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1、用数学软件 Mathematica 做微积分作者：徐小湛四川大学数学学院目 录前言极限 函数极限 单侧极限 单向极限 无穷大的 极限 数列 极限 递归 定义 的数列的 极限导数 显函 数的 导数 单侧 导数 高 阶导数 参数方程的 导数 隐函 数的导数导数的应用 微分中 值定理 洛 必 达法则 切 线和 法线 求 方 程的根单调区 间和极值 凹凸 区间 和拐点积分 不定积分 定 积分 广 义 积分 积 分 变限函数的 导数 定积分的几 何应用 面 积 旋转 体体积 弧长 旋转 曲 面面积空间解析几何 数 量积 向量积 混 合积 向量 的 模和 单位化 两点 的 距离 多元微分学 偏导数 高阶
2、偏 导数 全 微分 隐函 数的 偏导数多元微分学的应用 空间 曲线 的切线与法平面 曲面 的 切平面与法线 梯度 与方 向导数 二元函 数的 极值重积分 二重积分 极 坐标计 算二重积分 三重积分 柱面坐标 计算三重积分 球面 坐标计算三重积分重积分的应用 曲 面的 面积 体 积曲线积分 第一类曲线 积分 第 二类 曲线 积分曲面积分 第一类曲 面积分 第二类曲 面 积分 高斯公式与 散度 斯 托 克斯公式与旋度无穷级数 常数项级数 幂级 数 的收敛半径与收敛域 幂 级 数的和函数 函数展开成幂级数 泰 勒 级数 傅 里 叶级数微分方程 一阶微分 方程 可分 离 变量方程 一 阶 线性 方程
3、高 阶 微分方程高阶线性微分 方程 欧拉 方程图形 平面图形 显函 数的 图形 二元 方 程的图形 隐 函 数曲线 参数 曲线 极坐标曲线 导 数的 图形 积分 变限函 数的图形 平 面区 域的 图形空 间图形 显函 数 曲面 参 数曲面 三 元 方程的图形 隐 函 数曲面 空 间曲线 空间 区域数学家 欧拉 牛 顿 莱布尼 茨 拉 格 朗日 阿贝尔 泰勒 麦克 劳林 柯 西 斯托克斯 高 斯 傅 里叶 笛 卡儿 狄利 克雷参考 文献前 言Mathematica 是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。本文档用 Mathematica 来计算微积分中的各种习题,并绘制了很多图形。
4、 本文档中所有的例子都是用 Mathematica 7 编程和计算的，有的命令在版本较低的 Mathematica 可能无法执行。另外，有的运算结果拷贝到 Word 时，格式有些变化，但是在Mathematica 中的输出格式没有问题。如有对本文档中的内容任何问题，请发邮件到与作者讨论。邮箱：xuxz2010-9-1返回 目录极限函数极限自变量趋于有限值的极限例 求极限 0sinlmx解 输入：fx_:=Sinx/x;Limitfx,x0输出：1例 求极限 （同济 6 版，139 页）lim(1)xxafx_:=(1+a/x)x;Limitfx,xInfinity输出： （错误答案，原因是没有
5、给 赋值）a:=afx_:=(1+a/x)x;Limitfx,xInfinity输出： a（对了！）单侧极限例 求左极限10limxe解 输入：fx_:=Exp1/x;Limitfx,x0,Direction1输出：例 求右极限 01limarctnxx解 输入：fx_:=ArcTan1/x;Limitfx,x0,Direction-1输出： /2返回目录自变量趋于无穷大的极限例 求极限 221limsin3xx解 输入：fx_:=x2Sin3/x2; Limitfx,xInfinity输出：3单向极限例 求极限 limarctnxx解 输入：fx_:=ArcTanx;Limitfx,xInf
6、inity输出： /2例 求极限 limarctnxx解 输入：fx_:=ArcTanx;Limitfx,x-Infinity输出：-( /2)无穷大的极限例 求极限10limxe解 输入：fx_:=Exp1/x;Limitfx,x0,Direction-1输出：返回目录数列的极限数列极限 limnx例 求极限 1li()n解 输入：fn_:=(1+1/n)n;Limitfn,nInfinity输出：递归定义的数列的极限例 设 ，求112,nnxxlimnx解 输入：f1=Sqrt2;fn_:=Sqrt2+fn-1;f10不成功！f1=NSqrt2,10;fn_:=NSqrt2+fn-1,10
7、;f10结果：1.999997647作图观察数列的极限f1=Sqrt2;fn_:=Sqrt2+fn-1;xn=Tablefn,n,1,10;ListPlotxn,PlotStyleRed,PointSizeLarge,FillingAxis列表观察数列的极限f1=NSqrt2,10;fn_:=NSqrt2+fn-1,10;DoPrintn, ,fn,n,10结果：1 1.4142135622 1.8477590653 1.9615705614 1.9903694535 1.9975909126 1.9993976377 1.9998494048 1.9999623519 1.999990588
8、10 1.999997647返回目录导数显函数的导数求导函数例 设 ，求导数2()sin)fx()fxfx_:=Sin2x2+2;fx 或 Dfx,x-2-1012-2-101200.250.50.751结果：4 x Cos2+2 x 2求某一点的导数例 设 ，求导数2()3)sinfxx(3)ffx_:=(2x2+3)Sinx;f3 或 Dfx,x/.x3结果：21 Cos3+12 Sin321 Cos3+12 Sin3用定义求导数导数的定义： 或 000()()limxfxff00()()limxfxf例 设 ，求左导数,()sin0xf(0)ffx_:=Whichx=0,Sinx （定义
9、分段函数）a=0;Direvative=Limit(fx+a-fa)/(x-a),xa结果：1单侧导数例 设 ，求左导数 和右导数,0()sin2xf(0)f(0)f用定义求导fx_:=Whichx=0,Sin2x （定义分段函数）a=0;Left_Direvative=Limit(fx+a-fa)/(x-a),xa,Direction1Right_Direvative=Limit(fx+a-fa)/(x-a),xa,Direction-1结果：1（左导数）2（右导数）返回 目录高阶导数例 设 ，求二阶导数 和三阶导数2()sin3)fx()fx()fx二阶导数fx_:=Sin2x2+3;fx
10、 或 Dfx,x,2结果：4 Cos3+2 x2-16 x2 Sin3+2 x24 Cos3+2 x2-16 x2 Sin3+2 x2三阶导数fx_:=Sin2x2+3;fx Dfx,x,3结果：-64 x3 Cos3+2 x2-48 x Sin3+2 x2-64 x3 Cos3+2 x2-48 x Sin3+2 x2例 设 ，求二阶导数()cos()xfe(1)ffx_:=ExpxCos2x2;f1或 Dfx,x,2/.x1结果：-15 Cos2-12 Sin2 Cos2+ (-16 Cos2-4 Sin2)-8 Sin2例 设 ，求 010 阶导数1()fxfx_:=1/(x+1);DoP
11、rintn, ,Dfx,x,n,n,0,10结果：0 1/(1+x)1 -(1/(1+x)2)2 2/(1+x)33 -(6/(1+x)4)4 24/(1+x)55 -(120/(1+x)6)6 720/(1+x)77 -(5040/(1+x)8)8 40320/(1+x)99 -(362880/(1+x)10)10 3628800/(1+x)11或fx_:=1/(x+1);TableDfx,x,n,n,0,10结果：1/(1+x),-(1/(1+x)2),2/(1+x)3,-(6/(1+x)4),24/(1+x)5,-(120/(1+x)6),720/(1+x)7,-(5040/(1+x)8
12、),40320/(1+x)9,-(362880/(1+x)10),3628800/(1+x)11例 求函数 在 x=0 处的 010 阶导数1()fxfx_:=1/(x+1);DoPrintn, ,Dfx,x,n/.x0,n,0,10结果：0 11 -12 23 -64 245 -1206 7207 -50408 403209 -36288010 3628800或fx_:=1/(x+1);TableDfx,x,n/.x0,n,0,10结果：1,-1,2,-6,24,-120,720,-5040,40320,-362880,3628800返 回目录参数方程的导数参数方程 的导数： ；二阶导数：(
13、)xty()dytx2()dytx例 设 ，求导数2,sinxtytdyxxt_:=2t2;yt_:=Sint;Dx=xt Dy=ytDyDx=yt/xt结果：4 tCostCost/(4 t)或xt_:=2t2;yt_:=Sint;Dx=Dxt,tDy=Dyt,tDyDx=Dy/Dx4 tCostCost/(4 t)例 设 ， , 求 sintxecostye3|tdyxxt_:=Expt*Sint;yt_:=Expt*Cost;ft_:=yt/xt;fPi/3Simplify%(/3/2-1/2 3 /3)/(/3/2+1/2 3 /3)-2+ 3例 设 ，求一阶和二阶导数2,sinxtytxt_:=2t2;yt_:=Sint;Dx:=Dxt,tDy:=Dyt,tYijie=Dy/DxYt_:=Dy/DxErjie=DYt,t/Dxt,t;Simplify%结果：Cost/(4 t) （一阶导数）-(C
