n,n+1,问f的值域中有多少个整数?解:f=2+的图象是以为顶点,开口向上的抛物线,而自然数n,f的值域是f,f,即n2+n+,n2+3n+.其中最小的整数是n2+n+1,最大的整数是n2+3n+2,共有+1=2n+2个整数.已知函数g=lgax2x+3的值域是R,求实数a的取值范围.解:由题意知,应使h=ax2x+3能取到一切正实数.a=0时,h=x+3,显然能取到一切正实数;a=1时,h=2x+3,也能取到一切正实数;a0且a1时,h=ax2x+3是二次函数,必须
7、有解得a1或0a.综上所述,a的取值范围是,10,.探究创新已知函数f=x,xR.当x0时,求f的最大值;当x0时,指出f的单调性,并用定义证明;试作出函数f的简图.解:x0,欲求f的最大值,必有1x20,y2=x22=2x23=,y=.当且仅当2x2=1x2,即x=时,取“=”,即fax=f=.由知,当x单调递增,x,+)时,f单调递减.设x2x10,则ff=x23+x2=1.当0x1x2时,x2x10,10.ff.f在0,ff.f在,+)上递减.注:图象过点、,关于原点对称.评述:第题也可用导数解决.=13x2,令=0,x=.又x0,x=.通过检验单调性知,当x=时,f取得最大值,其最大值
8、为,以下解法同上.思悟小结求函数的最值与求函数的值域是同一类问题,都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.利用判别式法及不等式法求最值时,都需检验等号能否取到.另外,利用判别式法解决问题时,一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时,不能用判别式法解决问题.教师下载中心教学点睛利用导数先求极大值和极小值,然后确定最值,也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.拓展题例【例1】已知二次函数y=f的最大值等于13,且f=f=5,求f的解析式.解:f=f,抛物线y=f有对称轴x=1.故可设f=a2+13,将点代入,求得a=2.f=22+13=2x2+4x+11.【例2】已知函数f的定义域为R,且对一切xR,都有f=f,f=f.若f=9,求f的值;已知x2,7时,f=2,求当x16,20时,函数g=2xf的表达式,并求出g的最大值和最小值.解:由f=f,f=f可以发现函数f的图象关于直线x=2,x=7对称,且f=f+2=f2=f=f7=f7+=f.f是以10为周期的周期函数.f=f=f=9.根据周期性、图象的对称性,结合图象可得到f=g=x16,17时,g的最大值为16,最小值为9;xg=9,g的最大值为g=36,gax=36,gin=9.