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1、附录 A 数学建模训练题1. 你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变，你是否走得越快，淋雨量才越少呢？（1）将人体简化为长方柱，表面积之比为 前：侧：顶=1：a ： b，选坐标系将人的速度表为（v，0，0） ，即沿 x 轴方向行走，v 0，而设雨速为 ，行走距离为 L，写出淋),(321u雨量的表示式。（2）用图解法说明在什么情况下，走得越快淋雨量越少，在什么情况下则不是这样。2. 假设岛上不断有大陆来的移民，再假设 t 时刻大陆上有 S 种人，岛上有 N（t）种人。移民到岛上并在那边开拓殖民地的新人种的增加速度为大陆上尚未移居到岛上的人种数成比例。此处人种的灭绝速度与岛上的人
2、种数成比例。请建立模型预测岛上的人种数将会达到一种什么状态，并画出其与 t 的函数曲线。3. 草地网球比赛常因下雨而被迫中断，防水覆盖层并非经常有效，所以只有草坪的最上层充分干以后，才能继续比赛。雨停之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空气中去，一些机械装置可用来加速干燥过程，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干。能否建立一个数学模型来表示这一干燥过程？4. 请你就姓氏的延续和消失的社会问题进行研究。考虑一个在时刻 t=0 有 K 个不同姓氏的 N 个人构成的封闭社会系统，假设所有后代都随父姓，为回答以下问题，请做出必要的假设并建立一个数学模型。a) x 代以后姓氏的分布规律b) 某一姓氏
3、消失的规律c) 一个姓氏存在的平均时间5. 据报道，某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为 1.68%， 0.55%和-4.50% ，假设开始时有 100 只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势。(1)3 种自然环境下 25 年的变化过程( 作图)(2)如果每年捕获 3 只，会发生什么情况? 山猫会灭绝吗?如果每年只捕获 1 只呢?(3)在较差的自然环境下，如果想要山猫的数量稳定在 60 只左右，每年要人工繁殖多少只?6. 追逐问题 （1）一个慢跑者在平面上沿抛物线以恒定的速率 v 跑步，设抛物线方程为：。突然有一只狗攻击他，这只狗从原点出发，以恒定的速率 跑向慢
4、跑者，狗的2yx w运动方向始终指向慢跑者。设开始时慢跑者位置为（5 ，25）求出 v=1, 时狗的运动6轨迹(画出图形)。（2）设开始时人在 A 处坐标 ，狗在原点 O 处，如果人沿着平行于 x 轴正方向行0(,)xy走，请建立数学模型求狗运动的轨迹。设 v=1m/s， w=3m/s，求数值解并画出狗的轨迹。并研究解析解。 （要求提供源程序）7. 长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以 T238 次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格 10 元；中午及晚上为盒饭，价格一律 1
5、5 元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价 3 元的方便面卖 5 元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客 1000 人，其中 500 人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给 200 人；另外，车上还可提供每餐 100 人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案， 使列车在用餐销售上效益最大。8. 在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不一样的。已知标准球场若长为 104m，宽为 69m，球门高 2.
6、44m，宽为 7.32m。据统计资料显示，射门时球速一般在 10m/s 左右，请你结合球场和足球赛的实际情况建模分析，并研究如下问题：(1) 针对球员在不同的位置射门对球门的威胁度进行研究，并绘制出球门的危险区域；(2) 在有一名守门员防守后情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步的研究；(3) 选取球场的某一位置，请你给出球员带球前进的最佳路径。9. 估计动物数量 估计一个有限封闭区域内生物数量，例如湖里的鱼，或森林里的松鼠。一种方法是抓到一些个体并给他们做上标记或系上标签，再放回原处，设想抓到了 x 只动物，做好标记后释放回去，过一段时间后，抓到了 n 只这类动物并发现其中有 y 只有
7、标记。我们可以怎样估计这一地区该类动物的总数量 N 呢？估计出数量准确度如何？建立一个模拟模型来检查你的答案。对于 x 和 n 值的选取你有什么建议？10. 假定早晨上班期间人们随机地进入一座摩天大楼里的电梯。结果有 n 部电梯在每一层楼都停下来，各下了一两位乘客。(1)讨论改善这种状况的计划；（2）怎样衡量改善的程度？(3)怎样才能模拟这种状况以便决定采取什么计划？11. 积压商品处理一位商人积压了一批滞销货，他想降低价格使存货脱手，换回货币并腾出场地以便购进和存放其他商品。对此他反复思索，犹豫不决，请你为他分析以下问题：在现有滞销货存量的情况下，售价可以调低到什么程度仍然有利可图？如果了解
8、到多数商人已没有这种商品的存货，能否指望提高利润（纯利/总成本）？这种商品的需求量的随机起伏对定价有什么影响？12. 三分球战术三分球远投，是整个篮球战术的一个组成部分，也是篮球比赛中的一个重要得分手段。但是如果盲目远投会给对方抢篮板球后反攻乃至得分造成机会，试从得失分的角度探讨三分球战术的原则。请你研究如下情况：现球权在自己一方，而对方领先不超过两分，除本次进攻外估计所剩时间不会超过两个回合( 完成一次进攻算一个回合) ，作为指导，你建议本次进攻队员投 3 分球还是 2 分球？13. 在甲乙两地区检测得到 Fe 的浓度和飘尘的浓度如下表所示：这两个地区的大气质量代表了大气环境的两个类型 G1
9、、G 2，今在丙丁两地区采取 Fe 浓度和漂尘浓度分别为（5.6 ，18.1）和（8.2 ，17.9）的标本，试确定丙丁两地区的大气环境类型。14. 蒙特卡罗法计算以下函数在给定区间上的积分,并改变随机点数目观察对结果的影响。(1) 1,0;yx(2) 3sin2e(3) 1,0yx(4) 2,e15. 太阳能热水器倾角计算讨论海南岛太阳能热水器倾角 与热效率的关系。 这里倾角 是指热水器受热面与水平面夹角（小于 90 度）。 （1） 计算一年中春分、秋分、夏至，冬至这四天中 的最优值。 （2）若某用户夏天热水用不完，冬天不够用，又如何确定 值？ （3）若允许一年中调节两次角度，选定在一年中几
10、月几号好？ （4）若考虑海口一年四季天气特点、早晚大气折射，结论又将如何？16 . 不可再生资源管理 选择一种必不可少的不可再生的或会枯竭资源，比如水、矿藏、能源、食物等等，对此你们队能找到合适的世界范围内有关其天赋资源、已知的蕴藏量、年消耗量、价格等历史数据。 建模的任务为： （1） 利用天赋资源、发现、年消耗量、价格等历史数据，运用资源建模的原则，建立这种不可再生资源在长时间中逐渐耗尽或退化的模型。 （2） 考虑未来的经济、人口统计学、政治和环境等因素来调整模型。务必展示你们模型的细节，提供模型结果直观形象的表示，并指出模型的局限性。 （3） 创建一种公平、实用的“ 开采/ 管理” 策略，
11、其中要包括经济上的激励和抑制措施，从而确保资源的长期可用性，而且能避免这种资源的极度混乱的消耗、退化或者迅速枯竭。（4） 研制一种 “安全保障”策略以保护资源被偷盗、滥用、遭到破坏、不必要的退化或毁灭。可能需要讨论问题有与这些策略相应的政策和安全管理方面的候选方案。 Fe 4.3 5.6 4.7 4.8 5.3 4.1 4 4.6甲飘尘 15.7 17.8 16.9 16.3 17.2 16 15.8 16.2Fe 9.6 9.3 8.7 8.8 9.5 9.2 8.5 9.1乙飘尘 19.6 19.9 18.6 18.9 19.6 19 18.5 19.3（5） 研制控制开采的短期或长期“环
12、境影响”的策略。务必包括诸如污染物、不断增长的对自然灾害的敏感性、垃圾处理和存储，以及其他你们认为重要的因素。 （6） 把这种资源和相近用途的其他资源进行比较，为减少你选择的资源的消耗或潜在的耗尽危险应该发展什么样的新的科学或技术？研制一种能推动这些新领域的进步的研发策略。17. 水道测量数据下表给出坐标为 (75, 200)(-50, 150)米的矩形区域内，在退潮时测得的水深（Z）数据，求吃水深度为 1.8 米的船可航行区域。X 129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5Y
13、 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 88.5 -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5Z 1.34 2.67 2.00 2.67 2.00 2.67 2.67 3.0 3.0 2.67 2.67 3.0 1.34 3.018. 如果 6 个人开始时站在一个正 6 边形的 6 个顶点，各人以相同的速率始终对着前一个人奔跑（1）开始时各人顺时针沿着边长方向，请你求出每个人的行进轨迹（取边长为10m，人的速度为 1m/s 画出图形） 。（2）开始时各人沿着顶点与正 6 边形中心连线向外的方向，各人以相同的速率始终对着前一个人奔跑，请你求出
14、每个人的行进轨迹（取边长为 10m，人的速度为 1m/s 画出图形） 。(要求提供 matlab 源程序)。19. 环境评价问题伴随城市化、工业化进程的加快，城市建设出现一系列问题，如生态环境恶化、水资源短缺、交通拥挤、住房紧张、基础设施落后等。为了改善这种局面，各国政府、国际机构和学术团体相继开展城市可持续发展的探讨，生态城市就是在这种情况下产生的，并成为未来城市发展的必然趋势。20 世纪 80 年代以来，国内外许多城市相继提出建设生态城市的计划如美国的加里福尼亚的伯克莱生态城计划、加那大的哈里法克斯、巴西的库里蒂巴生态城市计划，以及我国的上海市、大连市、厦门市、深圳市等城市的生态城市计划。
15、生态城市是从生态系统的角度看待城市系统，其实质是以人为主体的生命与其环境间的相互关系，这种关系包括物质代谢关系、信息反馈关系，以及结构、功能和过程的关系。它强调空间布局合理、基础设施完善；环境整洁优美、生活安全舒适；物质、能量、信息高效和永续利用；经济发展、社会进步、生态持续、环境优美四者高度和谐，人与自然互惠共生的居聚地。海口市作为海南省的省会城市，建设一个经济高效、社会功能稳定、物流、人流、信息流畅通、生态良性循环的城市，是海口当前城市发展的首要任务。假设你是海口市城市规划局的首席顾问，请你完成以下任务：（1）试建立海口市生态城市评价的指标体系框图；（2）根据你建立的指标体系，比较海口市与
16、北京市在生态城市发展状况的优劣（有关数据从网上收集下载） ；（3）给出海口市建设生态城市的对策。20. 牧羊人的希望一个牧羊人拥有 x m2 的牧场，他满怀憧憬地做今后几年的计划，希望能获得满意的收获。他需要考虑以下问题：(a)他应该饲养多少只羊？（b）夏季应存储多少干草用作冬季饲料？(c)为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？你能建立一个数学模型来帮助他解决以上问题么？你可以利用下面的资料。下面是低洼地的某一类草（多年生黑麦草）的近似平均生长率：冬季 春季 夏季 秋季日生长率/g 0 3 7 4一般母羊的生育期是 58 年，每年产一头、两头或三头。如果每只母羊仅喂养 5 年就出售，下面一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数：年龄/年 01 12 23 34 45生产羊羔/头 0 1.8 2.4 2.0 1.8在一年里每头羊所需饲料的平均饲养量为：日需草量/Kg 羔羊 母羊冬季 0 2.10春季 1.00 2.40夏季 1.65 1.15秋季 0 1.3
