《实变函数与泛函分析基础(第三版)--------第四章_复习指导》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数与泛函分析基础(第三版)--------第四章_复习指导（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章专门讨论一类重要的函数可测函数。它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数，学习本章时应注意以下几点。一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容。可测函数的定义及给出的一些充要条件（如定理4.2.1等）是判断函数可测的有力工具，应该牢固熟练地掌握和应用它们。可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的。可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越和方便之处。二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一。几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两
2、种收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系。通过这个定理，可以把不一致收敛的函数列部分的“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。勒贝格定理（定理4.3.2）告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。然而，黎斯定理（定理4.3.3）指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。三、可测函数的构造是本章的又一重要内容。一般常见的函数，如连续函数，单调函数等都是可测函数。然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的（如迪里克雷函数）。所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多。而鲁金定理指出了
3、可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论从而带来很大的方便。四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。如定理4.2.6证明中的构造方法是富有启发性的，读者应深入体会，叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法；鲁金定理证明中先考虑简单函数，然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的。 复习题一、判断题1、设是定义在可测集上的实函数，如果对任意实数，都有为可测集，则为上的可测函数。（ ）2、设是定义在可测集上的实函数，如果对某个实数，有不是可测集，则不是上的可测函数。（ ）3、设是定义在可测集上的实函数，则
4、为上的可测函数等价于对某个实数， 为可测集。（ ）4、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数， 为可测集。（ ）5、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数， 为可测集。（ ）6、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数和（）， 为可测集。（ ）7、设是零测集，是上的实函数，则为上的可测函数。（ ）8、若可测集上的可测函数列在上几乎处处收敛于可测函数，则在上“基本上”一致收敛于。（ ）9、设为可测集上几乎处处有限的可测函数，则在上“基本上”连续。（ ）10、设为可测集，若上的可测函数列（），则的任何子列都在上几乎处处收敛于可测函数。
5、（ ）11、设为可测集，若上的可测函数列于，则（）。（ ）二、填空题1、 等于 ， 等于 。2、 包含于 ， 包含于 ； 等于 ， 等于 。3、设，则 等于 。4、设，则 等于 。5、由于区间上的单调函数的不连续点所成的集为 至多可数 集，则为上的 几乎处处 连续函数，从而为上的 可测 函数。6、叙述可测函数的四则运算性 可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测 。7、叙述可测函数与简单函数的关系 简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限 。8、叙述可测函数与连续函数的关系 连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数 。
6、9、叙述叶果洛夫定理 设E是测度有限的可测集，则E上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛 。10、叙述鲁津定理 设E是可测集，则E上的可测函数“基本上”是连续函数 。11、若，（），则 等于 几乎处处于 。三、证明题1、证明：上的连续函数必为可测函数。证明：设是上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数，是开集，从而是可测集。所以，是上的可测函数。2、证明：上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设是上的单调递增函数，对任意实数，记，由单调函数的特点得，当时，显然是可测集；当时，也显然是可测集。故是上的可测函数。3、证明：若，（），则于。证明：由于，而，所以，由，（）得，。所以，从而，
7、即于。4、证明：若，（），则（）。证明：对任意，由于，所以，由可得，和至少有一个成立。从而，所以，。又由，（）得，。所以，即（）。5、若（），则（）。证明：因为，所以，对任意，有，。又由（）得，。所以，即（）。6. 证明当既是上又是上的非负可测函数，也是上的非负可测函数.证：由题设，对任意常数 与都是与上的可测集. 于是可测集的并集：也为可测集，从而为上的可测函数. 证毕.7. 证明如果是上的连续函数,则在上的任何可测子集E上都可测.证:由于对任意常数,仍为开集,证明如下:,则. 令作球,当时,由连续性可知,即得到:,表明,从而,此即为开集,显然也是可测集(教材70页Th2)故在的任何子集上可
8、测,证毕.8.设于E，证明于E.证：对 E由题设，当，最后两个集测度都为零，故于E. 证毕9.设，及分别是上几乎处处有限的可测函数列及可测函数，如果对任意，存在的子集，使且在上一致收敛于，证明：在上几乎处处收敛于证：对任意正整数，由题设知，存在子集，使得在上一致收敛于，且从而在上有 又因，故有所以因此于10.设，证明：于 对任意子列，存在子列，使得于 证：必要性 由于 对任意子列，显然也有于，只要对应用定理可知，存在子列，使得于充分性 设若不然，于不成立，则，使得，注意到 是一个非负有界数列，所以存在子列，使得下证：中不存在任何收敛于的子列。 事实上，若有子列，使得于，因为，所以由定理知，于 ，但此与产生矛盾。从而与假设条件不符，故于证毕。7.设，是上有限的可测函数，证明：对任意，存在和，使得，且对任意，有证法1： 令 ，若对则因为且是中递减可测集列，于是这与的假设相矛盾，所以一定存在某个于是取则且对，有证法2 设，则，令，则 ，且，于是，使此时取，即有，且，有7
