求极限的常用方法

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1、1毕 业 论 文题 目： 求极限的方法 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 毕业年限： 2013 学生姓名： 俞琴 学 号： 200971010249 指导教师： 伏生茂 2求极限的方法俞 琴（数学与应用数学 200971010249）摘要：在数学分析中，极限思想始终贯穿于其中，求极限的方法也显得至关重要，求数列和函数的极限是数学分析的基本运算.求极限的主要方法有用定义、四则运算法则、迫敛性、两个重要极限、定积分、函数连续性等，除了这些常用方法外，还有许多相关技巧.本文结合自己对极限求解方法的总结，通过一些典型的实例，对求极限的各种方法的很多细节作了具体分析，使方法更具针对性、

2、技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点，能够做到游刃有余.关键词：极限 单调性 定积分 洛必达法则 函数连续性一、极限的定义及性质自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础.极限概念是数学分析中最基本的概念，因为数学分析的其它基本概念均可用极限概念来表达，且解析运算(微分法、积分法) 都可用极限概念来描述，如函数 在 处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分、)(xfy0三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，这些数学分析中最重要的概念都是用极限来定义的.极限是贯穿数学分析的一条

3、主线，它将数学分析的各个知识点连在了一起.所以，极限概念与极限运算非常重要，学好极限便为学习数学分析打好了基础.（一）定义定义 1 设 为数列， 为定数，若对任给的正数 ，总存在正整数 ，naaN使得当 时有 ，则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 的Nnaan极限，并记作3，或 .anlimn)(定义 2 设函数 为定义在 上的函数， 为定数，若对任给的 ，f)， A0存在正数 ，使得当 时有 ，则称函数 当 趋于）（MMxxf)(fx时以 为极限，记作A或 .Afx)(limf)()(定义 2 设函数 在点 的某个空心邻域 内有定义， 为定数， 0x;0xUA若对任给的 ，存在正数 ，使得当

4、 时有 ，0)(xf)(则称函数 当 趋于 时以 为极限，记作fxA或 .fx)(lim0xf)(）（ 0x（二）性质1.收敛数列的性质：定理 1（唯一性）若数列 收敛，则它只有一个极限.na定理 2（有界性）若数列 收敛，则 为有界数列，即存在正数 ，naM使得对一切正整数 有 .nM定理 3（保不等式性）设 与 均为收敛数列.若存在正数 ，使得当nab0N时有 ，则 .0Nnnbalimli定理 4（迫敛性）设收敛数列 ， 都以 为极限，数列 满足：存nanc在正数 ，当 时有 ，则数列 收敛，且 .00nbcancalim2.函数极限的性质：定理 1（唯一性）若极限 存在，则此极限是唯一

5、的.)(lim0xf定理 2（局部有界性）若 存在，则 在 的某空心邻域 内0xf0x)(0xU有界.定理 3（保不等式性）设 与 都存在，且在某领域)(li0fx)(li0gx4内有 ，则 .);(0xU)(xgf)(lim)(li00xgfx定理 4（迫敛性）设 ，且在某邻域 内有Ax00 );(0xU，则 .)()(xhfh)(li0二、极限的计算方法(一)利用定义求极限例 1 用极限的 定义证明 ，这里 为正数.N01limn证： 由于 n10故对任给的 ，令 ，则 ，即1n1存在 ，当 时，便有 ，即 成立.1NNNn0n这便证明了 .0!limn例 2 用极限的 定义证明 .00l

6、ixx证：对 ，要使 ，取 ，则当 时，20x成立20x所以 .00limx注:由 或 出发，借助恒等变形和不等式变形进行适an Axf)(当放大，由给定的 找到相应的 或 .)(N（二）利用四则运算法则求极限应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为 ,值0得注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子.5例 3 求 .)1(limnn解：先对括号里的式子进行分子有理化，11)( nn由 及例 1 （设 .证明：若 ，则)(1n ),2(0aanlim.）得alim.

7、21lim)1(li nnn（三）利用无穷小量求极限1无穷小量的性质（1）两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.（2）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.例 4 求 .xx1sinlm20解：当 时， 是无穷小量， 为有界量，即 ，x1sin0lim2x，所以有 .1sinx0sil20x2.无穷小与无穷大的关系：互为倒数例 5 求 .1lim2x解：由题可知， ， ，同时因为 ，所0)(li2x 0)1(limx01lim2x以当 时， 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即x12.1lim2x（四）利用迫敛性求极限例 6 求 的极限.)121(li 22 nnx 6解:因为 1

8、11211222 2222 nnnnn 又因为 ， ，由极限的迫敛性，lim2xli2x有 .1)1(li 222 nnx 注:通过迫敛性求极限，一般是将极限的变量作适当的放大和缩小，利用所得的不等式求极限.（五）利用单调有界定理求极限单调有界定理：在实数系中，单调有界数列必有极限，且极限唯一.例 7 证明数列 ， ， ， ， 收22个 根 号n2敛，并求其极限.证：记 ，易见数列 是递增的.先用数学归纳法来22nana证明 有上界.显然 .假设 ，则有 ，从而对1na 221nn一切 有 ，即 有上界.n2a由单调有界定理，数列 有极限，记为 .由于 ，对上式nanna21两边取极限得 ，即

9、有 ，解得 或 .a2 0)2(12由数列极限的保不等式性， 是不可能的，故有.limn注:首先要判定证明数列是单调有界的，可设其极限为 ；再找出数列相邻A两项 和 的关系式；最后用关系式求极限，在关系式两端取极限，得到一1nx个关于 的方程，若能解出 ，问题得解.AA7（六）利用两个重要极限求极限1. .1sinlm0x2. .e)(i例 8 求 .xxsil解：令 ，则 ，且当 时 .所以有tttsin)si(nx0t1lmsil0txtx例 9 求 .x10)2(li解： 2121010 )()(li)(li exxx 注:用两个重要极限求极限时，经常用三角公式或代数公式进行恒等变形或变

10、量代换，使之成为重要极限的标准形式.（七）利用定积分求极限定积分定义:设 是定义在 上的一个函数， 是一个确定的实数，若对fba, J任给的正数 ，总存在某一正数 ，使得对 的任何分割 ，以及在其上任,T意选取的点集 ，只要 ，就有iT，即 ，Jxfiini)(1 JxfiiniT)(lm10则称函数 在区间 上可积或黎曼可积；数 称为 在 上的定积分fba, fba,或黎曼积分，记作.dxfJba)(例 10 求极限 .)211lim22nnn 解： 2122 )(lim)(li kkn 令 ，当 时， ，令 ， ，x10xnxk 2xf82)(1)(nkxfk由定积分的定义：.4arctn

11、1 )(1lim)21(lim1002 222 xdx nknkn(八)利用归结原则求极限归结原则： 在 内有定义. 存在的充要条件是：对于任f);(0xU)(lim0xf何含于 且以 为极限的数列 ，极限 都存在且相等.);(0xnn例 11 考察函数 : , 在点 是否有极限.fRxf1si)(解：令， ，na212b),(n则 ， ，但是当 时， 是恒等于 的常值0nn)()(naf0数列， 是恒等于 的常值数列.)(bf1所以极限 不存在.xxsilm0(九)利用柯西准则求极限1.数列柯西收敛准则：数列 收敛的充要条件是：对任给的 ，存在na 0正整数 ，使得当 时，有NNn,.ma2

12、.函数柯西准则：函数 在 内有定义. 存在的充要条件f);(0xU)(lim0xf是：任给 ，存在正数 ，使得对任何 有0) ;,Ux.()xff9例 12 求极限 .xx1sinlm0解:取 ，对任给的 ，设正整数 ，即 ，令001n， ，n 2那么有 ， ，x10 nx10则有 ，而 .于是按柯西准则，极限);(,U0sinix不存在.xx1sinlm0注: 与极限的定义比较，柯西收敛准则把原来的 、 的关系换an与 Axf与)(成了 、 的关系，此时无须借助数列和函数以外的数，只要mna与 )(xf与根据数列和函数本身的特征就可以判断其敛散性.(十)利用等价无穷小量的代换求极限等价无穷小

13、量：若 ，则称 与 是当 时的等价无穷小量.记1)(li0xgffg0x作.)()(f定理 设函数 ， ， 在 内有定义，且有 .gh0xU )0()(xgf（i）若 ，则 ；Axfx)(lim0 Ahgx)(lim0（ii）若 ，则 .Bfx)(li0 Bx)(li0例 13 求 的极限.30sintalx解：由于 ，而)cos1(it x， ， ，)0(,sinx0,2)0(,in3x故有10.21cos1limsintal 3030 xxxx注 6 再利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替

14、代. 如在上式中，若因有， ,)0(,tanx)0(,sinx而推出,sinlmsintl 3030 xxxx则得到的结果是错误的.(十一)利用函数连续性求极限若函数 在 处连续，则 在 处有极限，且极限值等于函数值 .可f0xf0x )(0xf用连续性的推广：设复合函数 ， 复合形成的，并且)(uy)(x， ，则 在 处的极限存在且ax)(lim0)(li0afuff0.)(lim00 axxx例 14 证明 .1)ln(ix证：利用对数函数的连续性，.)1(lin)l(i)l(i 0100 xxxx 令 ，则t1.etxtx )1(lim)(li10所以.1ln)1l(i0exx（十二）利用洛必达法则求极限洛必达法则：若函数 和 满足：fg11（i） 或 ；0)(lim)(li00 xgfx )(lim)(li00xgfx（ii）在点 的某空心邻域 内两者都可导，且 ；U 0（iii） （ 可为实数，也可为 或 ） ，Axgfx)(li0 则.xgfxf)(lim)(li00