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1、第2章 系统建模的基本方法与模型处理技术,3 化系统结构图为状态方程,1) 一阶系统的状态变量图,如果系统的传递函数是以方框图的形式来表示的，就可以将方框图先转化为状态变量图，然后根据状态变量图中积分器的输出确定系统的状态变量及状态方程。这一方法实际上应用了模拟计算机仿真的主要思想。,(a)系统的方框图,如图(a)所示的一个一阶系统，它的传递函数为,对这个一阶环节，可以用一个积分器加反馈环节来模拟，如图 (b)所示，把积分器的输出x看成一个状态变量，积分器的输入是,上述方法可以推广到高阶系统，根据方框图的组合形式的不同，具体的转换方法有级联法、串联法和并联法等形式。,在图上进行标注后得到系统的
2、状态变量图。根据系统的状态变量图，可以很容易地列写出系统的状态方程和输出方程。,2）级联法,一个三阶系统的传递函数如式(1)所示,如果把式(1)改写成式(2)的形式,(1),(2),(3),令,由传递函数定义可知,(4),可得,由式(4) 、(5)画出状态变量图,(5),3）串联法 如果把式(1)改写成式(6)的形式,(6),传递函数是三个一阶环节的连乘积，相当于三个一阶环节串联，画出系统的模拟结构图如下所示。,(6)写成式(7)的形式,(7),由状态变量图可得状态方程和输出方程,4)并联法,如果把式（1）改写成式（8）的形式，传递函数是三个一阶环节的并联,(8),系统的模拟结构图是这三个一阶
3、环节并联。按照结构图可以直接列写出系统的状态方程和输出方程,y,4. 实际中应用的一般方法 在工程实际问题中，实际的物理装置常常由多个部件或分系统构成，建立数学模型时，最方便的方法是对每一个部件或分系统分别用传递函数来描述。 在进行仿真时，一般不必事先求出闭环系统的传递函数，再将传递函数转化为状态方程，实际上是将每一个部件或分系统的传递函数转化为对应的状态方程，这样做所选择的状态变量能有较明确的物理意义，特别是能使实际物理装置的输出作为系统的输出变量，并在输出方程中表示出来。为对系统的性能进行分析提供了极大的方便。 下面给出在描述部件的传递函数时常常用到的典型环节及其对应的状态方程和输出方程。
4、,1）积分环节,相应的状态方程和输出方程为（状态变量x即是输出变量y）,2）比例加积分环节,相应的状态方程和输出方程为,3）惯性环节,相应的状态方程和输出方程为,-a,u,4）超前滞后环节（按输出和输入阶数相等的情况处理微分方程到状态方程转换）,相应的状态方程和输出方程为,2.2.3离散时间系统的模型,1.离散时间信号 离散时间信号是指在时间上取离散值而不考虑其幅度是否离散的信号，可用序列来表示。序列是指按着一定次序排列的数值x(n)的集合，表示为,或,其中n为整数，是x(n)的序号， x(n)表示序列中的第n个抽样值。为简单起见，也可把序列,写成x(n)。,应当注意x(n)仅当n为整数时才有
5、定义，对于非整数时x(n)没有定义。不能认为是0。,x(n),0,1,2,3,-3,-2,-1,典型离散时间信号 1）单位样值序列,2）单位阶跃序列,3）指数序列,4）正弦序列,序列的基本运算,1）两序列之和 两序列之和为同序号下，两序列的值x(n)和y(n)之和所形成的新序列，表示为,2）两序列之积 两序列之积为同序号下，两序列的值x(n)和y(n)之积所形成的新序列，表示为,3）序列乘以常数a 序列乘以常数a ，即为序列的每一序号的值x(n)以常数a所形成的新序列，表示为,4）序列的位移,右移,利用单位样值序列的定义和位移序列的概念，可以把任意序列表示成各位移的单位样值序列的加权和如上图x
6、(n)：,一般地，任意序列可以表示为,2. Z变换,1）Z变换的定义 Z变换的定义可以由抽样信号的拉氏变换引出也可以直接对离散信号给与定义 我们首先看抽样信号的拉氏变换，若连续信号x(t)经均匀冲激抽样，其抽样信号xs(t)的表示式为,如果考虑取样信号为单边函数，则上式可表示为,式中T为抽样间隔。,对上式两边取拉氏变换，得到,将上式中积分与求和的次序对调便可得到抽样信号的拉氏变换,如果此时引入一个新的复变量z令,则上式变为复变量z的函数式,通常对于序列来讲我们不关心T的具体值取T=1，则上式变为,上式就是由拉氏变换引出来的离散信号x(n)的Z变换式，通常记作,需要指出的是Z变换存在收敛问题，对
7、于任意给定的序列的Z变换，使之收敛 的Z值的集合称为Z变换的收敛域。收敛域是Z变换中重要的概念，讨论序列的Z变换时，必须明确Z变换收敛域。,取其Z变换得,b）单位阶跃序列,a）单位样值序列,2）典型序列的Z变换,取其Z变换得,由级数理论知若,该几何级数收敛，它等于,c）指数序列,取其Z变换得,3）逆Z变换,a）幂级数展开法（长除法）,因为x(n)的Z变换定义为Z-1的幂级数,所以,只要在给定的收敛域内把X(z)展成幂级数，级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)为有理函数，含分子多项式N(z)，分母多项式D(z)，则X(z)= N(z)/ D(z)，因x(n)为因果序列，此时N(z)、
8、 D(z)按z的降幂（z-1的升幂）次序排列。,例 求,的逆Z变换x(n),其中,由Z变换的定义,可知,b)部分分式展开法,在实际中，序列的Z变换通常为z的有理函数，一般可以表示为,对于因果序列，它的Z变换收敛域为|z|R，为了保证,处收敛，其分母多项式的阶次不能低于分子多项式的阶次即满足 。,在这里我们可以将X(z)展成一些简单而常见的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的逆变换，相加可得x(n)。Z变换最基本的形式是1和z/(z-a)等。它们对应的序列分别为,和,。因此在利用Z变换的部分分式展开法时通常先将,展开，然后每个分式可以乘以z这样对于一阶极点，,X(z)便可展成,的形式。,例 求
9、,的逆Z变换x(n),其中,解,则,对上式左右同乘(z-1)，并取z=1则,则,同理对上式左右同乘(z-0.5)，并取z=0.5则,则,所以,那么,4）Z变换的基本性质,a)线性,Z变换线性表现在它的叠加性和均匀性，若,则,其中a,b为常数。由Z变换的定义易知,b)位移性,X(n) 为因果序列，则序列左移后，它的Z变换为,证明：,同理序列右移后，它的Z变换为,c)初值定理,X(n) 为因果序列，,则,证明：,当,上式级数中除了第1项x(0)之外，其它各项都趋于0,所以,d) 终值定理,X(n) 为因果序列，,则,证明：因为,取极限得,所以,利用初值定理和终值定理，可以在只知道信号Z变换的情况下，方便地推测出信号的初始值和稳态值。,d)卷积定理,已知两序列x(n)、h(n)其Z变换为,则,
