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1、- 1 -温馨提示:此题库为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,关闭 Word 文档返回原板块。考点 23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用 1.(2010湖北高考文科6)现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )(A) 65 (B) 5 (C) 5432(D) 6432【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理,考查考生的逻辑推理能力【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座,故 6 名同学的安排可分 6 步进行,每步均有 5 种选择,由分步计数原理即可得出答案.【规范解答
2、】选 A.每名同学可自由选择 5 个讲座中的其中一个讲座,故 6 名同学的安排可分 6 步进行,每步均有 5 种选择,因此共有 6种不同选法.【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座,故每位同学的选择都有 5 种,共有 6种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听” ,它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆,再分配”的思想将 6 名同学分为 5 堆,再分给 5 个不同的讲座,有 256180CA 800 种不同选法.2.(2010湖北高考理科8)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、
3、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )(A)152 (B)126 (C)90 (D)54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理,考查排列、组合知识的应用,考查考生的运算求解能力【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作知,司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类:司机只安排 1 人;司机安排 2 人,然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规范解答】选 B.当司机只安排 1 人时,有 1234CA=108(种);当司机安排 2 人时有 23CA
4、=18(种).由分- 2 -类计数原理知不同安排方案的种数是 108+18=126(种).【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加,因此属于不同元素的分组问题,解题时往往采用“先分堆,再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制,则甲、乙二人各有 3 种选择,丙、丁、戊各有 4 种选择,因此共有 34576(种)安排方案.3.(2010全国高考卷理科6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( )(A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种【命题立意】
5、本题考查了排列、组合的知识.【思路点拨】运用先选后排解决,先从 3 个信封中选取一个放入标号为 1,2 的 2 张卡片,然后剩余的 2 个信封分别放入 2 张卡片.【规范解答】选 B.标号为 1,2 的卡片放法有 A13种,其他卡片放法有 24C种,所以共有A1324C=18(种).【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.4.(2010全国卷理科6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )(A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种【命题立意】本题主要考查考生能否利
6、用所学的加法原理、乘法原理以及排列、组合知识灵活地处理有关计数问题,能否结合具体问题确定恰当的分类标准,突出考查分类讨论的数学思想.【思路点拨】解决本题可以采用直接法进行分类,也可采用间接法利用对立事件解决. 事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修 A 和全部选修 B”.【规范解答】选 A.方法一:可分以下 2 种情况:A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 1234C种不同的选法;A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 234C种不同的选法.所以不同的选法共有 +2134830C(种).方法二: 事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修 A
7、和全部选修 B”,两类课程中各至少选一门的种数为 33740C(种).【方法技巧】排列与组合的应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主考虑,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. - 3 -(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数. 前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接(剔除)解法.5.(2010四川高考文科9)由 1,2,3,4,5 组成没有重复数字且 1,2 都不与 5 相邻的 5 位数的个数是( )(A)36 (B)32 (C)28 (D)24【
8、命题立意】本题主要考查有限制条件的排列、组合问题,考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】先排 5,再排 1,2.分两类:5 在两端,1,2 有三个位置可选择;5 不在两端,1,2 有两个位置可选择.【规范解答】选 A.如果 5 在两端,则 1,2 有三个位置可选,排法为 234A(种) ; 如果 5 不在两端,则 1,2 只有两个位置可选, 排法有 231A(种) ,共计 24+12=36(种).【方法技巧】优先考虑特殊元素.复杂问题,分类求解.6.(2010湖北高考理科8)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工
9、作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )(A)152 (B)126 (C)90 (D)54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理,考查排列、组合知识的应用,考查考生的运算求解能力【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作知,司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类:司机只安排 1 人;司机安排 2 人,然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规范解答】选 B.当司机只安排 1 人时,有 1234CA=108(种);当司机安排 2 人时有 23CA=18(种).由
10、分类计数原理知不同安排方案的种数是 108+18=126(种).【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加,因此属于不同元素的分组问题,解题时往往采用“先分堆,再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制,则甲、乙二人各有 3 种选择,丙、丁、戊各有 4 种选择,因此共有 34576(种)安排方案.7.(2010重庆高考文科0)某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班,每天安排 2 人,每人值班 1 天.若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同的安排方法共有( )- 4 -(A)30 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)
11、48 种【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理,考查排列、组合的知识及其综合应用,考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先考虑特殊元素甲、乙,再安排其他员工.【规范解答】选 C.(1)若甲、乙安排在同一天值班,则只能在 15 日值班,其余四人的值班安排方法有246C(种).(2)若甲、乙不在同一天值班,则甲只能在 15 日或 16 日值班,若甲在 16 日值班,则有 14(种) ;若甲在 15 日值班,则乙只能在 14 日值班,共有 1243C(种) ,所以共有 (种).【方法技巧】本题用到分类讨论的方法,按照特殊元素和特殊位置进行讨论.8.(2010四川高考理科10)由 1,2,3,4
12、,5,6 组成没有重复数字且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( )(A)72 (B)96 (C)108 (D)144【命题立意】本题主要考查了有限制条件的排列、组合问题,考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】要得到偶数,第一步考虑,个位数字的选取,有 3 种选法;第二步考虑 1,3 相邻的问题,分两类:一类是 1,3 相邻,且都不与 5 相邻,另一类 1,3,5 均不相邻.【规范解答】选 C.第一步: 由于是组成一个 6 位的偶数,那么尾数就应该是在 2,4,6 中选,有 种方法.第二步:又因为 1,3 不与 5 相邻,将其分为两类:先将剩下的 2 个偶数排好有
13、2A13C种排法,1 和 3 捆绑,再与 5 插空有 2A种插法,共有 223A种排法;先将剩下的 2 个偶数排好有 2A种排法,把 1,3,5 插空,有 3种插法,共有 2种排法,故符合题意的所有偶数有 2332108C(个).【方法技巧】相邻问题,捆绑排列;不相邻问题,插空排列;复杂问题,分类讨论.9.(2010重庆高考理科9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有( )(A)504 种 (B)960 种 (C)1 008
14、 种 (D)1 108 种 【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理,考查排列、组合的知识及其综合应用,考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先安排甲、乙,再考虑丙、丁,最后 安排其他员工.- 5 -【规范解答】选 C.(1)若甲、乙安排在开始两天,则丁有 4 种选择,共有安排方案 2149AC(种).(2)若甲、乙安排在最后两天,则丙有 4 种选择,共有 219AC(种).(3)若甲、乙安排在中间 5 天,选择两天有 4 种可能,若丙安排在 10 月 7 日,丁有 4 种安排法,共有 2134(种) ;若丙安排在中间 5 天的其他 3 天,则丁有 3 种安排法,共有 213(种) ,所以
15、共有19242108008(种).【方法技巧】本题用到分类讨论的方法,按照特殊元素(甲、乙在一起,丙丁不在某位置)进行讨论;用到分类枚举法.例如,丙不在 10 月 1 日,则考虑在 10 月 7 日和 10 月 2 日至 10 月 6 日中三天的情形.10.(2010重庆高考文科) 4()x的展开式中 2x的系数为( )(A)4 (B)6 (C)10 (D)20【命题立意】本题考查二项式定理的基础知识,考查二项展开式的通项公式的应用,考查运算求解的能力,考查方程的思想.【思路点拨】根据二项展开式的通项公式求解或杨辉三角求解,还可以利用多项式的乘法公式将其展开.【规范解答】选 B.方法一: 41rrTCx,令 2r,则 ,所以 246C.方法二:杨辉三角中有一行的系数 1 4 6 4 1,即为 4()x的展开式的系数,故 x2的系数为 6.方法三: 422222(1)()()(1)xx436.【方法技巧】 (1)公式法.(2)杨辉三角、数表法.(3)应用多项式的乘法公式计算.11.(