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1、合肥学院 2013 至 2014 学年第 一 学期工程应用数学 D 课程考试(A)卷系 级 专业 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分得分阅卷一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设 ， 为任二事件，则( D )ABA. B.(PPB()()APBC. D.()() A2设随机变量 的概率密度为 ，且 ，则必有（C）Xf(x01XA. 在（0，）内大于零 B. 在（，0）内小于零f(x) f(x)C. D. 在（0，）上单调增加01fd3设 ,又常数 满足 ,则 等于( A )X)(NcPXccA. 0 B . C.1 D. -124设 为标准正态分布函数， , ，且
2、,x1,0iA事 件 发 生事 件 不 发 生 12,0i ()0.8PA相互独立。令 ，则由中心极限定理知 的分布函数 近似于（ B ）1210,X 1iiYXY()FyA. B. y 80()4yC. D. 16805. 样本 来自总体 ， ，则有（ B ）2,nX X2,EDXA. 都是 的无偏估计 B. 是 的无偏估计iC. 是 的无偏估计 D. 是 的无偏估计21i 22二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1设事件 与 互不相容， ， ，则 =_0.5_ AB0.2PA0.3BPAB2 的分布律为 ，其中 为待定常数，则概率 = _0.6_ X10.42(1)X3. 设随机变量
3、 相互独立，其中 服从参数 的指数分布，123,X12,6XU，则 =_46_3()P泊 松 分 布 123()D4设 ,则随机变量 服从的分布为 (需写出自由度)mtXY,Fm5. 设 是来自总体 的简单随机样本， 已知， 是样本均值, 是样本12,n 2(,)N2X2S方差,则 的置信度为 的置信区间为122,Xzzn三、 （满分 12 分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.03，第二台出现废品的概率为 0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品的概率。【解】设 A=任意取出的零件是合格品，设 Bi=“取出的
4、零件由第 i 台加工”i=1,2 1122()()()2=0.97.8=09733PABPAB四、 （满分 12 分）设随机变量 的分布律为X求：（1） 的分布函数；（2） ；（3） 。X1;2PX();EXD解：见过程考核一。五、 （满分 12 分）设二维随机变量 , 的概率密度为XY01(,),cxyf其 他（1）确定常数 ； （2）求概率 ；1PXY-1 2 3kp144（3）求边缘概率密度 ,并判断 , 是否互相独立。(),XYfxyXY解：（1） 10130,d1(),82xfycdcx(2) 10( 236xPXYdy(3)1 3084(),0184,01() (), yxX YY
5、y xdyf fffX ，其 他 其 他故 不 互 相 独 立 。六、 （满分 12 分）设总体 的概率密度函数为 ，其中未知 ， , 是X其 它011xxf 1X,2 n来自此总体的容量为 的一个样本，求 的矩估计与极大似然估计。n解：(1) 总体 的数学期望为，设 为样本均值，2110dxdxfXE niiX1令 解得未知参数 的矩估计为21 （2）似然函数为 ， nixL1niixnL1lll令 0l1lnniid解得 的最大似然估计为niiX1l七、 （满分 12 分）某批矿砂的 5 个样品中的镍含量（%） ，经测定为 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 ，即有， ，设测
6、定值总体服从正态分布，但参25.31nix017.122niixs数均未知。问在 下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25。 （0.， ）641.05.t .54.32t解：见过程考核二。八、(满分 10 分)设 服从二维正态分布,且 , ,证明当XY2XD2Y时随机变量 与 相互独立。22/aWaYVa证明： (X,Y)服从二维正态分布, W=X-aY 与 V=X+aY 都服从正态分布,当 a2= /X时, 2YCov(W,V)=Cov(X-aY,X+aY) =Cov(X,X)-a2Cov(Y,Y) =D(X)-a2D(Y) = -a2 =0 XY XY=0, 又由题意知（W，V）服从二维正态分布，故 W 与 V 相互独立.
