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1、华 北 水 利 水 电 大 学.矩阵可逆的判定及求解课 程 名 称： 线性代数 专 业 班 级： 工程力学 2012054 成 员 组 成：姓名：马原响 学号：201205401 姓名： 董迪 学号：201205426 姓名：霍帅磊 学号：201205429联系方式： 13017682997 13017683523 130176835892013 年 11 月 12日.矩阵可逆的判定及求解摘 要： 为了更便捷地解决求矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、多项式法、 “和化积”法、Hamilton-Caley
2、定理法、公式法等多种方法求逆矩阵,并对部分进行了简要论证关键词： 可逆矩阵的定义、齐次方程组、初等变分块矩阵求逆、分块矩阵求逆、分阶矩阵求逆、定义法、解方程组法。Matrix reversible decision and the solutionAbstract: In order to more easily solve the inverse of a matrix, this matrix according to the different characteristics of the different introduced several simple inverse matri
3、x method. the definition of law, with the matrix method, elementary transformation, block matrix method, solve equations by the use of Cramers rule to solve the determinant method, identical deformation method, the use of Hamiton_Caley Theorem, splicing and other methods to find new matrix inverse,
4、and part of a brief demonstration.Keywords： block matrix； elementary transformation；with the matrix；Invertible matrix of the definition, homogeneous equations, elementary transformation into unit matrix, partitioned matrix inversion, decomposition of matrix inversion, recursive method引言： 矩阵是数学中一个极其重
5、要的应用广泛的概念，它是代数，特别是现性代数的一个主要研究对象。其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一。本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结可逆矩阵的定义：设 是 阶矩阵，如果存在 阶矩阵 ，使得AnnBn，则称 是可逆矩阵（或称 为非EBAA奇异矩阵） ， 是 的逆矩阵。从这个定义可知，单位矩阵 E 的可逆矩阵就是其自身矩阵可逆性的判定：方法 1 定义法：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆
6、时，逆矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1.例： 设 A= ,ad-bc;求 A-1.( )解: 因为A=ad-bc=10 所以 A 可逆. 设 A 的逆矩阵为 B= ,由 AB=BA=E,得( ),解得：+=+=1=+=0+=+=0+=+=1 =所以 A-1=B=( )注释：定义法一般适用于求二级，三级可逆方阵的逆矩阵，级数高的可逆矩阵不采取这种方法。因为矩阵的级数越大，方程组所含的方程越多，解方程就越困难，由此带来的计算量一般是非常大的。方法 2 伴随矩阵法：A -1 = A*.定理 n 阶矩阵 A = aij为可逆的充1|A|分必要条件是 A 非奇异.且1212112nnnAA 其中A i
7、j是|A| 中元素a ij的代数余子式 .矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，121212nnnA 记作A*，于是有A -1 = A*.1|A|注 对于阶数较低（一般不超过 3 阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意 A* = （A ji） nn 元素的位置及符号.特别对于 2 阶方阵，其 伴随矩阵 ,即伴随12a21*aA矩阵具有“主对角元素互 换，次对角元素变号”的规律.对于分块矩阵 不能按上述规律求伴随矩阵.ABCD例 2：已知 ，求 A-1.10=235解 | A | = 2 0A 可逆.由已知得112132233 -5, ,A= 7=- , , A-1 = A* = 1|
8、A| 515120277方法三 矩阵分块求逆法；由于计算和讨论问题的需要，在处理大型矩阵时，常常采用对矩阵分块的方法。因为把矩阵分块，可以事型号大的矩阵的运算化为型号小的矩阵的运算，即只需要把字块当做元素来进行运算，并按照通常矩阵的加减法、数乘、乘法等法则来运算，这种运算上的抽象性及究竟如何对矩阵进行分块等问题，就使得分块矩阵形成了学习上的一个难点。特别注意的是，在做分块的乘法时，应使左矩阵上列的分块方式与右矩阵上的分块方式一致。对于某些特殊矩阵，利用分块矩阵求其逆矩阵，有时是很方便的，比用其他方法要快，要准确。若遇到以下形式矩阵，我们可以采取以下方法。（1） 若 A,B 均为可逆矩阵时，则
9、= = = ( )1(1 1) ( 11 ),( )1( 11 )(2) 一般地，若方阵 A1，A 2，.,A m 均可逆，则有=12 11121 例：求下列矩阵的逆矩阵，已知 W=(1 00 10 00 30 41 23 4 2 5)解：将矩阵 W 分成四块，设 A= ,B= , C=(3 4 2) , (1 00 1 000 0 1) (342)D=(5) ,于是 （D-CA -1B）=(-24)即（D-CA -1B）=( )124A-1B=B= , CA-1=C=(3 4 2) ,(342)利用公式得W-1=124(15 1212 86 8 6 38 420 23 4 2 1)方法四 初
10、等变化法 : 因为当 n 级方阵 A 可逆时，A 可由初等行变换化成单位矩阵，即 PnPn-1P1A=E于是 PnPn-1P1AE=A-1， 这里 PnPn-1P1A 都是初等矩阵，可见 A-1=PnPn-1P1A即有【A,E】 （P nPn-1P1A，P nPn-初等行列 变换1P1E）=(E,A)根据上面的分析可得到，令 B=A-1， 则 =()初等列 变换 (.1.1) ()例： 设 X= ，求 X-1.(2 51 3)解： 对下列矩阵始终实行初等行变换： （X）= (2 5 1 3 1 00 1) (1 00 1 35 1 2)故 X-1=(3 51 2)注： 注意用初等行变换法求 A
11、-1 时，对（X E）只能实施行一系列初等行变换，而不能用初等列变换。同理对 只能实施列一系列初等列变换，而不能用()初等行变换。方法五 利用解线性方程组来求逆矩阵： 令 n 阶可逆矩阵 A = (aij)，A 的行向量分别为 1 , 2 , , n , 其中 i = ( i1 , i2 , , in),(i =1 , 2 n)。由定理 1 得: i=a ij j(i = 1 , 2 , , n) .解以 1 , 2 , , n 为未知量的方程组,由于系数行列式 D = | A| 0 (因为 A 可逆),所以, 由克莱姆法则可得唯一解: j=Dj/D= bj11 + bj22 + + bjnn
12、(j = 1 , 2 , , n) .其中 Dj 是把行列式 D 的第 j 列的元素换以方程组的常数项 1 ,2,n 而得到的 n 阶行列式.由定理 2 可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有 A- 1 = B.其中 B = (bij).下面举例说明这种方法例：求矩阵 A= 的逆矩阵。30103解： 设 TxxX),(5421 TbB),(54321解方程组 AX=B即 解得544332211bxbx51542433 542 42311 )()(bxb然后把 列，分别用),(4321B)0,10,()0,1(3代入得到矩阵(4 )5的第 行，分别用1A,432),(51x,0432
13、12 )3,0(213x),(4x5即 12314253100A这种方法特别适用于线性方程组 AX=B 的解容易求解的情形方法六 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例：已知 ，试求 并证明 ,其中6AE1A1A.321解 由 得到 故6AE6661AEAE,而A又为正交矩阵, 从而1 1321方法七 多项式法；我们知道，矩阵 A 可逆的充分条件是有一常数项不为零的多项式 f（x） ,满足f（A）=0 ,用这个知识点也可以求出逆矩阵。例： 已知矩阵 A= ,且 A 满足多项式(2 13 3)f（x）=X2-5X+3E=0 试证明 A 是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。证明: 由 A2-5A+3E=O ,得A(- A+ E)=E13 53从而可知 A 为可逆矩阵，并且= + =13(2 13 3)53(1 00 1) (1 131 23)方法八 用 Hamilton-Caley 定理求逆矩阵：Hamilton-Caley 定理 :设 A 是数域 P 上的 n 阶矩阵 为 A 的1E-nnfaa特征多项式，则： 1-A0nnf AE于是 121nnna因 此得 )(1211 EAAnnn (此式给出
