《矩阵及其运算 (3)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵及其运算 (3)（100页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 8 章矩阵及其运算,8.1矩阵的概念8.2矩阵的运算8.3可逆矩阵8.4矩阵的初等变换8.5矩阵的秩,8.1 矩 阵 的 概 念 8.1.1 矩阵的定义例8.1.1 设有线性方程组,未知量前面的系数及常数项构成一个矩形表， 即,例8.1.2 某企业生产4种产品， 各种产品的季度产值（万元）见表8.1.1.,定义8.1.1 由mn个数aij(i=1, 2, , m; j=1, 2, , n)按一定次序排列成的m行n列的矩形数表,称为m行n列矩阵， 或mn矩阵， 简称矩阵. 这mn个数aij称为矩阵A的元素， 简称为元. 数aij位于矩阵A的第i行第j列， 称为矩阵A的(i, j)元.,定义8
2、.1.2 两个矩阵的行数相等, 列数也相等时, 则称它们是同型矩阵.定义8.1.3 如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵, 并且它们的对应元素相等, 即aij=bij(i=1, 2, , m; j=1, 2, , n), 则称矩阵A与矩阵B相等, 记做A=B.,8.1.2 几种特殊矩阵1. 行矩阵和列矩阵当m=1时, A=(a11, a12, , a1n)称做行矩阵(在第9章中也称做行向量).当n=1时,2. 零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记做0. 注意不同型的零矩阵是不同的. 如,是不同的零矩阵.,3. 方阵m=n的矩阵称为方阵(又称n阶方阵), 记做A.4. 三角矩阵如果n阶
3、方阵A=(aij)中的元素满足条件aij=0 (ij; i, j=1, 2, , n)即A的主对角线以下的元素都为零, 则称A为上三角矩阵.类似地, 当ij时, aij=0, 称为下三角矩阵.,如,分别为n阶上三角矩阵和n阶下三角矩阵.,5. 对角矩阵 主对角线以外的所有元素都为0的方阵,称为对角矩阵.,6. 单位矩阵主对角线上的元素都为1的对角矩阵称为n阶单位矩阵, 记做En或E.,7. 对称矩阵设A为n阶方阵, 如果满足aij=aji (i, j=1, 2, , n)则称A为对称矩阵.对称矩阵的特点是: 它的元素以主对角线为对称轴对应相等.例如,均为对称矩阵.,8. 反对称矩阵设A为n阶方
4、阵, 如果满足aij=aji (i, j=1, 2, , n)则称A为反对称矩阵. 显然反对称矩阵的主对角线上的元素都是零.例如,都为反对称矩阵.,例8.1.3 四个城市间单向航线如图8.1.1所示.若令,则图8.1.1可用矩阵表示为,图8.1.1,8.2 矩 阵 的 运 算 8.2.1 矩阵的加法与减法定义8.2.1 设有两个mn矩阵A=(aij)和B=(bij), 那么矩阵A与B的和记做A+B, 并规定,由定义, 不难证明矩阵加法满足下列运算规律(设A、 B、 C、 0都是mn矩阵): (1) 交换律： A+B=B+A；(2) 结合律： (A+B)+C=A+(B+C)；(3) A+0 =A
5、；(4) A+(A)=0.,例8.2.1 设,解,8.2.2 数与矩阵相乘定义8.2.2 设矩阵A=(aij)mn, 为任意实数, 则数与矩阵A的乘积(aij)记做A或A, 并规定,例8.2.2 已知,求A2B.,解,例8.2.3 已知,且A+2X=B, 求X.,解,=,8.2.3 矩阵的乘法设有两个线性运算, 即由变量x1、x2、x3到变量y1、y2的一个线性运算, 以及由变量t1、 t2到变量x1、x2、 x3的一个线性运算, 分别为,(8.2.1),(8.2.2),若想求出从t1、 t2到y1、 y2的线性变换, 可将式(8.2.2)代入式(8.2.1), 便得,(8.2.3),我们把线
6、性变换(8.2.3)叫做线性运算式(8.2.1)与式(8.2.2)的乘积, 相应地把式(8.2.3)所对应的矩阵定义为式(8.2.1)与式(8.2.2)所对应的矩阵的乘积, 即,定义8.2.3 设有矩阵A=(aij)ml和B=(bij)ln， 则矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积, 记做C=AB, 其中C=(cij)mn满足,(i=1, 2, , m; j=1, 2, , n)(8.2.4),由定义8.2.3不难发现: (1) 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数和第二个矩阵(右矩阵)的行数相等时, 两矩阵才能相乘; (2) C中第i行第j列的元素cij等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积的
7、和;,(3) 一个行矩阵与一个列矩阵的乘积为一个数, 例如,则,(4) EmAmn=AmnEn=Amn, 其中E为单位矩阵, 这说明单位矩阵和矩阵的乘法运算中的作用与数“1”在数的乘法中的作用类似.,例8.2.4 设,求AB.,解,例8.2.5 求矩阵,的乘积AB与BA.,解 由定义, 可得,定义8.2.4 设A是n阶方阵, k为正整数, 则称Ak=AA A为A的k次幂. 规定A0=E, 由于矩阵乘法适合结合律, 但不满足交换律, 因此有(1) AkAl=Ak+l; (2) (Ak)l=Akl;(3) 通常情况下, (AB)kAkBk.,8.2.4 矩阵的转置定义8.2.5 已知mn矩阵A=(
8、aij)mn, 将A的行列依次互换, 得到一个nm矩阵, 称为矩阵A的转置矩阵, 记做AT或A, 即,例8.2.6 已知,求（AB)T.,解 解法一: 因为,所以,解法二:,例8.2.7 设A与B是两个n阶反对称矩阵, 证明: 当且仅当AB=BA时, AB是反对称矩阵.证 因为A与B是反对称矩阵, 所以AAT, B=BT若AB=BA, 则 (AB)T=BTAT=BA=AB所以AB是反对称矩阵.,反之, 若AB是反对称矩阵, 即 (AB)T=AB则 AB=(AB)T=BTAT=(B)(A)=BA 证毕.,8.2.5 方阵的行列式 定义8.2.6 由n阶方阵A的元素所构成的n阶行列式(各元素的位置
9、不变), 称为方阵A的行列式, 记做|A|或detA, 即,(8.2.5),8.3 可逆矩阵 定义8.3.1 设A为n阶方阵, 如果存在一个n阶方阵B， 使AB=BA=E则称矩阵A是可逆的， 并称矩阵B为A的逆矩阵（或逆阵）.,例8.3.1 设,验证B是否为A的逆矩阵.,解 因为,即有AB=BA=E， 所以B是A的逆矩阵.,例8.3.2 设,判断A是否可逆， 如果A可逆， 求A1.,解 设,， 且,从而,定义8.3.2 若n阶方阵A的行列式|A|0, 则称A是非奇异矩阵（或非退化矩阵）， 否则称A为奇异矩阵（或退化矩阵）. 如果A可逆， 则存在B使得AB=BA=E， 则|A|B|=1， 所以|
10、A|0， 即A是非奇异矩阵. 那么， 如果A是非奇异矩阵， 即|A|0， A是否可逆呢？为了研究这个问题， 我们先引进伴随矩阵的概念.,定义8.3.3 设n阶方阵A=(aij)mn， 行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵,（8.3.1）,称为矩阵A的伴随矩阵 ， 记做A*.,证 由性质7.2.6及推论7.2.4可得,即,即,（8.3.2）,（8.3.3）,定理8.3.1 n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A0, 即A是非奇异矩阵, 且当A可逆时,(8.3.4),推论8.3.1 设A、 B都是n阶方阵, 若AB=E(或BA=E), 则A、 B都是可逆矩阵, 且A1=B, B1=
11、A.,例8.3.5 如果,其中ai0(i=1, 2, , n). 验证,证 因为,所以,例8.3.6 判断矩阵,是否可逆, 若可逆, 求其逆矩阵A1.,解 求得,所以A可逆. 又因为,得,所以,由例8.3.6可以看出， 对于三阶以上的矩阵， 用伴随矩阵法求其逆矩阵的计算量已经很大了， 所以有必要研究求逆矩阵的其他方法（我们将在8.4节进行介绍）.,8.4 矩阵的初等变换 定义8.4.1 设矩阵A=(aij)mn, 下面三种对矩阵A的变换:(1) 交换A的i, j行(列), 记做(); (2) 用一个非零常数k乘以A的第i行(列), 记做kri(kci); (3) 将A的第j行(列)的k倍加到第
12、i行(列), k为任意常数, 记做ri+krj(ci+kcj), 称为矩阵的初等行(列)变换. 一般地, 矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称为矩阵的初等变换.,定义8.4.2 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 则称矩阵A与B等价, 记为AB(或AB).矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性: AA; (2) 对称性: 若AB, 则BA; (3) 传递性: 若AB, BC, 则AC.,例8.4.1 已知矩阵,对其进行初等变换.,解,定义8.4.3 一般地, 称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵: (1) 矩阵的零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方; (2) 各非零行的首非零
13、元素(从左至右的第一个不为零的元素)均在上一非零行的首元素的右侧.,对例8.4.1中的矩阵,再做初等行变换:,称这种特殊形状的阶梯形矩阵C为行最简形矩阵.,定义8.4.4 一般地, 称满足下列条件的矩阵为行最简形矩阵: (1) 各非零行的首非零元都是1; (2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零. 如果对上述矩阵,再施以初等列变换, 则可以将矩阵C简化成下面的矩阵:,矩阵D的左上角是一个单位矩阵, 其他元素为零, 称为标准形.,定义8.4.5 对单位矩阵E实施一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵. 对应于三种初等变换, 可以得到以下三种初等矩阵. (1) 交换n阶单位矩阵E的第i, j行,
14、得到的初等矩阵记做E(i, j), 即,(8.4.1),(2) 用数k(k0)乘以E的第i行, 得到的初等矩阵记做E(i(k), 即,(8.4.2),显然, 把单位矩阵E的第i列乘以数k(k0), 得到的初等矩阵仍是E(i(k).,(3) 把E的第j行的k倍加到第i行, 得到的初等矩阵记做E(i, j(k), 即,(8.4.3),显然, 把E的第i列的k倍加到第j列, 得到的初等矩阵仍是E(i, j(k).,定理8.4.1 设A=(aij)mn, 则(1) 对A实施一次初等行变换, 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;(2) 对A实施一次初等列变换, 相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.证明略.,例8.4.2 设有矩阵,而,
