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1、- 1 -温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。考点 23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用 1.（2010湖北高考文科6）现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )（A） 65 （B） 5 （C） 5432（D） 6432【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故 6 名同学的安排可分 6 步进行，每步均有 5 种选择，由分步计数原理即可得出答案.【规范解答
2、】选 A.每名同学可自由选择 5 个讲座中的其中一个讲座，故 6 名同学的安排可分 6 步进行，每步均有 5 种选择，因此共有 6种不同选法.【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有 5 种，共有 6种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听” ，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将 6 名同学分为 5 堆，再分给 5 个不同的讲座，有 256180CA 800 种不同选法.2.（2010湖北高考理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、
3、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）（A）152 （B）126 （C）90 （D）54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：司机只安排 1 人；司机安排 2 人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规范解答】选 B.当司机只安排 1 人时，有 1234CA=108(种)；当司机安排 2 人时有 23CA
4、=18(种).由分- 2 -类计数原理知不同安排方案的种数是 108+18=126（种）.【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有 3 种选择，丙、丁、戊各有 4 种选择，因此共有 34576（种）安排方案.3.（2010全国高考卷理科6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )（A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种【命题立意】
5、本题考查了排列、组合的知识.【思路点拨】运用先选后排解决，先从 3 个信封中选取一个放入标号为 1，2 的 2 张卡片，然后剩余的 2 个信封分别放入 2 张卡片.【规范解答】选 B.标号为 1，2 的卡片放法有 A13种，其他卡片放法有 24C种，所以共有A1324C=18（种）.【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.4.（2010全国卷理科6）某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）(A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种【命题立意】本题主要考查考生能否利
6、用所学的加法原理、乘法原理以及排列、组合知识灵活地处理有关计数问题，能否结合具体问题确定恰当的分类标准，突出考查分类讨论的数学思想.【思路点拨】解决本题可以采用直接法进行分类，也可采用间接法利用对立事件解决. 事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修 A 和全部选修 B”.【规范解答】选 A.方法一：可分以下 2 种情况:A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 1234C种不同的选法；A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 234C种不同的选法.所以不同的选法共有 +2134830C（种）.方法二： 事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修 A
7、和全部选修 B”，两类课程中各至少选一门的种数为 33740C（种）.【方法技巧】排列与组合的应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主考虑，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. - 3 -(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数. 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法.5.（2010四川高考文科9）由 1，2，3，4，5 组成没有重复数字且 1，2 都不与 5 相邻的 5 位数的个数是（ ）(A)36 (B)32 (C)28 (D)24【
8、命题立意】本题主要考查有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】先排 5，再排 1,2.分两类：5 在两端，1,2 有三个位置可选择；5 不在两端，1，2 有两个位置可选择.【规范解答】选 A.如果 5 在两端，则 1，2 有三个位置可选，排法为 234A（种） ； 如果 5 不在两端，则 1，2 只有两个位置可选， 排法有 231A（种） ，共计 24+12=36（种）.【方法技巧】优先考虑特殊元素.复杂问题，分类求解.6.（2010湖北高考理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工
9、作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )(A)152 (B)126 (C)90 (D)54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：司机只安排 1 人；司机安排 2 人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规范解答】选 B.当司机只安排 1 人时，有 1234CA=108(种)；当司机安排 2 人时有 23CA=18(种).由
10、分类计数原理知不同安排方案的种数是 108+18=126(种).【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有 3 种选择，丙、丁、戊各有 4 种选择，因此共有 34576(种)安排方案.7.（2010重庆高考文科0）某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期）值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天.若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有（ ）- 4 -(A)30 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)
11、48 种【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先考虑特殊元素甲、乙，再安排其他员工.【规范解答】选 C.（1）若甲、乙安排在同一天值班，则只能在 15 日值班，其余四人的值班安排方法有246C（种）.（2）若甲、乙不在同一天值班，则甲只能在 15 日或 16 日值班，若甲在 16 日值班，则有 14（种） ；若甲在 15 日值班，则乙只能在 14 日值班，共有 1243C（种） ，所以共有 （种）.【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素和特殊位置进行讨论.8.（2010四川高考理科10）由 1，2，3，4
12、，5，6 组成没有重复数字且 1，3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（ ）（A）72 （B）96 （C）108 （D）144【命题立意】本题主要考查了有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】要得到偶数，第一步考虑，个位数字的选取，有 3 种选法；第二步考虑 1，3 相邻的问题，分两类：一类是 1，3 相邻，且都不与 5 相邻，另一类 1,3,5 均不相邻.【规范解答】选 C.第一步： 由于是组成一个 6 位的偶数，那么尾数就应该是在 2，4，6 中选，有 种方法.第二步：又因为 1，3 不与 5 相邻，将其分为两类：先将剩下的 2 个偶数排好有
13、2A13C种排法，1 和 3 捆绑，再与 5 插空有 2A种插法，共有 223A种排法；先将剩下的 2 个偶数排好有 2A种排法，把 1，3，5 插空，有 3种插法，共有 2种排法,故符合题意的所有偶数有 2332108C（个）.【方法技巧】相邻问题，捆绑排列；不相邻问题，插空排列;复杂问题，分类讨论.9.（2010重庆高考理科9）某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有（ ）（A）504 种 （B）960 种 （C）1 008
14、 种 （D）1 108 种 【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后 安排其他员工.- 5 -【规范解答】选 C.（1）若甲、乙安排在开始两天，则丁有 4 种选择，共有安排方案 2149AC（种）.（2）若甲、乙安排在最后两天，则丙有 4 种选择，共有 219AC（种）.（3）若甲、乙安排在中间 5 天，选择两天有 4 种可能，若丙安排在 10 月 7 日，丁有 4 种安排法，共有 2134（种） ；若丙安排在中间 5 天的其他 3 天，则丁有 3 种安排法，共有 213（种） ，所以
15、共有19242108008（种）.【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素（甲、乙在一起，丙丁不在某位置）进行讨论；用到分类枚举法.例如，丙不在 10 月 1 日，则考虑在 10 月 7 日和 10 月 2 日至 10 月 6 日中三天的情形.10.（2010重庆高考文科） 4()x的展开式中 2x的系数为（ ）（A）4 （B）6 （C）10 （D）20【命题立意】本题考查二项式定理的基础知识，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解的能力，考查方程的思想.【思路点拨】根据二项展开式的通项公式求解或杨辉三角求解,还可以利用多项式的乘法公式将其展开.【规范解答】选 B.方法一： 41rrTCx，令 2r，则 ，所以 246C.方法二：杨辉三角中有一行的系数 1 4 6 4 1，即为 4()x的展开式的系数，故 x2的系数为 6.方法三： 422222(1)()()(1)xx436.【方法技巧】 （1）公式法.（2）杨辉三角、数表法.（3）应用多项式的乘法公式计算.11.（
