《高等代数专题研究期末练习》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数专题研究期末练习(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、高等代数专题研究期末练习模拟练习之一 一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1. 令Q是正有理数集,若规定,则( ) (A) 是代数运算且满足结合律 (B) 是代数运算,但不满足结合律 (C) 不是Q上的代数运算 (D) (A),(B),(C)都不对2. 域F有无穷多个元素,域F上的多项式,则( ) (A) f(x)在域F上至少有一个根 (B) f(x)在域F上最多有n个根 (C) f(x)在域F上没有根 (D) f(x)在域F上恰有n个根3. 虚数是有理数域上的( )(A) 代数元 (B) 超越元 (C) 可逆元 (D) 既约元4.若Dn表示n个数码的扰乱排列总数,则Dn( ) (A)
2、Dn1+Dn2 (B) nDn1 (C) (n1)(Dn1+Dn2) (D) n (Dn1+Dn2)5. 整系数多项式的有理数根,(p,q)=1,则( ) (A) pan,qan (B) pa0,qa0 (C) pan,qa0 (D) pa0,qan二、填空题(每小题3分,本题共15分)6. 自然数a与b的加法定义所满足的两个条件是 7. 函数f(x)是上凸函数的定义为 8. 整环R中的元素p是R中的不可约元素,则pq,p不是可逆元,由p=ab 9. 由5个元素取7个的可重复组合数是 10.整数环Z上的多项式为本原多项式,则 (an,an1,a1,a0) 三、简述题(每小题7分,共14分)11
3、. 试给出一个从整数集Z到自然数集N的的单映射,但不是满映射12. 试给出一个从整数集Z到自然数集N的的双射三、计算题(每小题10,本题共40分)13. 设x,y,z是正实数,且xyz=10,求2x+3y+4z的极小值14. 求(x+y+z)6展开合并同类项后共有多少项,并指出项x2y3z的系数15. 求从1到2 000的自然数中能被5或7或11整除的自然数个数16. 从n个数码1,2,n中取k()个数码,但不允许取两个连续数码(如1,2不能连续取),求共有多少种取法四、证明题(每小题10分,本题共20分)17. 设Z,证明集合R对于普通数的加法和乘法构成一个整环18. 利用反归纳法证明:n个
4、正数的算术平均值大于等于这n个正数的几何平均值,即R) 模拟练习之二一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1. 整环中元素c是不可约元素,则( ) (A) cq,c可逆元素 (B) cq,c可逆元素,cabca或cb (C) cq,c可逆元素,caba可逆或b可逆 (D) c=q且c是可逆元素2. 函数f(x)=n+1是整数集合Z到自然数集合N的( ) (A) 单映射 (B) 满映射 (C) 双射 (D) 恒等映射3. p是有理数域上的( )(A) 超越元 (B) 代数元 (C) 可逆元 (D) 不可约元4. 设q1,q2,q3是区间0,p上的三个数,则( ) (A) (B) (C) (D
5、) 5. 设d(x)是f(x)和f (x)的公因式,则( ) (A) d(x)是f(x)的二重因式 (B) d(x)是f(x)单因式 (C) d(x)是f(x)的三重因式 (D) d(x)是f(x)k重因式二、填空题(每小题3分,本题共15分)6. 自然数加法定义为 7. 若d是a和b的最大公因式,则d应满足的两个条件为 8. 掷两颗骰子一共有多少种不同情况 9. n个数码1,2,,n的扰乱排列总数是 10. 反归纳定理为 三、简述题(每小题7分,共14分)11. 空集合的幂集是空集合码?应该是什么?12. 在模12的剩余类环Z12中哪些元素是可逆元素三、计算题(每小题10,本题共40分)13
6、. 求在剩余类环Z12中的根14. 求(x+y+zt)10展开合并同类项后共有多少项,并指出项x5y2z3的系数15. 上11个台阶,如果每次只能走一阶或二阶,问有多少种不同走法16. 设Z,求出R中所有可逆元素和不可约元素四、证明题(每小题10分,本题共20分)17. 证明在整环R中任意两个元素都有最大公因式且对R中的三个元素a,b,c,若(a,b)1,(a,c)1,则(a,bc)118. 如果域F含有无限个元素,求证Fx上两个多项式f(x)和g(x)相等,从代数的观点和函数的观点是一致的模拟练习之一解答一、单项选择题1. B2. B3. A4. C5.C二、填空题6. a+1=a;a+b=
7、(a+b)7. q1+q2=1,q10,q20,f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2)8. a为可逆元或b为可逆元9. 10. 1三、简述题11. 如 (nN),(不惟一) 12. 如 (nN),(不惟一)四、计算题13. 因为x,y,z0,所以 所以2x+3y+4z的极小值是 14. 共有;x2y3z系数为 15. 设A能被5整除的自然数,B能被7整除的自然数 C能被11整除的自然数则,所以,400285181572736575116. 用f(n,k)该数,f(n,k)=f(n1,k)+f(n2,k1),f(n,k)=参考原教材P152:定理5.1五、证明题17. 易知 R对
8、于数的加法和乘法封闭,在R中有零元,即存在负元素,满足结合律,且对满足分配律存在,,总之,R是整环18. 当n=2,4,8,2m时命题正确设命题对n=k时正确,即则,所以 ,即 因而 ,所以命题对一切自然数成立模拟练习之二解答一、单项选择题1. C2. B3. A4. C5.D二、填空题6. a+1=a;a+b=(a+b)7. da,db,a,b的公因式d 8. 21种 9. 10. 无限个自然数满足定理;k成立k1成立三、简述题11. 不是应为P()= 12. 在Z12中是可逆元素四、计算题13. 是方程的根 14. 共有;x5y2z3系数为 15. 对台阶作归纳当n=0时,f(0)=1;当
9、n=1时,f(1)=1;当n=2时,f(2)=2=f(1)+f(0),当n=3时,f(3)=3=f(2)+f(1);一般地,f(n)=f(f1)f(n2)f(4)=5;f(5)=8;f(6)=13;f(7)=21;f(8)=34;f(9)=55;f(10)=89;f(11)=144走完11个台阶可以有144种不同走法16. R中的可逆元素是;R中的不可约元素为,p为不等于2的素数五、证明题17. 由于(a,b)1(ac,bc)c所以,有1(a,c)(a,(ac,bc)(a,,ac),bc)1(a(1,c),bc)(a,bc)18. 设,0,从函数的观点,f(x)g(x)有无数个根,但f(x)g(x)最多有n个根,所以所以,从代数上f(x)=g(x),即ai=bi(i=0,1,2,n)所以,它们一致.