近世代数期末试卷7

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1、近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆（一）填空题1.剩余类加群 Z12有_4_个生成元.2、设群 G 的元 a 的阶是 n，则 ak 的阶是_.3. 6 阶循环群有_2_个子群.4、设群 中元素 的阶为 ，如果 ，那么 与 存在整除menmn关系为mn。5. 模 8 的剩余类环 Z8 的子环有_4_个.6.整数环 Z 的理想有_无穷多个_个. 7、n 次对称群 Sn 的阶是n!。8、9-置换 分解为互不相交的循环之积是。72816934595219.剩余类环 Z6 的子环 S=0,2,4，则 S 的单位元是_.10. 中的所有可逆元是：241、5、7、11、13、17、19、23_.

2、11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个_变换群_同构。12. 设 为循环群，那么（1）若 的阶为无限，则 同构于()GaaG_整数加群_， （2）若 的阶为 n，则 同构于_单位aG根群_。13. 在整数环 中， =_； Z2314、n 次对称群 Sn 的阶是 _.15. 设 为群 的子群，则 是群 的子群的充分必要条件12,AG21AG为_。16、除环的理想共有_2_个。17. 剩余类环 Z5 的零因子个数等于_0_.18、在整数环 Z 中，由2，3生成的理想是_.19. 剩余类环 Z7 的可逆元有_6_个.20、设 Z11 是整数模 11 的剩余类环，则 Z11 的特征是_11_.21

3、. 整环 I=所有复数 a+bi(a,b 是整数)，则 I 的单位是_.22. 剩余类环 Zn 是域 n 是_素数_.23、设 Z7 =0，1，2，3，4，5，6是整数模 7 的剩余类环，在Z7 x中, (5x-4)(3x+2)=_.24. 设 为群， ，若 ，则 _3_。Ga128a25、设群 G=e ，a 1，a 2，a n-1 ，运算为乘法，e 为 G 的单位元，则 a1n =_e_.26. 设 A=a,b,c，则 A 到 A 的一一映射共有_6_个.27、整数环 Z 的商域是_.28. 整数加群 Z 有_2_个生成元.29、若 是一个有单位元的交换环， 是 的一个理想，那么RIR是一个

4、域当且仅当 是 。II30. 已知 为 上的元素，则123455S_。31. 每一个有限群都与一个 _置换群1_群同构。32、设 I 是唯一分解环，则 Ix与唯一分解环的关系是。二、基本概念的理解与掌握。（二）选择题1.设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 AB 中含有（ ）个元素。A.2 B.5 C.7 D.102.设 ABR(实数集)，如果 A 到 B 的映射：xx 2， xR ，则 是从 A 到 B 的（ ）A.满射而非单射 B.单射而非满射C.一一映射 D.既非单射也非满射3.设 Z15 是以 15 为模的剩余类加群，那么，Z 15

5、的子群共有（ ）个。A.2 B.4C.6 D.84、G 是 12 阶的有限群，H 是 G 的子群，则 H 的阶可能是( ) A 5； B 6； C 7； D 9.5、下面的集合与运算构成群的是 ( )A 0，1，运算为普通的乘法；B 0，1，运算为普通的加法;C -1，1，运算为普通的乘法； D -1，1，运算为普通的加法;6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( )A 左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立;C 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元;7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( )A 在环的同态满射下，理想的象是理想;B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想;C 除环只

6、有两个理想，即零理想和单位理想D 环的最大理想就是该环本身.8.整数环 Z 中，可逆元的个数是( )。A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.无限个9. 设 M2(R)= a,b,c,dR ，R 为实数域 按矩阵的加法和dcba 乘法构成 R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环10. 设 Z 是整数集，(a)= ， ，则 是 R为 奇 数 时当 为 偶 数 时当 a,21Za的( ).A. 满射变换 B. 单射变换 C. 一一变换 D. 不是 R 的变换11、设 A=所有实数 x，A 的代数

7、运算是普通乘法，则以下映射作成 A 到 A 的一个子集 的同态满射的是 ( ).A、x10x B、x2xC、x|x| D、x-x .12、设 是正整数集 上的二元运算，其中 （即取Zmax,b与 中的最大者） ，那么 在 中（ ）abZA、不适合交换律 B、不适合结合律C、存在单位元 D、每个元都有逆元 .13.设 =（1） ， （1 2） ， （1 3） ， （2 3） ， （1 2 3） ， （1 3 2），则3S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )A、1 B、2 C、3 D、4.14、设 为群，其中 G 是实数集，而乘法 ，,G :abk这里 为 中固定的常数。那么群 中的单位

8、元 和元 的kG,Gex逆元分别是（ ）A、0 和 ； B、1 和 0； C、 和 ； D、 和xk2xk(2)xk15、设 是有限群 的子群，且 有左陪集分类 。HG,Habc如果 6,那么 的阶 （ ）A、6 B、24 C、10 D、1216.整数环 Z 中，可逆元的个数是( ).A、1 个 B、2 个 C、4 个 D、无限个。17、设 是环同态满射， ，那么下列错误的结论12:fR()fab为（ ）A、若 是零元，则 是零元 abB、若 是单位元，则 是单位元C、若 不是零因子，则 不是零因子 abD、若 是不交换的，则 不交换2R1R18、下列正确的命题是（ ）A、欧氏环一定是唯一分解

9、环 B、主理想环必是欧氏环C、唯一分解环必是主理想环 D、唯一分解环必是欧氏环19. 下列法则，哪个是集 A 的代数运算( ).A. A=N, a b=a+b-2 B. A=Z,a b= baC. A=Q, a b= D. A=R, a b=a+b+abb20. 设 A=所有非零实数 x,A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成 A 到 A 的一个子集 的同态满射的是( ).AA. x-x B. x 1C. x D. x5x121. 在 3 次对称群 S3 中，阶为 3 的元有 ( ).A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个22剩余类环 Z6 的子环有( ).A. 3 个 B.

10、 4 个 C. 5 个 D. 6 个23、设 和 都是群 中的元素且 ，那么cba,xGxacbcax,12（ ）xA. ； B. ； C. ； 1c 1c 1bcD. 。ab124、设 是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ 21:Gf）A. 的同态核是 的不变子群;f1B. 的不变子群的象是 的不变子群。1G2GC. 的子群的象是 的子群；D. 的不变子群的逆象是 的不变子群；2G1G25、设 是群 的子群，且 有左陪集分类 。如果HcHba,6，那么 的阶 （ ）A.6； B.24； C.10； D.12。（三）判断题（每小题 2 分，共 12 分）1、设 、 、 都是非空集合，则 到

11、 的每个映射都ABDBAD叫作二元运算。 （ ）2、除环中的每一个元都有逆元。 （ ） （非零元）3、如果循环群 中生成元 的阶是无限的，则 与整数aGaG加群同构。 （ T ）4、如果群 的子群 是循环群，那么 也是循环群。 （ ）H5、域是交换的除环。 （ T ）6、唯一分解环 的两个元 和 不一定会有最大公因子。 （ Iab）7、设 f： 是群 到群 的同态满射，a ，则 a 与 f GG(a)的阶相同。 （ ）8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。 （ F ）9、循环群的子群也是循环群。 （ T ）10、整环 I 中的两个元素 a，b 满足 a 整除 b 且 b 整除 a，则 a

12、b。 （ ）11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。 （ F ）12、只要 是 到 的一一映射，那么必有唯一的逆映射fA。 （ T ）1f13、如果环 的阶 ，那么 的单位元 。 （ ）R2R1014、指数为 2 的子群不是不变子群。 （ F ）15、在整数环 中，只有1 才是单位，因此在整数环 中Z Z两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。 （ ）16、两个单位 和 的乘积 也是一个单位。 （ ）17、环 中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。 （ K）18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。 （ ）19、整环必是唯一分解环。 （ ）

13、20、在唯一分解环 中， 是 中的素元当且仅当 是 中KppK的不可约元。 （ ）21、设 是唯一分解环，则 中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。 （ ）22、整数环 和环 都是主理想环。 （ ）ZQx23、 是主理想环当且仅当 是唯一分解环。 （ ）KK24、整数环 、数域 上的一元多项式环 和 Gauss 整环PPx都是欧氏环。 （ ）Zi25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。（ ）26、欧氏环 主理想环 唯一分解环 有单位元的整环。 （ ）27、设环 的加法群是循环群,那么环 R 必是交换环. R（ T ）28、对于环 R,若 是 的左零因子,则 必同时是 的右零因aa子. （ F ）29、剩余类 是无零因子环的充分必要条件是 为素数. mZ m（ T ）30、整数环是无零因子环，但它不是除环。