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1、1一、 填空题：（每小题 2 分） 向量 具有固定方向，则 =_。(),3rtta a 非零向量 满足 的充要条件是_。,0r 设曲线在 P 点的切向量为 ，主法向量为 ，则过 P 由 确定的平面,是曲线在 P 点的_。 曲线 在点 的单位切向量是 ，则曲线在 点的法平面方()rt0()rt 0()rt程是_。 曲线 在 t = 1 点处有 ，则曲线在 t = 1 对应的点处其挠率()2=_。(1) 在旋转曲面 中，_()cos,()in,()rttt是旋转曲面的经线。 曲面 在点 的法线方程是_。(,)zxy0(,)yz 直纹面的参数表示总可以写成 _。r11、向量函数 使 的充要条件是 。
2、()rt,)r()rt12、若 是曲线 的正则点，则曲线 在 的密切平面方程0tt0是 。13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是 16、已知曲面 的第一类基本量为 E、F、G，则两方向 du:dv 与(,)ruv垂直的充要条件是 。:uv17、对曲面 有 ，则曲面上曲线 u=u(t),v=v(t)从(,)2243drudv到 t （t ）的弧长 s = 。0018、若曲面 在（0，1）点处的第二基本形式 ，则在(,)ruv 23duv（0，1）点处， 。其中 为曲面的单位法向量。n n19、已知曲面 的第二类基本量 L、
3、M、N，则曲面上渐近曲线的微(,)rv分方程是 。20、若曲面 的第一基本形式为 ，曲面在一点的切(,)u22dsEuGdv2向 与 u线的夹角为 ，则曲面在这点沿切向 的测地曲率 = drdrgk。21 具有固定方向的充要条件是_。()t22 挠率_的曲线其副法向量是常矢。23 曲线 在 点的主法向量是 ，则曲线在 P 点的从切面方程是()rt0Pt。25 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_。26曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为_。27半径为 R 的球面的高斯曲率 K= .28. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_恒等于零。30在可展曲面上，测地三角形的
4、三内角之和 。31.向量函数 使 的充要条件是 。()rt,)0r()rt32、若 是曲线 的正则点，则曲线 在 的密切平面方程0t(t 0是 。33、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。35、球面 上， 线是球cos,cosin,sirRR面上的纬圆。36、已知曲面 的第一类基本量为 E、F、G，则两方向 du:dv 与(,)uv垂直的充要条件是 。:uv37、对曲面 有 ，则曲面上曲线 u=u(t),v=v(t)从(,)r2243drudv到 t （t ）的弧长 s = 。0038、若曲面 在（0，1）点处的第二基本形式 ，则在(,)ruv 23duv（0，1）点处， 。其中 为曲
5、面的单位法向量。nn39、已知曲面 的第二类基本量 L、M、N，则曲面上渐近曲线的微(,)rv分方程是 。40、若曲面 的第一基本形式为 ，曲面在一点的(,)u22dsEuGdv切向 与 u线的夹角为 ，则曲面在这点沿切向 的测地曲率 = drrgk。二、 选择填空题：（每小题 3 分）31、圆柱螺线 在点 的切线为_。cos,in,xtytz1,0A、 B、 0xyzC、 D、1yz2、曲面的三个基本形式之间的关系为_。A、+2H+K=0 B、-2H+K=0C、-2K+H=0 D、-2H-K=03、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_。A、M = 0 B、L = N = 0 C、M = F =
6、 0 D、F = 04、下列曲面中_不是可展曲面。A、柱面 B、锥面 C、一条曲线的切线曲面 D、正螺面5、曲面上， 不是曲面的内蕴量。A、两曲线的夹角 B、曲线的弧长6、曲线 在 P(s)点的基本向量是 ，曲率 k(s)，挠率 ，则()rs ,()s下式 不正确。A、 B、 C、 D、kkk7、曲面 在 P 点的第一、第二基本形式分别为 ，曲面上曲线(C )在(,)ruv ,P 点的曲率 k、沿切向 的法曲率为 ，(C )在 P 点的主法向量与曲面的单位drnk法向量 的夹角为 ，则下式 正确。nA、 B、 C、 D、cosnk|nsink8、L = N = 0 是曲面的曲纹坐标网为 的充要
7、条件。A、正交网 B、渐近网 C、曲率网 D、 半测地坐标网9、在圆柱面上，圆柱螺线是 。A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线10、以下各项中， 不一定是测地线。A、球面上的大圆 B、圆柱面上的螺旋线 C、旋转曲面上的经线 D、旋转曲面上的纬线11、设曲面在一点的单位法向量 ，切向量为 ，则 的充分必要ndrndr条件是 。A、 存在方向 使 B、存在方向 使 r0dn0C、存在方向 使 且 D、沿 有 = 00drrnk12、对于球面 ，以下判断中 不正cosi,csin,sirRR确。 A、沿其上任何曲线的球面的法线曲面是可展曲面 B、其上大圆是渐近线4C、高斯曲率为正常数 D
8、、其上大圆的每一点的测地曲率为零21R13、曲面 上，曲线(C )在 P 点的基本向量是 ，曲面在 P 点(,)ruv ,的单位法向量 ，则在 P 点沿切向 的测地曲率 。ngA、 B、 （ ） C、 D、,k(,)rn(,)n14、若在曲面上一点 ,则曲面在该点的高斯曲率 K 。20LNMA、0 B、 0 C、= 0 D、符号不确定15、下列直纹面中， 是可展曲面。A、双曲抛物面 B、挠曲线的副法线曲面C、挠曲线的切线曲面 D、单叶双曲面16、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是_。A、 直线 B、平面曲线 C、球面曲线 D、圆柱螺线17、曲线 在 P(t)点的曲率为 k , 挠率为
9、，则下列式子_不正()rt 确。A、 B、 C、 D、2kr3rkr2r18、对于曲面的第一基本形式 _。22,IEduFvGdEFA、 B、 C、 D、000019、对于圆柱面 ，以下结论_是不正确的。cos,in,rRzA、坐标网是正交网 B、沿同一直母线的切平面是同一个C、其上高斯曲率为零 D、其上没有抛物点20、以下结论正确的是_。A、法曲率是法截线的曲率 B、法曲率是曲率向量 在主法向量 上的投影rC、法曲率 0 D、法曲率的绝对值是法截线的曲率21、设曲面 是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，(,)ruvn_是不正确的。A、 B、 C、 D、uvMrnuvruvMrnvurn
10、22、球面上的大圆不可能是球面上的_。A、测地线 B、曲率线 C、法截线 D、渐近线23、正螺面 的坐标网不是_。cos,in,rvbA、正交网 B、共轭网 5C、渐近网 D、半测地坐标网24、曲面上每一点处的主方向_。A、只有一个 B、至少两个 C、只有两个 D、也可能不存在25、下列直纹曲面中，_是可展曲面。A、双曲抛物面 B、挠曲面的副法线曲面C、挠曲面的切线曲面 D、单叶双曲面三、计算题1、设曲线 ： = cht , sht , t ，求r 在点(1,0,0 )的曲率和挠率； 的切线曲面的高斯曲率。2、已知圆柱螺线 ，试求cos,inrt 在点 的切线和法平面。0,12 曲率和挠率。3
11、、对于圆柱面 ，试求:cos,in,ru 的第一、第二基本形式； 在任意点处沿任意方向的法曲率； 在任意点的高斯曲率和平均曲率； 试证 的坐标曲线是曲率线。4、求曲面 的 u 线的测地曲率。2cos,in,rvuv5、设点 P 是曲面上一个固定点，试证明在 P 点沿任意互相垂直的两个方向的法曲率之和是常数。6、设曲面： = t cos , t sin , t ，求r 的第一、第二基本形式； 在点(1,0,1)处沿任意方向的法曲率； 试证的坐标曲线是曲率线。7、求螺线 上点 的曲率和挠率。cos,in,xtytz1,08、确定螺旋面 上的曲率线和在任一点的高斯,si,uvcv曲率。9、求曲线 (t) = t , t 2 , e t 在 t = 0 点的密切平面和主法线。r610、求曲线 (t) = a (1sint) , a (1cost) ，b t 的曲率和挠r率。求抛物面 z = a ( x2 + y2 ) 在 ( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。11、求平面族 的包络。cosinsi1z三、 证明题：1、 证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。2、 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。3
