《第三章(2) 群表示理论基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章(2) 群表示理论基础（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 群表示的基及群的表示一、基本概念1、 基：群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。基可以有各种类型，如矢量（x，y，z） ，波函数（p x， py，p z）2、群的表示：选定群表示的基以后，则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应，这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。* 群的表示不是唯一的。二、群的表示（可约与不可约表示）1、可约表示1）定理：设一组矩阵（E，A，B ，C）构成一个群的表示。若对每个矩阵进行同样的相似变换：E=X-1EXA=X-1AX B=X-1BX.则（E，A，B）也是群的一个表示。证明（封闭性）：若 AB = CAB = (X-1AX)(X-1BX)
2、= X-1A(XX-1)BX = X-1(AB)X = X-1CX = C 2）可约表示：若能找到矩阵 X 可把(A、 B、C)变换成(A、B、C), 而(A、B、C)分别为划分为方块因子的矩阵。A = X-1AX =A1A2 A3 .00若每个矩阵 A，B，C, 均按同样的方式划分成方块，则可证明，每个矩阵的对应方块可以单独地相乘：A1B1=C1A2B2=C2A3B3=C3.因此各组矩阵 E1，A 1，B 1，C 1, E2，A 2，B 2，C 2, .本身都是一个群的表示。因为用矩阵 X 可以把每个矩阵变换为一个新矩阵，所有新的矩阵按照同样的方式给出两个或多个低维表示。因此我们称（E， A
3、，B ，C, ）为可约表示。2、不可约表示若找不到矩阵 X，按照上述方式约化给定表示的所有矩阵，这种表示称为不可约表示。不可约表示具有特殊的重要性。三、广义正交定理 1、向量的正交 1）向量及其标积。向量的定义：向量标积： ABAB = ABcos 2）向量正交 若 AB = 0，则称 A 与 B 正交。* p 维空间中的一个向量可借助于它在该空间中的 p 个正交轴上的投影长度来定义。据此可提出向量标积的一个等价但更为有用的表示方法，在 p 维正交空间中：AB =(A1+A2+Ap)(B1+B2+Bp) = A1B1+A2B2+ +ApBp p1i ii因此在 p 维空间中两个向量的正交可表示
4、为： p1i ii 0BA推论：一个向量的长度平方可写成A2 = AAcos0 = AA p1i2i2、广义正交定理（有关构成群的不可约表示矩阵元的基本定理）1）广义正交定理：h 群的阶；l i 该群第 i 个不可约表示的维数，也是该表示中矩阵的阶；R 群中的某个操作； i(R)mn 在第 i 个不可约表示中，与操作 R 对应的矩阵中第m 行和第 n 列的元素。最后，每逢包括虚数和复数时，等式左端的一个因子取复共轭。 nmijR ji*nmjmni lh(R)() st = 1（s=t）0（st ）G .a1a12a13a21a2a23a31a32a3 b1b12b13b21b2b23b31b
5、32a3 c1c12c13c21c2c23c31c32c3x1 x12x21 x2 y1 y12y21 y2 z1 z12z21 z2AiAjR1 R2 R3在一组不可约表示矩阵中，若将任意一组来自每个矩阵的对应矩阵元，看作是 h维空间中的某一向量的分量，则所有这些向量都相互正交，且这些向量长度的平方为(h/li)。2）广义正交定理的特殊形式广义正交定理可以简化为三个较简单的情况:A、若 ij，则 R *nmjmni 0(R)(R)表明，选自不同不可约表示的向量是正交的。B、若 i=j，且 mm，或 nn，或同时mm，n nR *nmimni 0(R)(R)表明，选自同一不可约表示的不同向量也
6、是正交的。C、若 i=j， m=m，n=n，则R i*mnimni lh(R)(R)表明，任意一个这种向量的长度平方等于h/li。四、可约表示的约化及表示的直积1、不等价不可约表示1）等价表示：在点群的表示中，如果有两个表示，它们关于任何同一对称操作的两个表示矩阵 A 和 B 是共轭的，即存在一个方阵 X，使 X-1AX = B 成立，则这两个表示是等价的。* 一个表示中各矩阵的迹称为该表示的特征标。2）不等价不可约表示：如果两个不可约表示，它们每个对称操作的两个特征标不完全相等时，则这两个不可约表示是不等价不可约表示。2、群表示的几条重要性质1）群的不等价不可约表示的数目，等于群中类的数目。
7、2）群的不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶。i 2212i h.lll3) 任一不可约表示的特征标的平方和等于群的阶。 R 2i h(R)4）以两个不等价不可约表示的特征标作为分量的向量是正交的。R ji j)(i 0(R)(R)5）在一个给定表示中，所有属于同一类操作矩阵的特征标相等。3、不可约表示特征标的求法。1) 主要利用上述规则* 每个群均有一个特征标均为 1 的一维不可约表示，叫“完全对称表示” 。2）例 1：C 2V 群E，C 2， v， v每个元素自成一类。由：有四个不等价不可约表示。由：l 12+l22+l32+l42=h=4由：不妨令 l1=1，则只有唯一解l1=l2=l
8、3=l4=1再考虑，则有下述结果：C2v E C2 v v 1 1 1 1 1 2 1 X22 X23 X24 3 1 X32 X33 X34 4 1 X42 X43 X44由：1 2 + Xi22 + Xi32 + Xi42 = 4 （i= 2，3，4）只有唯一解 |Xi2| = |Xi3| = |Xi4| = 1由：只有如下唯一解C2v E C2 v v 1 1 1 1 1 2 1 1 -1 -1 3 1 -1 1 -1 4 1 -1 -1 1例 2：C 3V 群 E，C 3， C32， v, v, v, 分为三类E，2C 3，3 v由：有三个不等价不可约表示。由：l 12+l22+l32
9、=6由：不妨令 l1=1，唯一解 l1= l2 =1， l3=2再考虑，则有C3v E 2C3 3 v 1 1 1 1 2 1 X22 X23 3 2 X32 X33 由：1 2 +2X222+3X232=6由：11+21X 22+31X23 =0由上两式得：X 22=1，X 23=-1 由：12+21X 32+3(-1)X33=012+21X32+31X33=0由上两式得：X 32=-1，X 33=0最后结果：C3v E 2C3 3 v 1 1 1 1 2 1 1 -1 3 2 -1 0 4特征标表 特征标表：将点群的各不等价不可约表示的特征标连同不可约表示的基归在同一表中，则称此表为点群的
10、特征标表。例：C3v E2C33vA1A2E 11 11 1-12 -1 0 z(x, y) x2+y2 , z2(x2-y2, xy) (xz, yz)5、可约表示的约化对于任何相似变换，矩阵的特征标是不变的，因此一个可约表示的特征标必等于由它约化得到的各不可约表示特征标之和，即 j jj )R(a)R(A = X-1AX =A1A2A3 .00用 i(R)去乘两边，然后对操作求和。 jRijjRj ijjRi RaRa )()()()()()( hahaRaijijjjRijj )()(Rii )R()(h1a例： C3v E 2C3 3 v 1 1 1 1 2 1 1 -13 2 -1
11、0 a 5 2 -1b 7 1 -3求 a = ?a1=1/615 + 212 + 31(-1) = 1a2 =1/615 + 212 + 3(-1)(-1) = 2a3 =1/625 + 2(-1)2 + 30(-1) = 1 a = 1 + 2 2 + 3求 b = ?a1 = 1/617 + 211 + 31(-3) = 0a2=1/617 + 211 + 3(-1)(-3) = 3a3=1/627 + 2(-1)1 + 30(-3) = 2 b=3 2 + 2 35、表示的直积1）直积A、函数的直积若F 1，F 2， F m及G 1，G 2， G n是两个函数集合，则函数集合F iGk （mn个）称为前两个函数集合的直积。B、表示的直积以函数集合F iGk为基的表示 FG称为以函数集合F 1，F 2， F m为基的表示 F 与以函数集合G 1，G 2， Gn为基的表示 G 的直积。记为： FG = F G2）定理：操作 R 对应的矩阵中，以直积为基表示的特征标等于以单个函数为基表示的特征标的乘积。 FG(R) = F(R) G(R)五、群表示间的关系与特征标间的关系1）等价： a = b a(R) = b(R)2）约化： i iiiii )R(a)R(a3) 直积： ab = a b ab(R) = a(R) b(R)
