第三章 行波法与积分变换法

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1、第三章 行波法与积分变换法在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示） ，对三种典型的方程均可运用。本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。3.1 一维波动方程的达朗贝尔（DAlembert ）要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说是不行的，

2、原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解） ，而且可以由通解求出特解。本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。对于一维波动方程 22uatx（3.1）作如下代换：xat（3.2）利用复合函数微分法则，得 uuuxx222()()xuu（3.3）同理有2 2222()()uuuaat（3.4）将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得20u（3.5）将（3.5）式

3、对 积分得， （ 是 的任意可微函数）()uf()f在对此式对 积分得212(,)()()()uxtfdffxatfxt（3.6）其中 ， 都是任意二次连续可微函数。 （3.6）式就是方程（3.1）1f2得通解（包含两个任意函数的解） 。在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 ，1f的具体形式。为此，必须考虑定解条件，下面我们来讨论无限长2f先的自由横振动。设弦的初始状态为已知，即已知定解条件0(),ttux（3.7）将（3.6）中的函数代入（3.7）中，得12()(), (3.8)9fxxaf在（3.9）两端对 x 积分一次，得1201()()xfxdCa（3.10）由（3.8

4、）与（3.10）解出 ， 得1()fx2()f02xCda2()()()2fx把这里确定出来的 ， 代回到（3.6）中，即得方程（3.1）在1条件（3.7）下的解为 11(,)()()()22xatuxtatxtd（3.11）（3.11）式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔（DAlembert）公式。现在我们来说明达朗贝尔公式的物理意义。由于达朗贝尔公式是由（3.6）得来的，所以我们只需说明（3.6）式的物理意义。首先，考虑 的物理意义。我们来说明这样的函数2()ufxat是代表一个沿 轴正方向转播的行波，为了讲清楚这一点，我们不x妨考虑一个特例。假定 的图形如图 3.1（a）所示，在 时，2()

5、fx 0t；在 时， ，其图形如图 3.1（b）所示；在2()ufx1tau时， ，其图形如图 3.1（c）所示；在 时，1t2()fa 2t，其图形如图 3.1（d）所示。这些图形说明，随着时间2()ufx的推移， 的图形以速度 向 轴的正方向移动。所以，t2()fxtax表示一个以速度 向 轴的正方向传播的行波，称为右行2()fxat波。同样道理， 就表示一个以速度 向 轴的负方向传播1()ufxatx的行波，称为左行波。达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动点总是以行波的形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数 。基于上述原因，所以本节所用的方法就称为行波a法。从达朗贝尔

6、公式（3.11）还可以看出，解在 点的数值仅依赖(,)xt于 轴上区间 内的初始条件，而与其他点的初始条件无关。x,xat区间 称为点 的依赖区间。它是由过 点的两条斜率,t(,)xt (,)xt分别为 的直线在 轴所截得的区间（图 3.2（a） ） 。1a对初始轴 上的一个区间 ，过点 作斜率为 的直线0t12,x1xa，过点 作斜率为 的直线 ，它们和区间 一1xat2xaat12,x起构成一个三角形区域（图 3.2（b） ） ，此三角形区域中任一点的依赖区间都落在区间 的内部，因此解在此三角形区域中(,)xt 12,x的数值完全由区间 上的初始条件决定，而与此区间外的初始条12,件无关，

7、这个三角形区域称为区间 的决定区域，在 上给12,x12,x定初始条件，就可以在其决定区域中决定初值问题的解。若过点 分别作直线 ， ，则经过时间 后受12,x1xat2xatt到区间 上初始扰动影响的区域为，12(0)xtxt在此区域之外的波动不受 上初值扰动的影响，称 平面上由2, xt上述不等式确定的区域为 的影响区域（如图 3.2（c） ） 。1x从上面的讨论中我们可以看到，在 平面上斜率为 的两族xt1a直线 ，对一维波动方程（3.1）的研究起着重要的作用，xat常 数我们称这两族直线为一维波动方程（3.1）的特征线。因为在特征线，右行波 的振幅取常数值 ，在特征线2xtC2()uf

8、xat2()fC，右行波 的振幅取常数值 ，且这两个数值1a11随特征线的移动（即常数 的改变）而改变，所以，波动实(1,2)iC际上是沿特征线传播的。变换（3.2）常称为特征变换，行波法又称为特征线法。注 容易看出，一维波动方程（3.1）的两族直线 ，正xat常 数好是常微分方程22()()0dxat的积分曲线，这个常微分方程称为（3.1）的特征方程。对于更一般的二阶线性偏微分方程222 0uuuABCDEFxyxy（3.12）来所，它的特征方程为22()()0AdyBxCd（3.13）这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程（3.12）特征曲线。二阶线性偏微分方程的特征线仅与该方程中的二阶导

9、数项的系数有关，而与其低阶项的系数是无关的。需要注意的是，并不是任意一个二阶线性偏微分方程（3.12）都有两族实的特征线。例如，若在某一区域内 ，这过此区20BAC域内每一点都不存在实的特征线；若在某区域内， ，这过此区域内每一点仅有一条实的特征线；只有在 的区域内，2过其中每一点才有两条相异实的特征线。若在某区域内 ，则在此区域内称（3.12）为椭圆型方20BAC程；若在某区域内， ，则在此区域内称（3.12）为抛物型方程；若在某区域内 ，则在此区域内称（3.12）为双曲型2方程，波动方程属于双曲型。不论（3.12）为哪一种类型的方程，都可通过适当的自变量之间的代换将它化简成所谓的标准形式。

10、关于如何将二阶线性偏微分方程化成标准形式，读者可以参考其他书籍。下面举一个例子，说明如何通过将方程化简来求解它的定解问题。例 求下列柯西问题： 222003,(3.14), .5yyuuxx解 先确定所给方程的特征线。为此，写出它的特征方程 22()3()0dyxd它的两族积分曲线为 1xyC2作特征变换3xy（3.16）容易验证，经过变换原方程化成 20u它的通解为 12()uff其中 是两个任意二次连续可微的函数。原方程（3.14）的通解12,f为12(,)(3)()uxyfyfx（3.17）把这个函数代入条件（3.15）得212(3)3 (3.18)()09fxfx从（3.19）得12(

11、3)fxfC（3.20）从（3.18）与（3.20）可得 219(3)4fxC2即 212()43fxC代入（3.17）得到所求得解为22213(,)()()4uxyyxy（3.21）3.2 三维波动方程的泊松公式上节我们讨论了一维波动方程的初值问题，获得了达朗贝尔公式。只研究一维波动方程还不能满足工程技术上的要求，例如在研究交变电流时就要讨论三维波动方程，本节我们就来考虑在三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题： 22201(),0(3.2),) (,(.4)ttuuaxyztxyz这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直接利用3.1 中所得的通解公式。下面先考虑一

12、个特例。3.2.1 三维波动方程的球对称解如果将波函数 用空间球坐标 来表示，所谓球对称就是指u(,)r与 都无关。在球坐标系中，波动方程（3.22）为u, 2222 2111()(sin)i sinuur rat当 不依赖于 时，这个方程可以简化为u,2211()urat或 22ururat但 22()urur所以最后得到方程 22()1()rurat这是关于 的一维波动方程，其通解为ru12()()ruftfrt或 12()()(,)fratfrtt这就是三维波动方程的关于原点为球对称的解，其中 是两个任12,f意二次连续可微的函数，这个函数可以用指定的初始条件来确定。3.2.2 三维波动

13、方程的泊松公式现在我们来考虑一般的情况，即要求问题（3.223.24）的解。从上面的球对称情况的讨论使我们产生这样一个想法：既然在球对称的情况，函数 满足一维波动方程，可以求出通解，那么在不(,)rut是球对称的情况能否设法把方程也化成可以求通解的形式？在球对称时波函数 仅是 的函数，在非球对称情况下， 不可能满足一,rt ru维波动方程。但是，如果我们不去考虑波函数 本身，而是考虑 在u以 为球心，以 为半径的球面上的平均值，则这个平均值当(,)Mxyzr暂时固定之后就只与 有关了。这就启发我们引入一个函数,t，它是函数 在以点 为中心，以 为半径的球面(,)urt(,)uxyz(,)Mxy

14、zr上的平均值，即MrS210111(,)(,)4,)(, (3.25)4MrSxyzSurtutdSrxyzrtdu其中 是球面 上点的坐标， 是以原点11,xryrzrMrS1oS为中心的单位球面， 是单位球面上的面积元素， 是 上的面ddMr积元素，显然有 。2Sr在球面坐标中，。111sinco,sin,cos,inxyzd从（3.25）及 的连续性可知，当 时，()uxt 0r，即0lim(,),)rutMt，(0,),)utMt此处 表示函数 在 点及时刻 的值。下面来推导 所满足(,)uMt (,)urt的微分方程。对方程（3.22）的两端在 所围成的球体 内积分rSMrV（为了

15、区别 内的流动点的坐标与球心 点的坐标 ，我们以rV (,)xyz表示 内流动点的坐标） ，并应用 Gauss 公式得(,)xyzMr2 222, (,)(,)(,)(, MMr rVVutuxyztuxyztuxyztda dV 12 212 )(,),) (rMroS zttdnxyrztar112, ,)()4oSruxryzrtdta其中 是 的外法向矢量。nMrS（3.26）式左端的积分也采用球面坐标表示并交换微分运算和积分运算的次序，得 2222 20(,)(,),(sinco,sin,cos,)inM Mr rrV Vuxyztduxyztdttuxyztd代回（3.26）中得 12 211102(,