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1、二次不等式解法之巨大价值内蒙古包头市包钢一中高艳芬2二次不等式解法之巨大价值内蒙古包头市包钢一中 高艳芬【摘要】高中数学课程中二次不等式只给出了简单的解法，其实含参数的二次不等式解法中，分类讨论的思想在高三后期的函数导数大题中频繁使用，本文从一般意义的含参数的二次不等式谈起，深化到函数导数大题中的应用,说明二次不等式解法之巨大价值.【关键词】二次不等式 解法 分类讨论思想 价值新课程标准下，只在人教 A 版数学必修 5 第三章中浅显的谈到二次不式的具体解法，实际在高考中考察的难度远远大于此，现以几类常见的含参数的一元二次不等式及解法的巨大价值叙述如下：众所周知含参数的一元二次不等式，主要考查分
2、类讨论的思想，而分类讨论思想是高中数学主要思想之一，成为历年考查的重点，分类讨论思想的难点是确定讨论的依据，而二次含参数的讨论几乎是最难的一种，学生很难确定讨论的依据，其实， “矛盾出现之际，就是分类讨论之时” ， 对于二次不等式， 先看二次项系数，若二次项系数为常数，可考虑分解因式，若不易分解因式，就对 进行讨V论，分类时要注意不重不漏；若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解的形式，然后对方程的根进行讨论，比较大小，最后写出解集。对于二次不等式归纳如下：首先根据二次项系数进行讨论；其3次根据根的存在性，讨论 ；最后根据需要按根的大小进行
3、讨论。V例 1：解关于 的不等式 。x240xa2 22 1,2)=a160,(4,) 43=a160,4,xRx aaxxx V当当当 或 时 ， 或例 2：解关于 的不等式 230m解： 20,xR(3)1(1),320, xmm例 1 中先看二次项系数为常数，可考虑分解因式，显然不易分解因式，就对 进行讨论，分类时要注意不重不漏。例 2 二次项系V数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解的形式，然后对方程的根进行讨论，比较大小，最后写出解集。就这两个具体的含参数的二次不等式的解法，可以用到一道函数导数的大题上例 3.已知函数 在点 处的切线方程
4、为2()lnfxabx(1,)f10.xy（1）求 的表达式；（2）若 ()f满足 ()fg恒成立，则称 ()fxg是 的一个“上界函数”4，如果函数 )(xf为 xtgln（ t为实数）的一个“上界函数”，求 t的取值范围；（3）当 时，讨论 在区间（0 ，2）上极0m21()mFfx值点的个数解： 【分析】 （1）待定系数；（2）即不等式的恒成立问题；（3）讨论函数导数的零点分布。（1）当 x时， 0y，代入 2()lnfxabx得 0，所以afln)(，x，由切线方程知 0)1(f，所以 1a，故 xfln)(（2） ()fg恒成立，即 xxtln恒成立，因为 0，所以xtln，令 h)
5、(， )1(ln2)xh，当1,0ex时， 0)(，所以 )(h在 ),0e为减函数；当 ),(时， )(xh，所以 )(x在 ),1为增函数；)(xh的最小值为 e21，故 et2（3）由已知21()xmFxf， mxF1)(2xm1)(，又 0，由 0)(F得， mx1，121）当 时，得 ， 0)(xF， )(x在（0，2）为增函数，5无极值点；2）当 210m且1时，得 2m且 1， )(xF有 2 个极值点；3）当 210m或 210时，得 210m或 时， )(xF有 1个极值点；综上，当 1时，函数 )(xF在（0，2）无极值点；当 20或2m时， )(xF有 1 个极值点；当 21m且 1时， )(xF有 2 个极值点本题是在高三后期的一次模拟考试中发现的，尤其是在第三问的处理中，对求导的式子进行化简后，分子显然是关于 的二次函x数型，就是利用了分类讨论的思想获得最后的解决，而这个问题在高考中，几乎成为每个同学的绊脚石，所以有必要从开始就对含参数的二次不等式的解法灌输到位，由此可见含参数的二次不等式的解法价值之巨大，望引起广大师生的广泛注意。【参考文献】数学必修 5新人教 A 版，人民教育出版社试题研究2012 年第五期.名师一号2012 年高三.
