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1、 近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G 的子集（ ）是子群。A、 B、 C、 D、e,3,ae3,ae2、下面的代数系统（G，*）中， （ ）不是群 A、G 为整数集合，*为加法 B、G 为偶数集合，*为加法 C、G 为有理数集合，*为加法 D、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+
2、2b D、a*b=|a-b|4、设 、 、 是三个置换，其中 =（12） （23） （13） ， =（24） （14） ，12312=（1324） ，则 =（ ）3A、 B、 C、 D、12122215、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ ） 。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、 是交换群二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群 中的元素 的阶等于 50，则 的阶等于-。Ga4a4、a 的阶若是一个有限整数 n，那么
3、 G 与-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AB=-。6、若映射 既是单射又是满射，则称 为-。7、 叫做域 的一个代数元，如果存在 的- 使得FFna,10。010naa8、 是代数系统 的元素，对任何 均成立 ，则称 为-a)0,(AAxxaa-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、-。G10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是-。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A=1,2,3G 是 A 上的置换群，H 是 G 的子群，H=I,(1 2)，写出 H的所有陪集。
4、2、设 E 是所有偶数做成的集合， “ ”是数的乘法，则“ ”是 E 中的运算， （E， ）是一个代数系统，问（E， ）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和 p, q。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若是群，则对于任意的 a、bG，必有惟一的 xG 使得 a*xb。2、设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系：ab 当且仅当mab。近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其
5、代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是（ ） 。A、2 阶B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设 G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定 G 是交换群。A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ） 。A、偶数 B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）A、 （N, ） B、 （Z, ） C、 （2,3,4,6,12,|（整除关系） ） D、 (P(A), )5、设 S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在 S3 中可以与(123)
6、交换的所有元素有（ ）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3 中的所有元素二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果 是 与 间的一一映射， 是 的一个元，则 -fAaAaf1。3、区间1，2上的运算 的单位元是-。,minb4、可换群 G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。5、环 Z8的零因子有 -。6、一个子群 H 的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环
7、 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的-。9、设群 中元素 的阶为 ，如果 ，那么 与 存在整除关系为-Gameanmn-。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是 A 的子环，则 S1S 2也是子环。S 1+S2也是子环吗？3、设有置换 ， 。)45(36)45(3S1求 和 ；12确定置换 和 的奇偶性。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M 为含幺半群，
8、证明 b=a-1的充分必要条件是 aba=a 和 ab2a=e。近世代数模拟试题一 参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、 ；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、1,0,21,0,变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积：)8(247653( )6(5748)123(可知 为奇置换， 为偶置换。 和 可以写成如下对换的乘积：)(1)( )()(2、解：设 A 是任意方阵，
9、令 ， ，则 B 是对称矩阵，(21AB21AC而 C 是反对称矩阵，且 。若令有 ，这里 和 分别为对称1B1C矩阵和反对称矩阵，则 ，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称1矩阵，于是两边必须都等于 0，即： ， ，所以，表示法唯一。11C3、答：（ ， ）不是群，因为 中有两个不同的单位元素 0 和 m。mMmM四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G 中任意元 x，y，由于 ，所以 （对每exy2)( yxxy11)(个 x，从 可得 ） 。e212、证明在 F 里)0,(1bRaba有意义，作 F 的子集)0,(bRaQ所
10、有显然是 R 的一个商域 证毕。Q近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：H 的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 )H 的 3 个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2
11、 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：（E， ）不是群，因为（E， ）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设 e 是群的幺元。令 xa1*b，则 a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b 是 a
12、*xb 的解。若 xG 也是 a*xb 的解，则 xe*x (a1*a)*x a1*(a*x )a1*bx。所以，xa1*b 是 a*xb 的惟一解。2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合 记Z为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为 ，a称之为模 m 剩余类。若 mab 也记为 ab(m)。当 m=2 时，Z2 仅含 2 个元：0与1。近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
13、1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、 ；3、2；4、24；5、 ；6、相等；7、商群；8、特a征；9、 ；nm三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共 8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意 a,bS1S2 有 a-b, abS1S2：因为 S1，S2
14、是 A 的子环，故 a-b, abS1 和 a-b, abS2 ，因而 a-b, abS1S2 ，所以 S1S2 是子环。S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 ， ；)56(1243)16524(2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定 是 R 的一个理想而 不是零理想，那么 a ，由理想的0定义 ，因而 R 的任意元ab这就是说 =R，证毕。2、证 必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，所以 b=a-1。
