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1、第三章 功和能3-1 汽车在平直路面上行驶，若车与地面间的摩擦力恒定，而空气阻力与速度的平方成正比设对于一辆质量为1500kg的汽车总的阻力（其中F以N为单位，v以m/s为单位），求当车速为60 km/h，加速度为1.0m/s2时，汽车引擎所损耗的瞬时功率分析 作用力的瞬时功率等于该力与物体获得的速度的乘积解 当汽车的加速度为a时，引擎牵引力为F1，应用牛顿第二定律，运动方程为则 根据瞬时功率的定义，汽车引擎所损耗的瞬时功率为3-2 如习题1-7所述，若海岸高h = 10 m，而猛烈的大风使船受到与绳的牵引方向相反的恒定的作用力F = 5000 N，如图3-2所示当岸上的水手将缆绳由50 m
2、收到30 m后，求缆绳中张力的改变量，以及在此过程中水手所作的功 F h 图3-2 分析 水手拉缆绳的过程中，是通过缆绳将力作用在船上实现船体运动作的功由于缆绳中的张力是变力，直接计算它的功比较困难根据动能定理，合外力的功等于物体动能的增量，船在此过程中开始前和结束后都保持静止，船只在水平方向发生位移，水平方向只受缆绳张力水平分量和恒定阻力F作用，则水手通过缆绳张力所作的功的量值应等于恒力F所作的负功解 缆绳长度由l1=50 m 收到l2=30 m的过程中，位移为s，水手作的功为设此过程中开始前缆绳张力为FT1、结束后为FT2，它们的水平方向分量都应与恒力F等大而反向，因此有 则 F 0 x0
3、 x2 x图3-33-3 质点沿x轴运动，由x1 = 0处移动到x2 = 4 m的过程中，受到力的作用，其中x0 = 2 m，F0 = 8 N，作出Fx曲线，求在此期间力F对质点所作的功分析 当质点沿x轴作直线运动时，如果外力是质点位置坐标x的函数，质点从位置x1运动到x2的过程中，根据功的定义，该力所作的功为，即为Fx图像中x1到x2区间曲线与x轴线包围面积的代数和解 根据题意，Fx曲线如图3-3所示按照功的定义，有由图3-3可见，x1到x2区间曲线与x轴线包围面积的代数和为零，与上面的计算结果一致3-4 在x轴线上运动的物体速度为v = 4 t 2 + 6（其中v以m/s为单位，t以s为单
4、位），作用力（其中F以N为单位，t以s为单位）沿x轴正向试求在t1 = 1 s和t2 = 5 s期间，力F对物体所作的功分析 当质点沿x轴作直线运动时，如果外力是时间t的函数，根据功的定义，无法直接积分计算，通常可利用微分关系式，将积分变量转换为时间t进行计算积分变量代换后，积分的上下限也要作相应的代换解 根据功的定义3-5 在光滑的水平桌面上固定有如图3-5(a)所示的半圆形屏障，质量为m的滑块以初速v0沿屏障一端的切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为，（1）证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功为；（2）说明上述结果为什么与圆弧半径无关 Ff v0 v FN （a） （b
5、）图3-5分析 当外力无法表示成位移的函数时，功就不能直接由定义式积分进行计算如果能确定物体初末状态的速度，可以应用动能定理，求出物体动能的增量就等于合外力对物体所作的功证 （1）首先应计算出滑块从屏障另一端滑出时的速度设滑块在屏障中位于如图3-5(b)所示的位置，在竖直方向无运动，在水平面内受到屏障压力FN和摩擦力Ff作用，此时速度为v，设屏障半径为R，应用牛顿第二定律所得运动方程为法向：切向：由于FfFN，得 利用关系式，上式可写为 (1)由初末条件：当时，；当时，将上式分离变量并积分： (2)得滑块从屏障另一端滑出时的速度为 (3)则摩擦力在此期间所作的功为（2）由（1）和（2）式可以看
6、出，当滑块发生角位移时，速度的变化只与角位移有关，与半径无关，因此（3）式给出的末速度也只与半圆的张角有关，这就导致最终结果与圆弧半径无关了3-6 一个质点在指向中心的平方反比力的作用下，作半径为r的圆周运动，求质点运动的速率和总机械能（提示：选取距力心无穷远点的势能为零）分析 与物体间距离平方成反比的力是自然界中普遍存在的一种力，例如万有引力和电荷间的库仑力如果该力指向中心，计算势能时，从空间任意一点到势能零点（无穷远点）积分的路径方向与力的作用方向相反，积分表达式的矢量乘积变为标量乘积后要取负号解 质点只在指向中心的力的作用下作圆周运动，当速率为v时，法向加速度为，则质点的法向运动方程为得
7、 选取距力心无穷远为势能零点，则势能为总机械能为3-7 在力的作用下，质点在xy平面内运动，(1)分别计算质点由原点O经路径OBA和路径OA移动到达A点该力所作的功，其中AB是以O为圆心R为半径的一段圆弧，如图3-7（a）所示；(2)计算沿任意路径由位置P(x1 , y1)到Q(x2 , y2)该力所作的功，并由此证明该力是保守力分析 y y A L F R ds F P r1 r dr Q r2 O OB x x （a） （b）图3-7 解 （1）根据功的定义，经路径OBA该力所作的功为由于力，即沿原点指向质点所在位置的方向，所以有从图3-7（a）可以看出，在路径OB上，力的方向与位移方向相
8、同；在路径BA上，力的方向与位移方向垂直，因此可得同理，经路径OA该力所作的功为（2）P点的径矢大小为r1，Q点的径矢大小为r2，则，取任意路径L如图3-7（b）所示，则结果表明，沿任意路径力F所作的功与路径无关，只与P点和Q点的位置有关，表明力F为保守力3-8 沿x轴运动的某粒子的势能是其位置x的函数据此所作的势能曲线如图3-8所示(1)试求粒子势能最小值所对应的运动的平衡位置；(2)当粒子的总能量时，粒子将被约束在一定范围内振动，求粒子往返运动的转折位置分析 是粒子物理、固体物理和材料科学中描述粒子间相互作用经常出现的势能函数，对它的研究和讨论有十分重要的实际意义这里仅就最简单的情况，即进
9、行分析，获得粒子运动状态的初步印象图3-8 当粒子的能量比较小时，将在平衡位置附近作简谐振动，因此平衡位置和往返运动的转折位置就有重要意义解 （1）由可得势能函数最小值的位置，即解得 （2）在往返运动的转折点处，粒子的速度为零，即动能为零，总能量应等于粒子的势能，即可得 解得 F FN Ff R mg 图3-9 3-9 马拉雪橇上坡，从坡底到坡顶是一段半径为R弧长为的圆弧形山坡假设马的拉力始终沿圆弧的切线方向，雪橇的质量为m，雪橇与雪地间的滑动摩擦系数为，求在这段路程中马所作的功分析 在物体运动过程中，有摩擦力等非保守力存在时，应用功能原理计算外力的功比较便捷，外力和非保守内力的功等于物体系机
10、械能的增量解 以雪橇为研究对象，受力情况如图3-9所示，如果始末时刻雪橇为静止状态，在上坡过程中，马的拉力的功和摩擦阻力的负功之和等于雪橇重力势能的增量由于此过程雪橇高度的增加为，因此重力势能的增量为当雪橇所在位置的法线方向与竖直方向夹角为时，摩擦力，位移，应用功能原理，马的拉力的功为3-10 用的初速度将一质量为的物体竖直上抛，所达到的高度是，求空气对它的平均阻力分析 物体所受到的空气阻力是外力，重力是物体和地球组成的系统的内力，根据功能原理，空气阻力所作的功应等于系统机械能的增量应在选取了势能零点后，确定系统的初末状态的机械能，计算出系统机械能的增量解 取物体抛出点为重力势能零点，则物体初
11、始机械能为，达最高点时机械能为，设空气对它的平均阻力为F，应用功能原理得则3-11 质量分别为m1、m2的二物体与劲度系数为k的弹簧连接成如图3-11（a）所示的系统，物体m1放置在光滑桌面上，忽略绳与滑轮的质量及摩擦当物体达到平衡后，将m2往下拉h距离后放手，求物体m1、m2运动的最大速率分析 应用机械能守恒定律解力学问题时，系统的选取十分重要选定系统后，要区分内力和外力、保守力和非保守力以及作功的力和不作功的力仅当外力和非保守内力所作的功均为零时，才能应用机械能守恒定律本题中m1、m2二物体连接在一起，位移大小、速率和加速度的大小都相同忽略绳与滑轮的质量及摩擦的情况下，张力FT和FT为一对内力，大小相等，方向分别与物体运动方向相同和相反，因此系统运动过程中二力的功之和为零 k m1 FN F FT FT m2 m1g m2g x（a） （b）图3-11解 以弹簧与二物体组成的弹性系统以及物体与地球组成的重力系统为研究对象，二物体受力情况如图3-11（b）所示在系统运动过程中，因张力FT和FT所作功之和为零，只有作用在m2上的重力及作用在m1上的弹簧弹性力作功，系统机械能守恒取竖直向下为x轴正向，系统平衡时m2的位置为坐标原点，设此时弹簧的伸长量为l0，根据胡克定律，弹簧的弹性力大小为由于系统处于平衡状态，应有
