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1、1复方阵若当标准形的求法探讨吴琼(湖南科技学院 数学与应用数学系 湖南永州 425100)摘要：本文讨论复方阵的若当标准形及其相应的过渡矩阵求法第一种方法探讨通过初等变换求出矩阵的初等因子，然后由初等因子可以得到矩阵 的若当标准形，并求出相 应的过渡矩阵；第二种方法探讨从寻求对应若当标准形矩阵的基底出发，利用有关特征值的理论来求矩阵的若当标准形及其过渡矩阵；第三种方法通过先求矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形关键词：若当标准形;不变因子 ;初等因子;过渡矩阵; 特征值.The discussion about finding the
2、Jordan canonicalForm of a complex square matrixWu Qiong(Department of Mathematic and Computational Science, Hunan University of Science and engineering, Yong zhou , Hunan,425100)Abstract: This paper discuss using three methods to find the Jordan canonical form of a complex square matrix and the tran
3、sfer matrix concerned. The first method, initially, through elementary transformation to find the elementary divisor of the matrix, then get the matrix Jordan canonical form and find the transfer matrix concerned. The second method, starting with seeking the basis relative to Jordan form matrix, the
4、n in virtue of theory of characteristic values to work out the Jordan canonical form of a complex square matrix and the transfer matrix concerned. The third method, firstly, work out the eigenvalues of the matrix, then through deciding the Jordan blocks number of each eigenvalue and the progression
5、of each Jordan block to work out matrix Jordan canonical form.Key words: Jordan canonical form; invariant divisor; elementary divisor; transfer matrix; eigenvalue1 引言与预备知识我们知道并不是每一个 n 阶复数矩阵 A 都相似于一个对角矩阵，但是每个n 阶复数矩阵 A 都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵 A 唯一决定的，它称为 A 的若当标准形因为一个 n 阶复数矩阵 A 的若当标准形是一个下三
6、角形矩阵（或上三角形矩阵） ，且其主对角线上的元素正是矩阵 A 的特征多项式的全部的根（重根按重数计算） ，那么这个若2当形矩阵的方幂运算和行列式都是比较容易求出的这对于我们求矩阵 A 的方幂和一些有关矩阵的理论证明都有很大的帮助文 探讨了用初等因子求矩阵若当标准形的方法文 2探讨了用初等变换求矩阵若当标准形的方法，同时给出了求相应的过渡矩阵的方法文 3 探讨了用初等因子和初等变换求矩阵若当标准形的方法，同时也给出了求相应的过渡矩阵的方法文 4从寻求对应若当标准形矩阵的基底出发，利用有关特征值的理论求矩阵 A 的若当标准形及过渡矩阵 T 的方法文 5先求出矩阵的特征值，然后再确定属于每-1J=
7、TA一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形本文在大量分析现有研究成果的基础上，对复方阵若当标准形的求法进行了一些初步的探讨，归纳总结出复方阵若当标准形的几种典型的求法引理 1.11 任意一个非零的 的 矩阵 都等价于下列形式的矩阵snl-()Al2()1()0ddr lll其中 , 是首项系数为 1 的多项式，且1r(),2idrl=.这个矩阵称为 的标准形| 1iill+- ()Al定义 1.1 标准形的主对角线上非零元素 称为()()12,ddrlll的不变因子.()All-矩 阵定义 1.2 把矩阵 A 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘
8、积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵 A 的初等因子.定义 1.3 形式为 00101ll 3的矩阵称为若当块，其中 是复数，由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.定理 1.11 每个 n 级的复数矩阵 A 都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵 A 唯一决定的，它称为矩阵 A 的若当标准形.1 复方阵若当标准形的求法2.1 通过初等变换求出矩阵的初等因子，从而求出矩阵的的若当标准形定义 2.1 下面的三种变换叫做 的初等变换：矩 阵（1） 矩阵的两行（列）互换位置；（2） 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 ；c（3） 矩阵的
9、某一行（列）加另一行（列）的 倍， 是一个多项式.（ ） （ ）和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第 j 行的倍加到第 行上得 （ ） ij列 j列11(,) ijpijjl= 行行（ ）仍用 表示由单位矩阵经过第 行第 列互换位置所得的初等矩阵，用(,)pij ij表示用非零常数 c 乘单位矩阵第 行所得的初等矩阵.同样地，对一个c作一次初等行变换就相当于在 左边乘上相应的 的初sn的 -矩 阵 AAs等矩阵；对 作一次初等列变换就相当于在 的右边乘上相应的 的n初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有 11(,)(,)(),pijijpci-=.jj由此可以得到初等
10、变换具有可逆性：设 用初等变换变成 ，A（ ）矩 阵 B（ ）这相当于对 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘A就变回 ，而这个逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 可用初等变换变B（ ） B（ ）回 我们还可看出在第二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这4也是为了使 可逆的缘故()pic为了书写方便，我们采用以下的记号：代表 行（列）互换位置；ij， ij，代表用非零的常数 去乘 行（列） ；（ c） ci代表把 行（列）的 倍加到 行（列） ijj（ ） i引理 2.1.11 设 ()()()12210fgAffBfll lll l=如果多项式 都与 互素，则 和 等价()12f
11、ll， ()1gll， ()ABl定理 2.1.11 首先用初等变换化特征矩阵 为对角形式，然后把主对E角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是 的全部初等因子证明 设把 用初等变换化为对角形，EA()()12hDhnlll l（ ） =其中每个 的最高次项系数都为 1将 分解成互不相同的一次因式方ihi幂的乘积：()()()12iiirkkillll=- ()12,.ni=我们现在要证明的是，对于每个相同的一次因式的方幂 ,njjjlll- (),jr在 的主对角线上按递升幂次排列后，得到的新矩阵 与 等价此时()D D（ ）就是
12、 的标准形而且所有不为 1 的 就是 A 的全部初等因（ ） EAijk子方便起见，先对 的方幂进行讨论令1l-()()3212ri nkkii igllll-= （ ） =， ， ， ， ，于是 1iihg-=， 2， ， n，（ ） ，5而且每个 都与 互素如果有相邻的一对指数()1ikl-jg（ ） =， 2， ， n，则在 将 与 对调位置，而其余因式保持不1,ik(D1ik1ik，动根据引理 2.1.1，与11,iigkg （ ） 0（ ），,11iikk （ ）0（ ）等价从而 与对角矩阵()D11,1 11() ii nkgkgkgkg （ ） （ ） （ ） （ ）等价然后对
13、作如上的讨论如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元1()D素所含 的方幂是按递升幂次排列为止依次对 作同样处理， 2,r最后便得到与 等价的对角矩阵 ，它的主对角线上所含每个相同的一次()()D因式的方幂，都是按递升幂次排列的由定理 2.1.1 我们得到用初等变换化矩阵 的特征矩阵为标准形的方法，A具体步骤如下：第 1 步：用初等变换求出 的标准形 ，同时求出相应的可逆EB，使得：矩 阵 U（ ） 和 V（ ） 1.U1（ ） V（ ） =第 2 步：由 知 的不变因子，由此得出 的初等因子，再由初等因子()BAA写出 的若当标准形 AJ第 3 步：用初等变换将 化成标准形 (因 ，所以EBA
14、J:等价，因而它们有相同的标准形)，同时求出可逆E与 矩 阵，使得: 2U（ ） 和 （ ）V2.UJ2（ ） V（ ） =6第 4 步: 令 21U- -12（ ） =（ ） （ ） ,V()=()则 ：(1) EA（ ） V（ ） -J.第 5 步:求 和数字矩阵 ，使得：矩 阵 Q、 R0U（ ） 和 V（ ）(2)0J（ ） =，(3)VEV（ ） .定理 2.1.22 设 是一个 阶复矩阵，则以上方法求得的 就是所要确定An0V的过渡矩阵，即若令 则0,T1.TAJ可 逆 且证明 由(1)式和 (3)式得:0(),UEJVER-1（ ） =-所以 ().AV-（ ）令 ,TA（ ）
15、则(4)0.EV-J因 是数字矩阵，比较(4)的两边即可知: 必是数字矩阵0VT又 UUA-1T=R所以 ()EV-1+EJ()()0 ,QT-Jlllll所以 0 1.又因 均为数字矩阵，所以上式右边第二项必为 0，故EU和，从而 代入(4) 式得: 0T， 1010UEAVJ-，所以 ()(),AVAV-J=lll-所以 00E且 ，所以 1.， 且U-因此 ，若令 01,TVJAT则 ， 证 毕=7注 从以上步骤可以看出，在具体求 时，只需要求出 、 、T()1Vl2l和 即可而 、 、 和 可以不必计算()Vl0l()1Ul2l()l0Ul例 2.1.1 设 ，30865A=-求 的若当标准形 ，并求出相应的可逆矩阵 ，使得JT1.AJ-=解 第一步，求
