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1、光学信息技术原理及应用,光波的数学描述,(六),衍射：按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离” 光的标量衍射理论的条件 （1）衍射孔径比波长大很多， （2）观察点离衍射孔不太靠近； 经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式,一 什么是标量衍射理论？,作为空间和时间函数的电场或磁场分量 ，在任一空间无源点上满足标量波动方程 式中 是拉普拉斯算符，电磁场在介质中传播速度 而 、 为介质的介电系数和磁导率。 满足该方程的基本
2、解的线性组合都是方程的解。球面波和平面波都是波动方程的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。,标量波动方程,取最简单的简谐振动作为波动方程的特解，单色光场中某点在时刻的光振动可表示成 用复指数函数表示光振动是方便的，上式变成 将花括号内的由空间位置确定的部分合在一起定义成一个物理量 称为单色光场中点的复振幅，它包含了点光振动的振幅和初位相，仅仅是位置坐标的复值函数，与时间无关 光强可用复振幅表示成,光振动的复振幅定义,在仅涉及满足叠加原理的线性运算（加、减、积分和微分等）时，可用复指数函数替代表示光振动的余弦函数形式。在运算的任何一个阶段对复指数函数
3、取实部，与直接用余弦函数进行运算在同一个阶段得到的结果是相同的 故可将复振幅波动方程化简为 其中 称为波数，表示单位长度上产生的相位变化，定义为 化简后的波动方程称为亥姆霍兹方程，是不含时间的偏微分方程。在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足这个不含时间的波动方程。这也就意味着，可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场,亥姆霍兹方程,从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的波面，称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点光源的集合,它所发出的光波就是球面波的叠加 这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。 球面波的等位相面是一组同心球面，每个点上
4、的振幅与该点到球心的距离成反比 当直角坐标的原点与球面波中心重合时，单色发散球面波在光场中任何一点产生的复振幅可写作 为离开点光源单位距离处的振幅 对于会聚球面波球面波方程指数上加负号,球面波的复振幅表示,球面波在平面上的等位相线,当点光源或会聚点位于空间任意一点时，有 考察与其相距 的平面 上的光场分布。 可写为 如果 利用二项式展开，并略去高阶项，得到 将近似式代入发散球面波表达式，得到在平面上平面波复振幅分布为,球面波在平面上的复振幅分布,发散球面波在平面上产生的复振幅分布的位相因子中包括两项 常量位相因子 与传播距离有关 随平面坐标变化的第二项称作球面波的（二次）位相因子，当平面上复振
5、幅分布的表达式中包含有下述因子，就可以认为距离该平面处有一个点光源发出的球面波经过这个平面。 位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族,球面波的位相因子和等位相线,平面波在 面上的等位相线,在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的光波称为平面波 如波矢量 表示光波的传播方向，其大小为 ，方向余弦为 ，则平面波传播到空间某点的复振幅的一般表达式为 其中 为常量振幅。由于方向余弦满足 于是复振幅可写为 其中,平面波的复振幅表示,和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分 与坐标 有关的 是表征平面波特点的线性位相因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有这种
6、因子，就可以认为有一个方向余弦为 的平面波经过这个平面 平面波等位相线方程为 因此，等位相线是一些平行直线。 前面图中用虚线表示出相位值相差 的一组波面与平面 的交线，即等位相线；它们是一组平行等距的斜直线,平面波的位相因子和等位相线,， ， 方向上平面波的空间频率分别定义为 从而平面波的复振幅的一般表达式变为 空间频率的倒数即为振荡周期（X，Y，Z） 空间频率表示在 、 、 轴上单位距离内的复振幅周期变化的次数。这就是平面波空间频率的物理意义 空间频率与平面波的传播方向有关，波矢量与轴的夹角越大，则在轴上的投影就越大，也就是在该方向上的空间频率就越小，空间频率的最大值是波长的倒数,平面波的空
7、间频率,传播矢量 位于 平面的平面波在 平面上的空间频率 。,空间频率的物理意义,时间倒数：频率；长度倒数：空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数（单位：周/mm，线对/mm，L/mm，等 ） 信息光学中有两种空间频率，一种是空间强度分布，单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等，对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的空间频率； 另一种是平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数/mm ）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。,空间频率的两种意义,
