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1、第 1 页 共 3 页第五节:矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义 1 设 在 A 中任取 k 行 k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式,称为 A 的一个 k 阶子式。例如 共有 个二阶子式,有 个三阶子式矩阵 A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式。显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。2. 矩阵的秩定义 2 设 有 r 阶子式不为 0,任何 r+1 阶子式(如果存在的话)全为 0 , 称 r 为矩阵 A 的秩,记作 R(A)或秩(A )。 规定: 零矩阵的秩为 0 .注意:(1) 如 R ( A ) = r,则 A 中至
2、少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数,是唯一的 .(2) 有行列式的性质,(3) R(A) m, R(A) n, 0 R(A ) min m , n .(4) 如果 Ann , 且 则 R ( A ) = n .反之,如 R ( A ) = n ,则因此,方阵 A 可逆的充分必要 条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。 例 1 设 为阶梯形矩阵,求 R(B)。解 由于 存在一个二阶子式不为 0,而任何三阶子式全为 0,则 R(B) = 2.结论:阶梯形矩阵的秩= 台阶数。例如一般地,
3、行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数” 非零行的行数。nmijaA),(k10145643218243C43C102D1056323nmnkmcnija ,rD.T, 0.072431B20013A012B10C25340D1235807ER3RRE第 2 页 共 3 页例 2 设 如果 求 a .解 或例 3则 2、用初等变换法求矩阵的秩定理 2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即 则注: 只改变子行列式的符号。是 A 中对应子式的 k 倍。是行列式运算的性质。求矩阵 A 的秩方法:1)利用初等行变换化矩阵 A 为阶梯形矩阵 B2)数阶梯形矩阵 B 非零行的行数即为矩阵 A 的秩。例 4 求解R(A
4、) = 2 aA1,3AR3R0)1(221a2KA13R33(1)1AKB)(Rjir.ikj3216340A.R 12r 21040214第 3 页 共 3 页例 5三、满秩矩阵定义 3 A 为 n 阶方阵时,称 A 是满秩阵, (非奇异矩阵)称 A 是降秩阵, (奇异矩阵)可见:对于满秩方阵 A 施行初等行变换可以化为单位阵 E, 又根据初等阵的作用:每对 A 施行一次初等行变换,相当于用一个对应的初等阵左乘 A, 由此得到下面的定理.定理 3 设 A 是满秩方阵,则存在初等方阵使得对于满秩矩阵 A,它的行最简形是 n 阶单位阵 E .例如A 为满秩方阵。关于矩阵的秩的一些重要结论:定理
5、 5 R(AB) R(A), R(AB) R(B), 即 R(AB) minR(A),R(B )设 A 是 矩阵,B 是 矩阵,性质 1性质 2 如果 A B = 0 则性质 3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。性质 4 设 A,B 均为 矩阵,则例 8 设 A 为 n 阶矩阵,证明 R(A+E)+R(A-E)n证: (A+E)+(E-A ) =2E R(A+E)+ R( E-A ) R (2E)=n而 R( E-A )=R ( A-E ) R(A+E)+ R(A-E )n,2,6321, 求)(且设 ARA5 45803101504321,2)(R10,R0.,21sP APs121,ARn213A3043201E10nmtn.)().(