万有引力定律_人造地球卫星

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1、1第五章：万有引力定律 人造地球卫星夯实基础知识1开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续 20 年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等即 kTr23开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出

2、了行星运动的规律。2万有引力定律及其应用(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。（1687 年）2rMmGF叫做引力常量，它21/067.kgN在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体相距 1m 时的相互作用力，1798 年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。万有引力常量的测定卡文迪许扭秤实验原理是力矩平衡。实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大） 。万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物

3、体 m，有（式中 RE 为地球半径或物体到地球2EmGg球心间的距离） ，可得到 。GgRmE2(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时 r 应为两物体重心间的距离对于均匀的球体，r 是两球心间的距离当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出 F近为无穷大。注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量 G 的物理意义是： G 在数值上等于质量均为 1kg 的两个质点相距 1m 时相互作用的万有引力(3) 地球自转对地表物

4、体重力的影响。重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力重力实际上是万有引力的一个分力另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为 的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力 F 向=mRcos 2（方向垂直于地轴指向地轴） ，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力 mg，其方向与支持力 N 反向，应竖直向下，而不是指向地心。由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力 F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度 g 随纬度变化而变化，从赤道到两极 R 逐渐减小，向心力 mRcos 2 减小，重力

5、逐渐增大，相应重力加速度 g 也逐渐增大。OONF 心mF 引 mg甲在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力 F 向和 m2g 刚好在一条直线上，则有 FF 向 m 2g，所以 m2g=F 一 F 向 G m 2R 自 2 。1r物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万2有引力 F 引 和支持力 N 是一对平衡力，此时物体的重力 mgNF 引 。N oF 引丙NF 引o乙综上所述重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。由

6、于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即 mg 2RGmM说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等。万有引力定律的应用： 基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动， F 万 =F 心 (类似原子模型 )方法：轨道上正常转： rTmrvrMmG2224地面附近：G = mg GM=gR2 (黄金代换2R式) （1）天体表面重力加速度问题通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为

7、两者相等，即 m2gG ， g=GM/R2 常用21R来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（R+h） 2，比较得 gh=（ ） 2gr设天体表面重力加速度为 g，天体半径为 R，由mg= 得 g= ，由此推得两个不同天体表面2MmGR2重力加速度的关系为21122gRM（2）计算中心天体的质量某星体 m 围绕中心天体 m 中 做圆周运动的周期为 T，圆周运动的轨道半径为 r，则：由 得：TrG22中 234GTr中例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量。可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的。（3）计

8、算中心天体的密度= = =VM34R32GTr由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径 r 及运行周期 T，就可以算出天体的质量 M若知道行星的半径则可得行星的密度（4）发现未知天体用万有引力去分析已经发现的星体的运动，可以知道在此星体附近是否有其他星体，例如：历史上海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的。冥王星是通过对海王星的运动轨迹分析发现的人造地球卫星。这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，实际上大多数卫星轨道是椭圆，而中学阶段对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析。1、卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球心一

9、定在卫星的轨道平面内。2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有 rTmrmarGM2222 )(3实际是牛顿第二定律的具体体现3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等：（1）向心加速度 与 r 的平方成反比。向a= 当 r 取其最小值时， 取得最大值。向a2GM向a 向 max= =g=9.8m/s22R（2）线速度 v 与 r 的平方根成反比v= 当 h，vrGM当 r 取其最小值地球半径 R 时，v 取得最大值。 vmax= = =7.9km/sRg（3）角速度 与 r 的三分之三次方成百比= 当 h，3GM当 r 取其最小值地球半径

10、 R 时， 取得最大值。max= = 1.23103 rad/s3Rg（4）周期 T 与 r 的二分之三次方成正比。T=2 当 h，TGM3当 r 取其最小值地球半径 R 时，T 取得最小值。 Tmin=2 =2 84 min3g卫星的能量：(类似原子模型 )r 增 v 减小(E K 减小v1、v 4v3，而 v1、v 4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径 r1v4。把以上不等式连接起来，可得到结论：v 2v1v4v3。 （卫星沿椭圆轨道由 PQ 运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有 v2v3。 ）【例题】 （98

11、上海）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3。轨道 1、2 相切于 Q 点。轨道 2、3 相切于P 点（如图） ，则当卫星分别在 1，2，3，轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）Q1 23PA卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道上的速率B卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道上的角速度C卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度D卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度解析：从动力学的角度思考，卫星受到的引力使卫星产生运动的加速

12、度（ ），所以nmaF卫星在轨道上经过点时的加速度等于它在轨道上经过点时的加速度，卫星在轨道上经过点时的加速度等于它在轨道上经过点时的加速度。必须注意，如果从运动学的角度思考（），由于卫星在不同的轨道上经过rvan2相同点时，不但线速度、角速度不同，而且轨道半径（曲率半径）不同，所以不能做出判断。案：B、D【例题】 欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。该卫星发射前在赤道附近（北纬 5左右）南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为 1 状态，发射到近地轨道上做匀速圆周运动时为 2 状态，最后通过转移、调试，定点在地球同步轨道上时为 3 状态。将下列物理量按从小到大的顺序用不等号

13、排列：这三个状态下卫星的线速度大小_；向心加速度大小_； 周期大小_。解析： 比较 2、3 状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为 r2r3，所以 v3v2；比较 1、3 状态，周期相同，即角速度相同，而 r1r3 由 v= r，显然9有 v1v3；因此 v1v3v2。比较 2、3 状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为 r2r3，而向心加速度就是卫星所在位置处的重力加速度 g=GM/r21/r2，所以 a3a2；比较 1、3 状态，角速度相同，而r1r3，由 a=r2r，有 a1a3；所以 a1a3a2。比较 1、2 状态，可以认为它们轨道的周长相同，而v1 v2，所以 T2T1；又由于 3 状

14、态卫星在同步轨道，周期也是 24h，所以 T3=T1，因此有 T2T1=T3类型题： 卫星的追及问题 【例题】如 右 图 所 示 ， 有 A、 B 两 个 行 星 绕 同 一恒 星 O 做 圆 周 运 动 ， 旋 转 方 向 相 同 ， A 行 星 的 周 期 为T1， B 行 星 的 周 期 为 T2， 在 某 一 时 刻 两 行 星 第 一 次 相遇 （ 即 两 行 星 距 离 最 近 ） ， 则 （ BD ） 。A 经 过 时 间 t=T2+T1， 两 行 星 将 第 二 次 相 遇B 经 过 时 间 ， 两 行 星 将 第 二 次 相 遇12 经 过 时 间 ， 两 行 星 第 一 次

15、 相 距 最12Tt远D 经 过 时 间 ,两 行 星 第 一 次 相 距 最 远21t【例题】A、B 两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A 的轨道半径为r1，B 的轨道半径为 r2，已知恒星质量为 ，恒星m对行星的引力远大于得星间的引力，两行星的轨道半径 r1 r2。若在某一时刻两行星相距最近，试求：（1）再经过多少时间两行星距离又最近？（2）再经过多少时间两行星距离最远？解析：（1）A、B 两行星如右图所示位置时距离最近，这时 A、B 与恒星在同一条圆半径上，A、B 运动方向相同，A 更靠近恒星，A 的转动角度大、周期短，如果经过时间 t，A、B 与恒星连线半径转过的角度相差 2 的整数倍，则 A、B 与恒星又位于同一条圆半径上，距离最近。解：（1）设 A、B 的角速度分别为 1、 2，经过时间 t， A 转 过 的 角 度 为 1t， B 转 过 的 角 度 为 2t。 A、 B 距 离 最 近 的 条 件 是 ： 1t- 2t= 。)3,2(n恒 星 对 行 星 的 引 力 提 供 向 心 力 ， 则 ：，32,rmGrmG 即由 得 得 出 ： ， ，31 32r求 得 ： 。),(321ntrmG（ 2） 如 果 经 过 时 间 ， A、 B 转 过 的 角 度 相 差 t的 奇 数 倍 时 ， 则 A、 B 相