积分形式的基本方程

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1、1,B4 积分形式的基本方程,2,系统-包含确定流体介质的集合,无质量交换有能量交换,系统的质量,系统的动量,系统的动量距,是单位体积的物理量,系统的体积,控制体-流体流过的固定边界包含的体积,控制面-固定边界构成的面,有质量交换有能量交换,引言,3,系统广延量,控制体广延量,B4.1 流体系统的随体导数, 输运公式,系统广延量的导数，称为系统导数。,控制体广延量随时间变化率, 称为当地变化率 ；当流场定常时为零。,通过控制面净流出的广延量流量, 称为迁移变化率 ；当流场均匀时为零。,输运公式计算取决于控制体(面)的选择,4,t时刻界面S，体积,体积(t+t),t+t时刻界面S,5,6,高斯公

2、式,输运公式,7,物理量流量,S1,S2,动坐标系的输运公式,8,输运公式,系统质量 的随体导数,系统动量 的随体导数,系统体积 的随体导数,9,B4.2 积分形式的连续性方程,B4.2.1 固体的控制体,上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量 随时间的减少率。,输运公式可用于任何分布函数 ，如密度分布、动量分布、能量分布等。,令 ，由系统的质量不变可得连续性方程,对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为,10,系统质量 的随体导数,质量流量,连续性方程,高斯公式,质量流量,11,流进面1,流出面2,1.沿流管的定常流动,12,流进面1,流出面2,1.沿流管的定常流动,13,

3、设出入口截面上的质流量大小为,1.沿流管的定常流动, 一般式, 有多个出入口,2.沿流管的不可压缩流动,设出入口截面上的体积流量大小为, 一般式, 有多个出入口,14,例B4.2.1 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程,已知: 所有管截面均为圆形,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1,求： Q2 及各管的平均速度,解： 取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按不可压缩流体处理,可得,Q1 = Q 2 + Q 3 +

4、Q 4 + Q 5,Q2 = Q 1(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1(0.07+0.04+0.78)Q = 0.11Q1= 0.66 l / min,15,各管的平均速度为,例B4.2.1 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程,Q1=6 l/min,1升=0.001立方米=1立方分米=1000立方厘米,16,B4.2.2 运动的控制体,将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度vr,对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时,上式中 ，vr 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。,17,例B4.2.1b 变水位孔口出流：随时间变化的控制体,已

5、知圆柱型水箱,D=1m, d=0.1m, 放水前水深H=1m, 假设孔口出流速度为v2=2gh?, h(t)为任意时刻的水深。,求孔口打开至水放空所需时间T,放空h=0,18,例B4.2.2 圆管入口段流动：速度廓线变化,已知: 不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管,圆截面上的速度廓 线, 不断发展至指数形式分布(湍流)并不再变化称为充分发展流动。,求： 充分发展流动的速度廓线表达式,解： 设充分发展流动的速度廓线为 指数形式,式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取 n=1/7-1/10.由连续性方程:,(b)式左端=R 2U, (b)式右端=,(b),(a),19,例B4

6、.2.2 圆管入口段流动：速度廓线变化,由积分公式可得,取 n=1/7时,由(b)式可得,20,B4.3 伯努利方程及其应用,伯努利方程的推导： 由一维欧拉运动方程沿流线积分,伯努利方程的限制条件：,(3) 定常流动,伯努利（D.Bernouli 17001782）方程的提出和意义,(2) 不可压缩流体,(1) 无粘性流体,(4) 沿流线成立,21,加速度的变体,22,23,欧拉方程可化为葛罗米柯方程（欧拉方程的另一种形式）：,葛罗米柯方程,P压力函数,W势函数,24,理想流体微分方程的积分,恒定流时,葛罗米柯方程方程可化为：,流线切线方向,沿流线,伯努利方程,25,K=0,伯努力方程,P压力

7、函数,W势函数,伯努力方程化为,当质量力只有重力时，对理想、不可压缩流体有伯努利方程,26,行列式为零的情况,静止流体： ，得到静力学基本方程,无旋流动：,流 线：,涡线：,螺旋运动?：,无旋流动伯努利方程 处处成立,27,流线方向的速度压强关系,切向加速度,几何关系,定常流动,28,元流伯努利方程的应用毕托管测速仪,滞止点（驻点）1：速度为零，压力最大,为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关，其值近似等于1。,实际流速,h1,29,已知: 设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为,U 形管中液体密度m .,求： 用液位差h表示流速v,例B4.3.1 毕托测速管,AOB

8、线是一条流线(常称为零流线),k 称为毕托管系数。,总压=静压+动压,30,等压面， pM= pN,31,B4.3.2 沿总流的伯努利方程,单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒,常数(沿流线法线方向),2. 理想流体沿总流的伯努利方程,上式中V为总流截面上的平均速度， 为动能修正因子（通常取 ）,实际流体的总流伯努力方程：,32,流线主法线方向的速度压强关系,向心加速度,几何关系,渐变流动,p+z垂直于流线的断面上不变,忽略重力,pout,pin,33,对于恒定不可压缩且质量力只有重力的渐变流动,即在渐变流过流断面上，压强分布可认为服从于流体静力学规律。,p/+z在渐变流的过流断面上不变,3

9、4,恒定总流伯努利方程, 渐变流及其性质,均匀流的流线是相互平行的直线，过流断面是平面。许多流动情况虽然不是严格的均匀流，但接近于均匀流，这种流动称为渐变流动。渐变流的流线近乎平行直线，流速沿流向变化小，可忽略不计，过流断面可认为是平面。,35,考虑粘性效应的伯努力方程,36,总流伯努力方程,总流伯努力方程可由元流伯努力方程积分得到,式中包含三类积分：,（a）势能积分,取渐变流断面，则：,B4.3.3 伯努利方程的水力学意义,37,引入断面平均流速及动能修正系数,取决于断面上流速的分布， 通常取,（c）损失积分,引入 来表示单位时间单位重量流体由1-1断面到2-2断面的平均机械能损失，称为总流

10、水头损失,（b）动能流量,B4.3.3 伯努利方程的水力学意义,38,将上述三类积分带入原积分式，则得到总流伯努力方程：,B4.3.3 伯努利方程的水力学意义,39,总流伯努力方程的适用条件,恒定流； 不可压缩流体； 质量力只有重力； 渐变流过流断面； 无分流和合流； 无能量的输入输出。,B4.3.3 伯努利方程的水力学意义,40,总流伯努力方程的意义,总流伯努力方程的几何意义和物理意义在“平均”的意义下同元流伯努力方程相同，即：,各项分别代表总流过流断面上某点单位重量流体的势能、压能及动能；,代表单位重量流体由 1-1 断面到 2-2 断面的平均机械损失，称为总流水头损失。,B4.3.3 伯

11、努利方程的水力学意义,41,总流伯努力方程的几何表示,水力坡度定义,理想流体： ，总水头线沿程不变；,实际流体： ，总水头线沿程下降。,测压管水头线Hp坡度,42,水头损失hl,总流伯努力方程的几何表示,水力坡度定义,测压管水头线Hp坡度,B4.3.3 伯努利方程的水力学意义,43,例B4.3.1 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应,已知: 图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.,求： (1)出流速度v,(2)出流流量Q,从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2，并列伯努利方程,44,例B4.3.1 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应,讨论1：,(b)式称为托里拆里(E

12、Tomcelli,1644)公式,形式上与初始速度为零的自由落体运动一样.(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭缝出流。,(2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为A e,缩颈系数,小孔出流量,液面的速度可近似取为零v1= 0，液面和孔口外均为大气压强p1= p2=pa = 0(表压)，由(a)式可得,45,例B4.3.1 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应,收缩系数与孔口边缘状况有关：,实际孔口出流应乘上一修正系数 k 1,上式中= k,称为流量修正系数，由实验测定。,内伸管= 0.5,流线型圆弧边=1.0.,锐角边= 0.61,46,例B4.3.1-b 三角堰流量计,微元bdz面上的

13、速度,微元条的宽度b,通过微元条的流量dQ,流量Q,z,47,沿流束的水头形式,常数,沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程,B4.3.4 不定常伯努利方程,沿流线从位置1积分到位置2,(沿流束),48,z,例B4.3.4 U形管振荡,初始时刻，液位差2h,然后在重力作用下振荡，求振荡方程,v1=v2 =v(t),p1=p2 =pa,z1=-z;z2 =z,49,【例4.3.2】 总流伯努力方程的应用文丘里流量计,由渐缩、喉管、渐扩三段组成。,进口直径 d1 =100mm，喉管直径 d2 = 50mm，测压管水头差 h = 0.6m或水银差压计液面差 hm= 4.76cm），流量系数=0.9

14、8，试求输水流量。,50,z =za-zb,液柱式测压计,51,等压面， pM= pN,U型管压差计用于测量两点的压强差或测压管水头差,52,1.取基准面0-0；,2.取计算断面1-1，2-2；,伯努利方程,连续性方程,53,K文丘里管系数,考虑到水头损失的影响，引入流量修正系数,K 取决于流量计的结构尺寸,54,流体系统的动量方程,流过控制面A的动量流量=合外力,流体系统的动量输送公式,定常流,B4.4 积分形式的动量方程及其应用,55,流进面1,流出面2,56,平均流速,动量修正系数,取决于断面流速分布的不均匀性，一般 =1. 051.02， 仅当等速流 =1；通常取 =1。, 定义为实际

15、动量和按照平均流速计算的动量的比值。,57,动量流量,考虑到,58,若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为,流过控制面A的动量流量=合外力,对不可压缩流体：,59,动量方程的求解,动量方程为矢量方程，求解时可写成在直角坐标系中的分量式：,60,有分流时动量方程的求解,有分流的动量方程,1-2( 1-3 )断面间的伯努利方程,有分流的连续性方程,61,【例】水平输水弯管。直径由 D1 经=转角变为D2 ;转弯前断面的表压强 p1，输水流量Q ，不计水头损失，求水流对弯管的作用力。,62,水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相反,63,【例】水平方向的射流。流量Q ，击板流速v;水流在大气中冲击光滑平板，射流轴线与平板夹角为；求射流对平板的作用力；分流的流量,64,有分流的动量方程,射流对平板的作用力等于平板对射流的作用力，方向相反,65,【例】 分岔管。干管直径 D1 ，分岔角，支管直径D2 = D3 ，分岔前断面的压强 p1，总流量Q ;不计水头损失，求水流对分岔管的作用力。,