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1、2019/1/26,1,第 4 章数据的概括性度量,第1 节 集中趋势的测度 第2节 离散程度的测度 第3 节 偏态与峰态的测度,2019/1/26,2,一、教学目的与要求 掌握集中趋势各测度值的计算方法； 掌握集中趋势各测度值的特点及应用场合； 掌握离散程度各测度值的计算方法； 掌握离散程度各测度值的特点及应用场合； 了解偏态与峰态的测度方法 会用Excel计算描述统计量并进行分析 二、教学重点与难点 1、教学重点：集中趋势各测度值的的特点及计算方法；离散程度各测度值的的特点及计算方法。 2、教学难点：各测度值的的特点及计算。,2019/1/26,3,三、教学过程与内容,利用图表显示数据，可
2、以对数据分布特征和规律有一个大概的了解，但要全面把握数据的特征和规律，还需要找出反映数据分布特征的代表值。 一般来说，数据分布的特征可以从三个方面进行测度和描述。,2019/1/26,4,数据分布的特征,集中趋势：反映各数据向其中心靠拢和聚集的程度,离散程度：反映各数据远离中心的趋势,2019/1/26,5,分布形状：反映数据分布的偏态和峰态,2019/1/26,6,数据分布特征的测度,2019/1/26,7,第1 节 集中趋势的度量,一. 分类数据：众数 二. 顺序数据：中位数和分位数 三. 数值型数据：均值 四. 众数、中位数和均值的比较,2019/1/26,8,集中趋势(Central
3、tendency),集中趋势:一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度.测度趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值。 注意：不同类型的数据用不同的集中趋势测度值；低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据。,2019/1/26,9,一、众数,众数：出现次数最多的变量值。它不受极端值的影响。一般用M0 表示 注意：一组数据可能没有众数或有几个众数； 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据。,2019/1/26,10,原始数据: 10 5 9 12 6 8,原始数据: 6 5 9 8 5 5,原始数据: 25 28 28 36 42 42,例4.1,无
4、众数,一个众数,多于一个众数,2019/1/26,11,解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值。 在所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo可口可乐,例4.2,2019/1/26,12,解：这里变量为“回答类别”，该数据为顺序数据。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意,例4.3,2019/1/26,13,二、中位数和分位数,（一）中位数(median) 1、中位数定义 中位数：排序后处于中间位置上的值。一般用Me表示。,注意：它不受
5、极端值的影响.主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据。各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,2019/1/26,14,设一组数据为：,其中n为数据个数,2、中位数位置的确定,按从小到大排列为：,2019/1/26,15,3、中位数数值计算公式,数值的确定,2019/1/26,16,例4.4求下述问题的中位数 （顺序数据的 例题分析）,解：中位数的位置为: 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。 因此: Me=一般,2019/1/26,17,例4.5求下列数值型数据的中位数 (9个数据的算例),1）9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080
6、850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,Me 1080,2019/1/26,18,2）10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,2019/1/26,19,（二）四分位数(quartile),1、四分位数定义 四分位数：排序后处于25%和75%位置上的值。它不受极端值的影响。,注意：主要用于顺序数据，也可用于数值型数据
7、，但不能用于分类数据。,2019/1/26,20,2、四分位数位置的确定,注:见 P90,2019/1/26,21,3）例题分析 顺序数据的四分位数,解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3300)/4 =225 从累计频数看， QL在“不满意”这一组别中； QU在“一般”这一组别中。因此 QL = 不满意 QU = 一般,2019/1/26,22,数值型数据的四分位数,9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000
8、 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,2019/1/26,23,即QL在第2个数值（780）和第3个数值（850）之间0.25的位置上，所以：,因为QU在第6个数值（1250）和第7个数值(1500)之间0.75的位置上，所以：,2019/1/26,24,【例4.7】：10个家庭的人均月收入数据,排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,2019/1/26,25,三、数值型数据：均值（mean),均值：是集中趋势的最常用测度值，它是一组数据的均衡点所在。 注意：均值体现了数据
9、的必然性特征； 易受极端值的影响； 用于数值型数据，不能用于分类数据 和顺序数据。,2019/1/26,26,（一）简单均值与加权均值 (simple mean / weighted mean),设一组数据为： x1 ，x2 ， ，xn 各组的组中值为：M1 ，M2 ， ，Mk 相应的频数为： f1 ， f2 ， ， fk,简单均值：,加权均值：,2019/1/26,27,例题分析 例4.8,2019/1/26,28,例4.9,甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下： 甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100 乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100,人数分布（f ）：1
10、 1 8,人数分布（f ）：8 1 1,权数对均值的影响,2019/1/26,29,注意：均值的数学性质,1. 各变量值与均值的离差之和等于零,2. 各变量值与均值的离差平方和最小,2019/1/26,30,（二）调和平均数(harmonic mean),调和平均数：是均值的另一种表现形式。它易受极端值的影响。 计算公式为：,2019/1/26,31,例题分析：调和平均数,【例4.10】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如下表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格.,解:由公式,2019/1/26,32,（三）几何平均数(geometric mean),几何平均数：n 个变量值乘积的 n 次方根。它
11、适用于对比率数据的平均。主要用于计算平均增长率. 计算公式为：,注：可看作是均值的一种变形：,2019/1/26,33,例题分析,【例4.11】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率。,年平均增长率114.91%-1=14.91%,2019/1/26,34,【例4.12】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,算术平均：,几
12、何平均：,2019/1/26,35,四 、众数、中位数和均值的比较,1）众数、中位数和均值的关系,2019/1/26,36,2）众数、中位数和均值的特点和应用,众数： 不受极端值影响； 具有不唯一性； 数据分布偏斜程度较大时应用。 中位数： 不受极端值影响； 数据分布偏斜程度较大时应用。 均值： 易受极端值影响； 数学性质优良； 数据对称分布或接近对称分布时应用。,2019/1/26,37,数据类型与集中趋势测度值,2019/1/26,38,第2 节 离散程度的测度,分类数据：异众比率 顺序数据：四分位差 数值型数据：方差及标准差 相对位置的测量：标准分数 相对离散程度：离散系数,2019/1
13、/26,39,离中趋势,数据分布的另一个重要特征; 反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）; 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表性 （即代表程度）; 不同类型的数据有不同的离散程度测度值。,2019/1/26,40,一、异众比率(variation ratio),异众比率：是对分类数据离散程度的测度。即非众数组的频数占总频数的比率。主要用于分类数据的测度。 计算公式为：,注意： 用于衡量众数的代表性,2019/1/26,41,例4.13,在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,2019/1
14、/26,42,二、四分位差(quartile deviation),四分位差：是对顺序数据离散程度的测度。又称为内距或四分间距，即上四分位数与下四分位数之差。主要用于顺序数据的测度。 QD = QU QL 它反映了中间50%数据的离散程度。 注意：它不受极端值的影响，主要用于衡 量中位数的代表性,2019/1/26,43,例4.14,解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 已知 QL = 不满意 = 2 QU = 一般 = 3 四分位差： QD = QU - QL = 3 2 = 1,2019/1/26,44,三、方差和标准差,方差和标准差主要用于数值型数据
15、的测度 （一）极差(range)：一组数据的最大值与最小值之差。 它是离散程度的最简单测度值； 易受极端值影响； 未考虑数据的分布。,R = max(xi) - min(xi),算公式为：,2019/1/26,45,（二）平均差(mean deviation),平均差：各变量值与其均值离差绝对值的平均数。 它能全面反映一组数据的离散程度；但数学性质较差，实际中应用较少。,计算公式为：,未分组数据：,组距分组数据：,2019/1/26,46,例4.15,解：,即每一天的销售量与平均数相比， 平均相差17台,2019/1/26,47,说明:,平均差以平均数为中心，反映了每个数据与平均数的平均差异程度，它能全面准确反映一组数据的离散状况。 平均差越大，说明离散程度越大，反之，说明离散程度越小。 为了避免离差之和等于零，而无法计算平均差这一问题，平均差在计算时取了绝对值，以离差的绝对值来表示总离差，但这给计算带来了不便。,2019/1/26,48,（三）方差和标准差 (variance and standard deviation),1、基本概念 方差：各变量值与均值离差平方的平均数； 标准差：方差的平方根即为标准差。 注意：方差和标准差是数据离散程度的最常用测度值； 它反映了各变量值与均值的平均差异； 根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差
