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1、知识改变命运 百度提升自我用心 爱心 专心 - 1 -本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考向量法搞定立体几何一、基础知识1221122112(,)(,),)(2(0)cosaxyzbyzxzabxyzA.设 : 或 ( =)3)一 般 情 况 :2.法向量的求法法向量指的是垂直于面的向量。在用向量解题的过程中,只要遇到面便要求出它的法向量。求法向量的步骤:(1) 设此面的法向量为 n(x,y,z)(2) 因为法向量垂直于面内的任意一条直线,所以在此面内任意找到两条相交直线(如: AB(x 1,y 1,z 1), BC(x 2,y 2,z 2) )则有 : 220nC(3) 因为上面是建立了两个
2、方程,但是有三个未知量,所以必须设一个量,在设的时候除了求二面角时(下面有介绍)需要来考虑方向,别的情况都可以随便设,通过上面解出的相对关系,确定那两个量,这样,法向量便解出来了。特殊情况:在此情况下(如图 1 所示) ,法向量可以直 接设出来,而不用上述的方法求解。(1)面 OAC 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于 x 轴,所以可以直接设法向量为(x,0,0) ,其中 x 可以随便赋值。(2)面 OAB 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于 y 轴,所以可以直接设法向量为(0,y,0) ,其中 y 可以随便赋值。(3)面 OBC 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于 y
3、 轴,所以可以直接设法向量为(0,0,z) ,其中 z 可以随便赋值(图 1)例一:已知一个三棱锥,OA 垂直于面 OBC,OB 垂直 OC,且 OA=OB=OC=1,如图 1 所示,求面 ABC 的法向量?解:设 ABC 的法向量为 (,)nxyz,A(0,0,1) ,B(1,0,0) ,C(0,1,0)ACBOyzx知识改变命运 百度提升自我用心 爱心 专心 - 2 -则: (1,0)AB , (1,0)C22nxyzxy解得:x=z;y=x;令 x=1,则有 y=z=1;则(1,1,1)为面 ABC 得法向量。二、学会建立坐标系1. 对于立方体、长方体、正四棱柱可以直接建立(在此不再强调
4、) 。2. 对于不可以直接建立的立体图,要尽量建立较好求的坐标系常用方法:找中点(一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形,往往找到底边的中点,顶点与中点相连,此线便垂直于底边了,把此线作为其中的一轴)比如例二:2006 年全国二卷第(19) (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1中, AB=BC, D、 E 分别为 BB1、 AC1的中点.()证 明: ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线;()设 AA1=AC= ,2求二面角 A1 AD C1的大小.(此图为建立完坐标系的图形)一般的步骤:1.找到垂直于底面的一条线,作为 Z 轴2.在底面上找两条相互垂直的直线
5、,分别作为 X 轴和 Y 轴三、用向量法求解1.点与点的距离 122211(,)(,),()AxyzBxyzz2.点到直 线的距离(1)已知直线的方程 y=kx+b,那么点(x 0,y 0)到此直线的距离为: 21kxbd(2)用面积法求 解(原理:面积相等)图解:求 A 到 BC 的距离ABCDE知识改变命运 百度提升自我用心 爱心 专心 - 3 -1122ACBEADD3.点到面的距离(1)用体积法求解(原理:体积相等。适用于体积和面积比较好求的立体)如前面的例一:已知一个三棱锥,OA 垂直于面 OBC,OB 垂直 OC,且 OA=OB=OC=1,如图所示,求点 O 到面 ABC 的距离?
6、解:根据体积相等,设点 O 到面 ABC 的距离为 d,AD 为 BC 边的高:则有1133632213ABABCSdSDd得 :(2)用向量法 求解如图:求 P 到面 ABCD 的 距离,设面 ABCD 的法向量为,O 为 P 在面上的投影点,OP 即为 P到面 ABCD 的距离。A.n的方向向上时O 为点 P 在面 ABCD 上的投影点,故 OP 便是点 P 到面 ABCD 的距离,则 cossAAPOn通 过 图 我 们 可 以 看 出则B. 的方向向下时O 为点 P 在面 ABCD 上的投影点,故 OP 便是点 P 到面 ABCD 的距离,则cosAnPOAn通 过 图 我 们 可 以
7、 明 显 看 出 , 为 钝 角所 以 -则 nnACByzxDBCABCDPO知识改变命运 百度提升自我用心 爱心 专心 - 4 -综上述两种情况,我们可以得出:在求点到面的距离时,先在面内任意找到一点与此点构成向量(如上面 A 与 P 构成向量) ,则不论 n的方向如何,其点到面的距离为:nd4.线与线的夹角因为线与线的夹角在0,90,所以其余弦值必为正值 coscosABC则 :如果算的 cos 为负值,可通过调整其中的一个向量的方向来使的其算的值为负值。 (或者 如果是在做小题无需写步骤,可直接用 cosABC)5.线与面的夹角因为线与面的夹角在(0,90,所以其的正余弦值必为正值A.
8、n法向量向上时 coscsAPn则 :(所求的角)+=90sin=cosB.n法向量向下时 coscsAPn则 :=(所求的角)+ 90sin=sin(-90)=-cos0综上总结:不论怎么定法向量,都有 sinco。6.面与面的夹角这种题是唯一需要确定法向量发现的,老师们可能让大家用观察法来判断此二面角的角度范围(即为锐角还是钝角) ,但往往有时是判断不对的,现通过定法向量方向来确定二面角。 nnABCDPO知识改变命运 百度提升自我用心 爱心 专心 - 5 -请观察下面两个图:为了计算时不繁琐,在规定法向量方向的时候,比较想让两个法向量的夹角直接等于所求的二面角,由上面四个图我们可以看到当
9、两个法向量都从面上射出(或射入)时,其两向量所成的角与二面角互补,所以欲使两向量的夹角恰好为二面角,则应一进一出,关于是进还是出,由 Z 的正负来确定(如果你设出的向量方向指向斜上方,那么 Z 为正值;反之,如果设出的方向为斜下方,那么 Z 为负值) 。需要注意面的正反面(所有的进出都是指的从正面进出) ,这是个难点,先通过下面图说明如何判断正反面。反面就像海蚌一样,两个壳夹得角为二面角,其外壳为上述提到的反面,壳内部为正面(如上图所示) 。四.补充1如果证明两面平行 那么证其法向量平行即可2. 如果证明两面垂直 那么证其法向量垂直即可3. 如果证明线与面平行 那么证线与面得法向量垂直即可4.
10、 如果证明线与面垂直 那么证线与面法向量平行即可五.应用实例:现已 2008 年全国卷为例:如图,正四棱柱 1DCBA-中, 421AB,点 E 在上且 EC31.()证明: 1平面 E;反面反面正面正面mnmn正面知识改变命运 百度提升自我用心 爱心 专心 - 6 -()求二面角 B-DEA1的大小.()以 为坐标原点,射线 为 x轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系 yz依题设, 1(20)()(02)(4)BCEA, , , , , , , , , , , 1DE, , , , ,11(4)(4)AA, , , , , 3 分()因为 10CB, 0DE,故 1, 又 DE,所以 1AC平面 B 6 分()设向量 ()xyz, ,n是平面 1DAE的法向量,则DE, 1故 20yz, 40xz(解释:第一问已经证明 CA1平面 BED,所以可以把 1AC作为平面 DBE的法向量,1AC的 Z 值是负值,可以看出是射入的,则面 的法向量应该是射出的,可以明显看出射出的法向量 n是向下延伸的,所以取 Z 为负值)令 2z,则 1y, 4x, (12), , 9 分1AC,n等于二面角 ADEB的平面角,1cos42,所以二面角 1AEB的大小为 14arcos2 12 分希望对大家有所帮助,可以在别的题上试试!