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1、1集合 (1)集合的含义与表示 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题 (2)集合的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集 在具体情景中,了解全集与空集的含义 (3)集合的基本运算 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集 理解给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 能用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算,2函数 (1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念 (2)在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
2、表示函数 (3)了解简单的分段函数,并能简单应用 (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义 (5)会用函数图象理解和研究函数的性质,3指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景 (2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算 (3)理解指数函数的概念,并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点 (4)知道指数函数是一类重要的函数模型,4对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用 (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊
3、点 (3)知道对数函数是一类重要的函数模型 (4)了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0,且a1),5幂函数 (1)了解幂函数的概念 (2)结合函数yx,yx2,yx3,y ,y x 的图象,了解它们的变化情况 6函数与方程 (1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数 (2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解,7函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍
4、使用的函数模型)的广泛应用,第一节 集 合,1集合与元素 (1)集合中元素的特性: 、 、 ,(2)集合与元素的关系,确定性,互异性,无序性,(3)常见集合的符号表示 (4)集合的表示法: 、 、 ,N,N*或N,Z,Q,R,列举法,描述法,Venn图法,(1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素,这是集合的最基本特征没有确定性就不能成为集合,例如“很小的数”“个子较高的同学”都不能构成集合 (2)在同一个集合里,通常不考虑元素之间的顺序,如集合a,b,c与集合b,c,a是相同集合 (3)集合中任何两个元素都是不同对象,即在同一集合里不能重复出现相同元素如方程(x1)2(x2)0的解集不
5、能写成1,1,2,而应写成1,2,2集合间的基本关系,AB且BA,AB或BA,AB或BA,非空集合,(1)子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一定是其子集,而集合A的子集不一定是其真子集;若集合A有n个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n1. (2)全集是一个相对概念,一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集,它是我们为研究集合间的关系而临时选定的一个集合,3集合的基本运算,AB,AB,UA,x|xA,或xB,UAx|xU,且xA,x|xA,且xB,(1)对于交集概念的把握要注意以下三个方面: 交集仍是一个集合; 交集中的元素都是两个集合的“公共元素”,即若xAB,一定有xA且xB;
6、 交集中包括了两集合的全体公共元素,即若xA且xB,一定有xAB. (2)对于并集的理解应注意: 若xAB,则有三种可能: xA但xB;xB但xA;xA且xB.,(3)子集、全集、补集等概念实质上即是生活中的“部分”、“全体”、“剩余”等概念在数学中的抽象与反映,当AU时,UA的含义是:从集合U中去掉集合A的元素后,由所有剩余的元素组成的新集合集合A的元素补上UA的元素后可合成集合U. (4)补集UA与集合A的区别:两者没有相同的元素;两者的所有元素合在一起就是全集,4集合的运算性质 (1)若AB,BA,则AB;若AB,BC,则AC. (2)A,若A,则A. (3)AAA,A. (4)AAA,
7、ABBA,AA. (5)AUA,AUAU. (6)ABAAB. (7)若AB,则ABAB,ABA,ABB.,1(2009年山东卷)集合A0,2,a,B1,a2若AB0,1,2,4,16,则a的值为( ) A0 B1 C2 D4 【解析】 A0,2,a,B1,a2,AB 0,1,2,4,16, a4,故选D. 【答案】 D,2已知全集U1,2,3,4,5,集合Ax|x23x20,Bx|x2a,aA,则集合U(AB)中元素的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【解析】 由已知得A1,2,B2,4, U(AB)3,5故选B. 【答案】 B,3设全集UR,Ax|x(x3)0,Bx|yln(x1)则图
8、中阴影部分表示的集合为( ),Ax|x0 Bx|3x0 Cx|3x1 Dx|x1 【解析】 Ax|3x0,Bx|x1,阴影部分表示的集合为ABx|3x1 【答案】 C,4设集合A5,log2(a3),集合Ba,b若AB2,则AB_. 【解析】 AB2,log2(a3)2. a1.b2.A5,2,B1,2 AB1,2,5 【答案】 1,2,5,5(2009年江苏卷)已知集合Ax|log2x2,B(,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,),其中c_. 【解析】 log2x2,0x4. 又AB,a4.c4. 【答案】 4,集合的基本概念,现有三个实数的集合,既可以表示为,也可表示为a2,ab,0
9、,则a2010b2010_.,【思路点拨】 由两集合相等,得相应元素对应相等,则只有 0.,【解析】 由已知得 0及a0,所以b0,于是a21,即a1或a1,又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去,因此a1,故a2010b2010(1)20101.,集合间的基本关系,设集合Ax|xa22a4,By|yb24b7 (1)若aR,bR,试确定集合A与B的关系; (2)若aN,bR,试确定集合A与B的的关系 【解析】 (1)若aR.bR. 则x(a1)233,y(b2)233, 此时集合A、B都是大于或等于3的实数的集合, AB. (2)若aN、bR,则对于任意的x0A,有x0(a01)23,其中a
10、0N, 令b0a03,则b0N, 且(a01)23(b02)23B. 而当b02时,y03A,从而可知AB.,(1)判断两个集合之间的子集、真子集关系可以比照两实数间的关系: ABAB且AB,类比于abab且ab; ABAB或AB,类比于abab或ab; ABAB且BA,类比于abab且ab.也可以用韦恩图直观地表示上述各种关系 (2)注意集合与空集的区别与联系:,,1已知函数f(x)x2x1,集合Mx|xf(x),Ny|yf(x),则( ) AMN BMN CMN DMN,【解析】 由f(x)x2x1,xf(x)得x210,x1,M1,1,【答案】 D,集合的基本运算,若集合Ax|x22x8
11、0,Bx|xm0 (1)若m3,全集UAB,试求A(UB); (2)若AB,求实数m的取值范围; (3)若ABA,求实数m的取值范围,【解析】 (1)由x22x80,得2x4, Ax|2x4 当m3时,由xm0,得x3,Bx|x3, UABx|x4,UBx|3x4 A(UB)x|3x4 (2)Ax|2x4,Bx|xm, 又AB,m2. (3)Ax|2x4,Bx|xm, 由ABA,得AB,m4.,在进行集合运算时要注意: (1)两个结论 若ABA,则AB,反之也成立; 若ABB,则AB,反之也成立应用这两个结论时一定要注意不要忘记集合A这一个特例 (2)可以借助韦恩图或数轴来辅助理解两个集合的交
12、集与并集的特征并用来解题,2已知Ax|xa|a,Bx|x2mxn0 (1)若a2,m4,n5,求AB,AB; (2)若a0,ABx|3x1,ABR, 求a,m,n的值 【解析】 (1)由a2,知Ax|x2|2x|x4,或x0, 由m4,n5知 Bx|x24x50x|5x1 ABx|5x4,或0x1, ABx|x4,或x0,或5x1R.,(2)a0, Ax|xa|ax|x2a,或x0 又ABx|3x1,ABR, Bx|3x0,且2a1, a ,且3,0是方程x2mxn0的两根, m3,n0, 故a ,m3,n0.,大多数省市对于集合的概念主要考查基础知识和方法,包括集合的表示以及集合与集合之间的
13、关系,一般是低档题,而部分省市也力求改变题目的原有面目,创造新情景,尽可能做到灵活多样甚至是小型综合,对于集合的考察可以和不等式、线性规划、解析几何等诸多内容相联系,1(2009年江西卷)已知全集UAB中有m个元素,(UA)(UB)中有n个元素若AB非空,则AB的元素个数为( ) Amn Bmn Cnm Dmn,【解析】 (UA)(UB)中有n个元素,如右图所示阴影部分,又U=AB中有m个元素,故AB中有m-n个元素 【答案】 D,2(2009年湖北卷)已知Pa|a(1,0)m(0,1),mR,Qb|b(1,1)n(1,1),nR是两个向量集合,则PQ( ) A1,1 B(1,1) C(1,0) D(0,1) 【解析】 Pa|a(1,0)m(0,1),mR a|a(1,m),Qb|b(1n,1n),nR, 由