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1、评述韦达定理的价值1559 年，法国数学家韦达提出一个关一元 n 次方程根与系数关系的定理：设方程 a0xn+a1xn-1+a2xn-2+an-1x+an=0 的 n 个根为想 x1，x 2，x n，那么x1+x2+xn= 01ax1x2+x1x3+x1xn+xn-1xn= 02ax1x2xn=（ 1） n 0a后人称为韦达定理。韦达(Viete,Francois)是法国十六世纪最有影响的数学家之一。1540 年出生于法国普瓦捷,1603 年 12 月 13 日卒于法国巴黎。他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这种关系称之为韦达定理(Vietes Theorem)。一元二次
2、方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，它既是一个难点，也是一个重点，起到了一个灵魂的作用。其知识脉络贯穿于中学数学的始终。韦达定理在方程论中有着广泛的应用，它是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它可进一步研究跟的性质，也可以将一些表面上看上去不是与原二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用非常广泛。它不仅可以解答方程的问题同样也可以解答几何中的问题。韦达定理解答了多方面的问题，涉及的面很广泛，充分发挥了它在数学领域中的价值。下面我们就来看一下他的具体应用。1. 用韦达定理来解决方程或方程组的问题，可以起到化繁为简、化难为易的作用，
3、从而使这些问题得到顺利的解决。例 1 解决方程 。3104x解 因为 ，而 ，所以由韦达定理知， 和4x 14x 4x是一元二次方程 t2- t+1=0 的两个根。由于这个方程的两个根为 t1=3,t2=x310,所以，可得31或 314x341x因为 与 等价，而 与 等价，所以，我们只需解1314x34x与 即可。分别解这两个方程，得 x1=5，x 2=-5。经检验知，x 1=534x34x和 x2=-5 是原方程的解。例 2 解方程组 6512yx解 将原方程组变形为6)1(5yx有韦达定理知， 和 是方程 t2-5t+6=0 的两个根,而该方程的两个根是 t1=3, yx1t2=2,因
4、此，可得 ， ，或 ， 。3x1yx3x对于 ， ，由韦达定理知，x 和 是方程 u2-3u+2=0 的两个根，1yx2而该方程没有实数解，故方程组 ，没有实数解。321yx经检验知， ， 是原方程组的解。21yx2y摘自里用韦达定理解方程（组） 王瑞琦2.韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数间的关系，应用十分广泛，我们在学习中英领悟定理的本质意义，由浅入深地掌握运用此定理惊醒阶梯的三个层次。（1）根据题目条件，直接用定理若问题要求一元二次方程中字母系数的值，或求与一元二次方程的根有关的代数式的值，或就做符合条件的一元二次方程等，可直接运用韦达定理。例 已知方程 2x2+kx+6=0 的一个根
5、是 2，求方程的另一根及 k 的值。解析 设方程的另一个根为 x1,由韦达定理： , .261x31 又 ，23k7（2）注意前提条件，准确运用定理韦达定理运用的前提条件是一元二次方程有实数根，即0 解题时必须注意这一前提条件，以免造成错解。例 已知关于 x 的方程 x2-2(m-1)x+m2-3=0 的两实根为 x1、x2，且（x1+x2） 2-(x1+x2)-12=0,求 m 的值。解析 由（x 1+x2） 2-(x1+x2)-12=0 得 x1+x2=4 或 x1+x2=-3，有根据韦达定理知 x1+x2=2(m-1)当 2(m-1)-4 时，解得 m=3当 2(m-1)=-3 时，解得
6、 m=- 2把 m=3 代入原方程，得 x2-4x+6=0,=16-240.符合题意。21041综上所述，m 的值为- .3.韦达定理在物理学当中也充分的发挥了其本身的价值。例 1 在 一闭合电路中，电源电动势为 E,内电阻为 r，当外电阻为 R1 时，电路中的电流为 I1，电源的输出功率为 P;当外电阻为 R2 时，电路中的电流为I2，电源的输出功率仍为 P，则下列结论中正确的是( )(A)R1R2=r2. (B)R1+R2= . (C)I1I2= . (D)I1+I2=ErPrE分析 根据选项（A）(B)，选择电阻 R 为自变量，列函数关系式，有闭合电路的欧姆定律及功率公式得， rREIP
7、=I2R ， 把式代入式得P= 2 R ， rE式化简得PR2+(2rp-E2)R+Pr2=0， 式是关于 R 的一元二次方程，由韦达定理得 PEr2121r再根据选项(C)、(D)，选择 I 为自变量，列函数关系式。由闭合电路欧姆定律及功率公式得, 2rIEP把式化为一元二次方程, 02Ir式是关于 I 的一元二次方程，由韦达定理得，r2121PIE由此可知，(A)、 （C ） 、 (D)正确。例 2 以初速度 V0 竖直上抛一物体，已知 t,s 上升到 h 高处，在 t2s 末又回到同一高度 h 上，试证明 212034ttvgh分析 要证明的式子中有时间和、时间积的项，由此就会想到建立关于时间 t 的一元二次方程，然后用韦达定理推导.选择向上为正方向，由竖直上抛运动规律可得 ,201gttvh把它化为关于 t 的一元二次方程 .0202ghtvt设 t1、t 2 为上式方程的两个根，由韦达定理可得则 ).4,4,2,21202211101ttvghhgvtthtgvt摘自韦达定理应用二例 陈余华所以
