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1、 Schur补的性质及其相关应用 学 院：信息工程学院 专 业: 通信与信息系统姓 名: 罗桃建 学 号: 6120140152 摘 要 矩阵补是矩阵理论中一个重要的知识点，在矩阵理论、统计分析、数值计算、线性方程组求解、区域分解方法、线性系统、控制论等问题的研究。中都有着广泛的应用本文主要研究矩阵补理论在矩阵理论中的问题利用矩阵的一些基本性质和数学研究中的一些基本方法讨论Schur补、schur多项式、schur不等式、schur积、广义schur补、矩阵schur补、实方阵schur稳定、schur凸函数的相关应用关键词：Schur补；广义Schur补；schur多项式ABSTRACTMa
2、trix Schur complement is one of the most important kens both in theory and applications,and it has wide applications in the study of Schur complement,Schur polynomial,Schur inequality,Schur product,generalized Schur complement,matrixSchur complement,nuclearSchur,Schur real square matrix astable,Schu
3、r convex function.Key word: Schur complement, matrixSchur complement, Schur polynomial目 录第一章 绪 论31.1基本概念及要研究的问题31.2 Schur不等式4第二章 Schur补性质和广义Schur补的性质52.1相关符号简介52.2矩阵Schur补的 性质62.3 相关符号与引理简介7第三章 矩阵乘积之Schur补的奇异值估计83.1 相关符号与引理简介83.2本章小结9第四章 矩阵Schur补和实方阵Schur稳定、Schur凸函数的相关应用94.1 矩阵Schur补应用94.2 schur稳定10
4、4.3 schur凸函数11参考文献12附：对邹老师的看法：13第一章 绪 论1.1基本概念及要研究的问题 矩阵Schur补的概念是1917年L.Schur在他的一篇文章中提出的，它在矩阵理论,统计分析，数值计算，线性方程组求解，区域分解方法，线性控制等领域都有着重大作用。本文主要讨论Schur补的性质及其在矩阵理论中的应用。 首先引入矩阵Schur补的定义：定义1.1.1（Schur补定义）设，其中D是方阵且非奇异，称为M1关于D的Schur补，记作M1/D。如果D不是方阵，也可以定义假Schur补1，2，3.我们假设D在矩阵M1中的位置不变，同样我们可以如下定义Schur补：，。定义1.1
5、.2（广义Schur补定义）设N=1，2，n，若，则=i1,i2ik，1i1i2ikn。设,N,则A()表示啊A的行序在，列序在的子矩阵。若=，则简记为A(),若A()非异，记=N-。则A关于A()的Schur的补记为： 1.2 Schur不等式Schur 不等式 设 x , y , z !0, r 是实数, 则x r( x - y ) ( x - z ) + y r ( y - x ) ( y - z ) + z r ( z- y ) ( z - x ) !0。变形 1 x 3 + y 3 + z 3 - ( x 2 y + xy 2 + x 2 z + x z + y z + y z )
6、+ 3 xy !0简记为 x 3- x 2( y + z ) + 3 xy z !0变形 2 ( x + y + z ) 3- 4 ( x + y + z ) ( xy + yz+ z x ) + 9 x yz !0 第二章 Schur补性质和广义Schur补的性质2.1相关符号简介本章中,R表示实数集，表示mn复矩阵集，而表示为r的mn矩阵集。表示A的Moore-Penrose逆。表示A的共轭转置。设A、B是Hermite阵，表示A-B是Hermite非负定阵。特别的，A0表示A是Hermite非负定阵。R(A)表示A的列空间。2.2矩阵Schur补的 性质引理2.2.14假设子阵D非奇异，
7、则=。引理2.2.24矩阵M=其中M1=，M2=，设n1，n2分别表示矩阵C,G的行数，p1，p2，p3分别表示矩阵A,BE的列数，D,M1,M2均为方阵且非奇异（其中n1=p2，n2=p3，n2=p1）则.引理2.2.331令M=，A=其中M，A,E都是非奇异阵，则。引理2.2.431设M=，N=，其中A，E为非奇异阵，则.引理2.2.532矩阵M=其中M1= 设n1，n2分别表示矩阵C,G的行数，p1，p2分别表示矩阵B,E的列数，D，M1均为方阵且非奇异（n1=p1，n2=p2），则 引理2.2.633设若R(A)R(B),则引理2.2.734设A=，若,rank(E)=rank=ran
8、k则2.3 相关符号与引理简介 本章中，R表示实数集，表示mn复矩阵集，而表示秩为r的mn矩阵集，表示A的Moore-Penrose逆，表示A的共轭转置，设A、B是Hermite阵，AB表示A-B是Hermite，非负定阵，特别地，A0表示A是Hermite非负定阵。表示Hermite阵A的递降排序，设H为n阶Hermite矩阵集，是到的线性映射。如果将单位矩阵映射为单位矩阵，则称为标准映射；如果将正定矩阵映射为正定矩阵，则称为正映射。设f是上的连续函数，如果A,BHm，0AB,有则称f是上是单调算子。如果A,BHm，0AB，0P1,则此映射为单调算子。引理2.3.135如果f是上的单调算子，
9、是Hm上的标准正线性映射，则对任意正定矩阵A，有引理2.3.236 设A,B皆为n阶Hermite半正定矩阵，且AB，且AB,AB=BA，则引理2.3.350设A,则对m=0，1，2 定理2.3.3设为A的n阶Hermite半正定矩阵，为自然数，且则而当A为n阶Hermite正定矩阵， ，第三章 矩阵乘积之Schur补的奇异值估计 3.1 相关符号与引理简介对于矩阵乘积的奇异值估计中外学者获得了许多著名的结果，但对Schur补的特征值及奇异值的估计则较难，我国学者王伯英等得到了矩阵Hadamard之积的Schur补不等式及广义Schur余不等式，刘建州等给出了矩阵乘积的Schur补的奇异值估计
10、，本文在他们已有的研究结果上进一步讨论Schur补的特征值及奇异值的估计。本章中，R表示实数集，表示mn复矩阵集，而表示秩为r的mn矩阵集。表示A的共轭转置，设A、B是Hermite阵，AB表示A-B表示Hermite的非负定阵表示Hermite阵的递降排序。对一般方阵A=其特征值排列为其奇异值排列为：Schur补：，其中假设非异，并约定引理3.1.138设A、B是n阶Hermite非负定阵，则3.2本章小结本章对在Marshall，A.W,Wang。B.Y和刘建州对矩阵乘积之Schur补的奇异值估计研究结果的基础上对其中的一些不等式进一步推广，将一些特征值不等式和奇异值不等是进一步改进。第四
11、章 矩阵Schur补和实方阵Schur稳定、Schur凸函数的相关应用4.1 矩阵Schur补应用矩阵Schur补在矩阵理论，统计分析，数值计算，线性方程求解，区域分解方法，线性控制等诸多研究领域都有诸多应用。本章选取其中的某些研究领域进行讨论。于江明在幂等矩阵的应用方面做了研究，本章在K.Jbilou，等已有研究的基础上进行讨论。给出Schur补在矩阵理论方面的应用，并简单说明Schur补在线性系统，区域分解方法等方面的应用定理4.1令M=，A=，其中M,A,E均为非奇异阵，rank（A）=rank=rank（A，B）则4.2 schur稳定4.2.1问题的叙述若一个多项式的全部根为于开单位
12、圆内，则称它是Schur稳定的，Schur稳定多项式的全体以S记之，考虑连续地依赖于实参量r的n阶实系数多项式族：其中标称多项式满足及求最大区间使对都有及最大系指当r等于区间端点时，是临界Schur稳定的，显然0是存在的，问题是如何去计算它们，从离线控制的观点看越小，月系统的稳定鲁棒性就越好。因此与可作为单参数摄动系统稳定性的指标。当式中诸系数对r呈仿射线性关系时，文2给出直接求法，在本文中设是是r的多项式函数，即将式带入上式并按r的幂合并同类项，可得此时标称多项式是单向摄动族，多项式单向摄动族的Hurwitz稳定鲁棒性予以研究4.3 schur凸函数初等对称函数,k=1n是上的一项重要的Sc
13、hur凹函数，其商函数是上的凹函数。本文中将R中的两个重要对称凸集函数上讨论的Schur的凸性结语含不确定参量的系统在参量的标称值是稳定的时，并不能保证参量摄动后系统的稳定性，因为在参数空间中求取最大稳定边界一直是人们关注的问题，本文考虑离散型多项式的Schur稳定最大界，其中多项式诸系统对一维参量呈多项式依赖关系，这里给出了求参量最大摄动区间的算法，此算法简单直接。进一步的问题是考虑含多摄动参量的一般情况，这将要用到最优话的某些理论与方法。参考文献1 Vicino A.Some results on stability of discrete-time systems.IEEE Trans.
14、1988,AC-33:844=8472 Soh C B.Robust stability of discrete-time systems using delta operators.IEEE Trans,19913 Fu M,Barmish B R.Maximal unidirectional perturbation bouds for stability of discrete-time systems.IEEE Trans,1991.4 北京大学数学系.高等代数M.北京：高等教育出版社，19885张贤达.矩阵分析与应用M.北京：清华大学出版社，20046王松佳，贾忠贞.矩阵论中不等式M.安徽：教育出版社，19947李宗铎.求逆矩阵的一个方法J数学通报，1983（11）8南京大学数学系计算数学专业.线性代数M.北京：科学出版社，19789任晓红.球广义逆矩阵A的初等变换法J.西
