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1、概率论与数理统计,-考研春季基础班,主讲：朱祥和,联系方式：,QQ： 2631328 E-mail：,概率与数理统计学科的特点：,1、研究对象是随机现象。 2、题型比较固定，解法比较单一，计算技 巧要求低一些。 3、高数和概率相结合。,考研数学课程中，概率论与数理统计是理工科（数学一）、经济类（数学三）必考的，分值为34分，占总分的22.7%。,概率统计题型构成： 选择题：第7、8题，每小题4分，共8分 填空题：第14题，4分 计算题：第22、23题，每小题11分，共22分,知识结构,第一章 随机事件与概率 第二章 一维随机变量及其分布 第三章 二维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征
2、 第五章 大数定律与中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 第七章 参数估计与假设检验,随机现象： 某人射击一次,考察命中情况; 某人射击一次,考察命中环数; 掷一枚硬币,观察向上的面; 从一批产品中抽取一件,考察其质量; ,确定性现象： 抛一石块,观察结局; 导体通电,考察温度; 异性电菏放置一起,观察其关系; ,第1.1节 引言,第一章 概率论的基本概念,随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。 随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规
3、律性，这种规律性称之为统计规律性。 概率统计的研究对象 概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。,第1.2节 概率的统计定义(频率),1.随机试验（E）对随机现象进行的实验与观察. 它具有三个特点：重复性, 明确性 , 随机性.,2.随机试验的样本点随机试验的每一个可能结果.,3.随机试验的样本空间（或S）随机试验的所 有样本点构成的集合.,4.基本事件的单元素子集，即每个样本点构成 的集合.,5.随机事件的子集，常用A、B、C表示.,6.必然事件（）,7.不可能事件（）,定义 (概率的统计定义) 在一定条件下,重复做 次实验, 为 次实验中事件A
4、发生的次数,如果随着n逐渐增大,频率 逐渐稳定在某一数值p附近,则数值p称为事件A在 该条件下发生的概率,记作 .,注: (1) 频率具有稳定性 (2) 当试验次数n较大时,经常用频率代替概率,第1.3节 概率的古典定义(比率),1.古典概型（古典试验） 设为试验E的样本空间，若 （有限性） 只含有限个样本点， （等概性）每个基本事件出现的可能性相等，则称E为古典概型（或等可能概型）。,2.古典概率的定义 设E为古典概型， 为E的样本空间，A为任意一个事件，定义事件A的概率 P(A)=有利于A的基本事件数/试验的基本事件总数 ( 或=事件A包含的基本结果数/试验的基本结果数）,第1.4节 排列
5、组合与古典概率的计算,一.排列与组合,1.非重复的排列:从 n个不同元素中,每次取出k个不同的元素, 按一定的顺序排成一列称为排列,排列的种数记作,2.组合:从n个不同的元素中,每次取出k个不同的元素,与元素 的顺序无关组成一组叫作组合,其组合数用 表示,其中,3.可重复的排列:从 n个不同元素中可重复取出m个元素 的排列总数为 种.,注:在(1)中若k=n,此排列称为全排列, 若kn,此排列称为选排列,二.加法原理:,完成某件事情有n类办法,在第一类方法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,依次类推,在第n类办法中有mn种方法,则完成这件事共有N = m1+m2+mn种不同的方法,其中
6、各类办法彼此独立.,三.乘法原理:,完成某件事情需先后分成n个步骤,做第一步有m1种方法,第二步有 m2 种方法,依次类推,第n步有mn种方法,则完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法,特点是各个步骤连续完成.,例题:,1.4.1 两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件, (1) 两件都不是次品的选法有多少种? (2) 只有一件次品的选法有多少种?,解: (1) 用乘法原理，结果为,(2) 结合加法原理和乘法原理，得选法为:,例 题,例1.4.2（产品的随机抽样问题） 例1 箱 中 有 6 个 灯泡，其 中 2 个 次 品4 个 正 品，有 放 回地 从 中 任 取 两
7、 次， 每 次 取 一个，试求下 列 事 件 的 概率： （1） 取 到 的 两 个 都 是 次 品， （2）取到的两个中正、次品各一个, （3）取到的两个中至少有一个正品.,解：设A = 取 到 的 两 个 都 是 次 品，B=取到的两个中正、次品各一个, C=取到的两个中至少有一个正品.,（1）基本事件总数为62，有利于事件A的基本事件数为22，,所以P（A）=4/36=1/9,（2）有利于事件B的基本事件数为42+24=16，,所以P（B）=16/36=4/9,（3）有利于事件C的基本事件数为62-22=32，,P（C）=32/36=8/9,注意若改为无放回地抽取两次呢? 若改为一次抽取
8、两个呢？,1 古典概型的基本模型-摸球模型,A 无放回地摸球 问题1 设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率。 问题2 设袋中有10个相同的球，依次编号为1，2.，10，每次从袋中任取一球，取后不放回，求第5次取到1号球的概率。,摸球模型的应用,1 检查废品问题 设100只晶体管中有5只废品，现从中抽取15只，求其中恰有2只废品的概率。 2 抽签问题 在编号为1，2，,n的n个球中，采取无放回方式抽签，试求在第K次抽到1号球的概率。 3 分组问题 把20个球队分成两组（每组10队）进行比赛，求最强的两队分在不同组的概率。 4 扑克牌花色问题 求某选
9、手拿到一副牌（13张）中恰有黑桃6张，方块3张，红花4张的概率。,B 有放回地摸球,问题3 袋中有4个红球，6个黑球，从中有放回地摸球3次，求前两次摸到黑球、第3次摸到红球的概率。 问题4 袋中有4个红球，6个黑球，求从中有放回地摸球200次中红球出现30次的概率。,摸球模型的应用,5 电话号码问题 在7位数的电话号码中，求数字0恰好出现了3次的概率。 6 骰子问题 掷3颗均匀骰子，求点数之和为4的概率。,古典概率的基本模型 球放入杯子模型,A 杯子容量无限 把4个球放到3个杯子中去，求第1、2个杯子中各有2个球的概率，其中假设每个杯子可放任意多个球。 B 每个杯子只能放1个球 把4个球放到1
10、0个杯子中去，每个杯子只能放1个球，求第1至第4个杯子中各有1个球的概率。,模型的应用,1 生日问题 某班20个学生都是同一年出生的，求有10个学生生日是1月1日，另外10个学生生日都是12月31日的概率。 2 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地分配到3间房中去，试求每个房间恰有1人的概率。,第1.5节 事件的关系与运算、加法公理,事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。 比如：概率论中的必然事件（样本空间）在集合论中是全集，概率论中的不可能事件在集合论中是空集，概率论中的事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件、和事件、积事件、差事件在集合论中分别是余集、并
11、集、交集、差集，等。,记 号 概 率 论 集 合 论 S() 样本空间,必然事件 空间,全集 不可能事件 空集 样本点 元素 A 事件 集合,A是B的子事件 A是B的子集,A与B是相等事件 A与B是相等集合,A与B互斥(互不相容) A与B无相同元素,A与B的和(并)事件 A与B的并集,A与B的积(交)事件 A与B的交集,A与B的差事件 A与B的差集,A的对立事件(逆事件) A的余(补)集,概率的主要性质,(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立. (2)加法公式 若AB=,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥 事件的情形.即:若A1,A2,An两两互斥,则 P(A1+A2
12、+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B); (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC) - P(BC)+P(ABC) 可推广到有 限个事件的情形(多退少补原则)。,得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例题,1.5.1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求 B的逆事件的概率。,所以，P( )=1-0.2=0.8,解：由P(A+B
13、)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),思考：在以上条件下，P(A-B)=？,1.5.2. 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A 与B 都 不发生 的概率为 0.15 ,求 A发生B不发生的概率；B 发生A不发生的概率及P(A+B).,解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1，P（ ）=0.15，,则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5,P（B-A）=P（B）-P（AB）,P（A+B）=1-P（ ）=1-P（ ）=0.85,又因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以，,P（B）=P（A+B）-P（A）+P（A
14、B）=0.85-0.6+0.1=0.35,从而，P（B-A）=0.35-0.1=0.25,课堂练习,1.P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B). 2.P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB) 3. P(A) =P(B) = P(C) =1/4， P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。 4. A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,所以P(A-B)=P(A)-(AB)=0.3,(2)P( -AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6,(3)P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12,(4)P(AB)=P( )=P( )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB), 所以,P(B)=1-P(A)=1-p,一、条件概率,1、定义 对于两个事件A、B，若P（A）0，则称P（B|A）=P（AB）/P（A）为事件A出现的条件下，事件B出现的条件概率。,注意:区别P（B|A）与P（AB）. 例 有10个人,其中色盲者3人,从这
