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1、知识改变命运一切为了孩子本资料来源于七彩教育网http:/初二同步辅导材料第二章 实数 2.2 平方根教学目标与要求：1、了解数的算术平方根、平方根的概念。2、了解开方与乘方运算的关系。会求非负数的算术平方根和平方根。二、学习指导本讲重点：（1）算术平方根、平方根的概念 会运用根号表示并会求数的平方根本讲难点： （1）平方根、算术平方根的区别与联系1、 关于算术平方根如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么正数 叫做 的算术平方根。 xax2xa注意：（1）0 的算术平方根为 0。（2）数 a 的算术平方根记作 ，其中 。0a（3）只有当 时，数 才有算术平方根。a2、 关于平方根如果一个数的平
2、方等于 a , 即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。注意：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，记为 ；0 有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。（2）要分清平方根与算术平方根的区别与联系：一个正数的平方根有两个，而算术平方根只有一个；一个正数的算术平方根是一个正数，而它的平方根是一正一负3、 关于开平方求一个数 的平方根的运算叫做开平方。其中 叫做被开方数。aa注意：（1）开平方运算与平方运算互为逆运算。（2）一个正数开平方运算的结果有两个。（3）负数不能进行开平方运算。4、 关于 、 、a2)(a表示非负数 的算术平方根，其结果也是非负数；若 ，则 = ；02)
3、(而 总有意义，且当 时， = ；当 时， = ，即 = .2a0a2a02a2a三典型例题知识改变命运一切为了孩子（一）平方根1. 平方根的概念：如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根（或二次方根），就是说，如果x2a，那么，x 就叫做 a 的平方根。如 5 和-5 都是 25 的平方根。例 1. 求 100 的平方根。解：方根。从上面的例子可以看出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。那么，0 的平方根是多少？负数的平方根存在吗？实际上，0 的平方根是 0，因为 020，且只有 0 的平方等于 0。负数没有平方根，因为任何一个数的平方都不为负数。故得结论：一个正数有两个平方
4、根，它们互为相反数。0 的平方根是 0，负数没有平方根。2. 一个非负数 a 的平方根的表示方法：3. 算术平方根：方根。4. 开平方：求一个数 a（a 0）的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算是已知指数和幂求底数。开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0 可以进行平方运算，且平方只有一个，但只有正数和 0 才可以开平方，负数无平方根。因为平方和开平方互逆，故可通过平方来找一个数的平方根，也可验算平方根是否正确。知识改变命运一切为了孩子例 2. 下列各数有平方根吗？如果有，求出来，如果没有，说明理由。解：（1）因为-64 是负数，故 -64 无平方根。（2）0 只有一个平方根，是 0。例 3
5、求下列各数的算术平方根（1）625 （2） （3） （4）164129解：（1）因为 ，所以 625 的算术平方根是 25，即52 256（2）因为 ，所以 的算术平方根是 ，即1682118184（3） = ，而 ，所以 的算术平方根是 ，即4923492323(4)因为 ，所以其算术平方根是55说明：由算术平方根的定义可知,求某个非负数的算术平方根,就是要求哪个非负数的平方等于它. 5. 平方根与算术平方根的区别与联系：区别：（1）定义不同，x 2a，x 叫 a 的平方根。联系：（1）平方根包含算术平方根。（2）存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根。（3）0 的平方根和算术平方根均为
6、 0。例 4. 求值：解：知识改变命运一切为了孩子根为 0.8例 5 说明下列各式的意义，并求值。（1）- ； （2） ； （3） .681492)17(解： （1）- 表示 16 的负的平方根。- =-46（2） 表示 的平方根，是互为相反的两个数。 =8149 81497（3） 表示 的算术平方根，即 289 的算术平方根。 =172)7(2 2)(说明：在计算之前，首先要弄清各表达式的意义、它表示几个数、是正数还是负数。例 6 求下列各数的平方根（1） 0.49 （2） （3） （4）159712.解：(1)因为 ，所以 0.49 的平方根是 ，即4.0.27.07.049.(2)因为
7、= ，而 ，所以 的平方根是 ，即971691632 331(3)因为 ，所以 的平方根是 ，即22.23.2.2.(4)15 的平方根是 15说明：由平方根的意义可知，一个正数的平方根有互为相反的两个值，切记别漏了负值。例 7 已知 的平方根是 , 的平方根是 ,求 的平方根.2a31ba4ba2解：由题意得， 且96所以 ， ，5b2所以 的平方根为说明：要掌握平方运算与开方运算的关系。例 8 求下列各式中的未知数（1） （2） （3） （4）025x6412x )0(49812xx知识改变命运一切为了孩子)0(312y解：（1）由 得， ，所以25x25x152x（2）由 得， ，所以
8、或641864197（3）由 得， ，又因为 ，所以0982x92x0x（4）由 得， ，又因为 ，所以3y36yy61说明：正数的平方根有两个，但具体解题时，要认真审题，看清要求，象（3）、（4）两题就不必写出两个值。 四、巩固练习1、 选择(1) 的算术平方根是（ ）2)4(（A）4 （B） （C）2 （D）2(2)下列各式中，计算正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）523.09.149613)(196(3)下列语句不正确的是（ ）（A）0 的平方根是 0 （B）非负数的平方根互为相反数（C） 的平方根是 （D）一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数22(4)下列正方形中，边长
9、不是有理数的为（ ）（A） 面积为 8 的正方形 （B）面积为 144 的正方形 （C）面积为 1.69 的正方形 （D）面积为 的正方形1625(5)能使 有意义的数 的个数为（ ）2aa（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数个(6)下列说法中，正确的是（ ）（A） 的平方根是 （B） 的平方根是 49.03.0（C） 没有平方根 （D） 一定有平方根2a12a2、填空（1）9 的平方是 ，9 的平方根是 ，-9 是 的一个平方根， 的平方根241是 。知识改变命运一切为了孩子（2）. 的平方根是_，算术平方根是_。（3）. ，则 x_。（4） 的平方根是_， 的算术平方根是_。（5） =
10、 ； = ； = 。2223（6）若 则 的平方根是_。,x5x（7）若 则 。,0912ba_ba（8）若 则 。,3xxyy3、解答：（1）计算： 541)(22031（2）求下列各数的平方根和算术平方根：289、0.64、 、 、 、9452)(（3）求下列各式的值：、 、 、 、 、6025123.423.0 221544. 求下式中的 x 的值：5. 在下列各式中，哪些有意义，哪些无意义？在有意义的式子中，分别说明它们各表示的是什么数的平方根或算术平方根或负平方根。6. 求下列各数的算术平方根：思考题：已知三个数 89、12、3，进行如下运算：取其中任意两个数求其和再除以 ，同时求其2知识改变命运一切为了孩子差再除以 ，试问：能否经过若干次上述运算，得到三个数 90、14、10？说明理由。2（摘自数学培优竞赛新方法）五、参考答案1、（1）C （2）C （3）C （4）A （5）B （6）D2、（1）81、 、81、 （2）. （3）. 1（4） （5）2、2、3 （6） （7） 或 （8）5 3133、（1）-5 （2）略 （3）60、 、4.3、0.23、91、52134、5 解：知识改变命运一切为了孩子6. 解：（1）因为 102100，故 100 的算术平方根是 10本资料来源于七彩教育网http:/
