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1、2011 中考冲刺数学专题 5应用型问题【备考点睛】数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用性问题成为中考必考、频考考点之一。因应用性问题的非数学背景是多种多样的，解决这类问题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化相应的数学问题，因此应用性问题成为每位学生的一道难题。根据应用的数学模型不同，应用性问题可分为方程的应用问题、不等式的应用问题、函数的应用问题、三角函数的应用问题、几何知识的应用问题，解决这类问题的能力要求较高：能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的
2、数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。应用性问题思考与解答的过程，最主要的特点就是：由现实情意（非数学） ，抽象概括出数学问题，进而解决数学问题，使原问题获解。其中的“由非数学到数学”是最为关键的一步。【经典例题】类型一、化归到方程模型解决问题例题 1 （2010 浙江绍兴）某公司投资新建了一商场,共有商铺 30 间.据预测,当每间的年租金定为 10 万元时,可全部租出.每间的年租金每增加 5 000 元,少租出商铺 1 间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元,未租出的商铺每间每年交各种费用 5 000 元.（1）当每间商铺的年租金定为 13 万元时,能租出多少间？（2）当每间
3、商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益租金各种费用）为 275 万元？解答：（1） 30 0005 0006, 能租出 24 间. （2）设每间商铺的年租金增加 x 万元,则（30 ）（10 x）（30 ）1 0.5275， 5.0x5.0.x2 x 211 x50， x5 或 0.5， 每间商铺的年租金定为 10.5 万元或 15 万元.例题 2 （2010 江苏盐城）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款 1800 元已知 2 班比1 班人均捐款多 4 元，2 班的人数比 1 班的人数少 10%请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写
4、出解题过程解答：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设 1 班人均捐款 x 元，则 2 班人均捐款（ x+4）元，根据题意得90%= 1800x 1800x+4解得 x=36 经检验 x=36 是原方程的根 x+4=40 答：1 班人均捐 36 元，2 班人均捐 40 元解法二：求两个班人数各多少人？设 1 班有 x 人，则根据题意得+4=1800x 180090x%解得 x=50 ，经检验 x=50 是原方程的根90 x % =45 答：1 班有 50 人，2 班有 45 人 例题 3（2010 山东烟台）去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打 30 口水井大的作业
5、任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打 3 口井，结果提前 5 天完成任务，求原计划每天打多少口井？解答：设原计划每天打 x 口井，由题意可列方程 30/x-30/(x+3)=5, 去分母得，30（x+3）-30x=5x(x+3),整理得，x 2+3x-18=0解得 x1=3，x 2=-6（不合题意舍去）经检验，x 2=3 是方程的根，答：原计划每天打 3 口井例题 4 近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨请你根据下面的信息，帮小明计算今年 5 月份汽油的价格解答：从对话内容中找出量与量之间的相等关系（即：同样的钱加的油量不同）
6、，是列方程解应用题的关键.解：设今年 5 月份汽油价格为 x 元升，则去年 5 月份的汽油价格为（x-1.8）元升根据题意，得 1018.75.x整理，得 x2 - l.8x - 14.4 = 0解这个方程，得 x1=4.8，x 2=-3 分经检验两根都为原方程的根，但 x2-3 不符合实际意义，故舍去分答：今年 5 月份的汽油价格为 4.8 元升 列分式方程解应用题应注意两点，一是要验根；二是要看结果是否符合题意.例题 5 某高速公路收费站，有 辆汽车等候收费通过，假设通过收费站的车流量)0(m（每分钟通过的汽车量数）保持不变，每个收费窗口的收费速度也是不变的。若开放一个收费窗口，则需要 2
7、0 分钟才能将原来来排队等候汽车及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则需 8 分钟也可将原来排队等候的汽车已及后来接上来的汽车全部收费通过，若要求三分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问：至少同时开放几个收费窗口？解答：分析：第一，关键是要求出每分钟新来的汽车为多少辆，以及每个窗口每分钟可收费通过多少辆汽车，就是要求这些“未知数量的值” ，当然考虑去构造方程。第二，题目中开放一个收费窗口和开放两个收费窗口情况的斜述就是两个构造方程可依据的等量关系。解：设每分钟新来的汽车 辆，每个窗口每分钟收费通过 辆汽车，则xy设需开放 个窗口，使在
8、 3 分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车z也随到随时收费通过，则， 解得 。m403943z因为窗口个数为正整数，所以需开窗口 5 个。例题 6 有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过 9 人一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能 3 人通过道口，此时，自己前面还有 36 个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计） ，通过道口后，还需 7 分钟到达学校（1）此时，若绕道而行，要 15 分钟到达学校，从节省时考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，
9、每分钟仍有 3 人通过道口） ，结果王老师比拥挤的情况下提前了 6 分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？解答：（1） 71915，36王老师应选择绕道而行去学校（2）设维持秩序时间为 t则 （t ）6，369解之得 t3（分） 答：维持好秩序的时间是 3 分钟 类型二、化归到不等式模型解决问题例题 7（2010 山东青岛）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用 35 座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用 55 座客车，则可以少租一辆，且余 45 个空座位（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知 35 座客车的租金为每辆 320 元，55 座客车的租金为每辆 400
10、元根据租车资金不超过 1500 元的预算，学校决定同时租用这两种客车共 4 辆（可以坐不满） 请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金解答：（1）设单独租用 35 座客车需 x 辆，由题意得：,35(1)45x解得： . （人）. 7答：该校八年级参加社会实践活动的人数为 175 人（2）设租 35 座客车 y 辆，则租 55 座客车（ ）辆，由题意得： 4y， 35(4)17500y 解这个不等式组，得 124y y 取正整数， y = 2.4 y = 42 = 2.32024002 = 1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为 1440 元例题 8（2010 四川眉山）某渔场计划
11、购买甲、乙两种鱼苗共 6000 尾，甲种鱼苗每尾 0.5 元，乙种鱼苗每尾 0.8 元相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为 90%和 95%（1）若购买这批鱼苗共用了 3600 元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过 4200 元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于 93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？解答：（1）设购买甲种鱼苗 x 尾，则购买乙种鱼苗 尾，由题意得：(60)x0.5.8(60)3x解这个方程，得： 4 2答：甲种鱼苗买 4000 尾，乙种鱼苗买 2000 尾 （2）由题意得： 0.5.8(60)2xx解这个不等式，
12、得： 即购买甲种鱼苗应不少于 2000 尾 （3）设购买鱼苗的总费用为 y，则 0.5.8(60).3480xx由题意，有 9093(6)11x解得： 24在 中.38y ， y 随 x 的增大而减少0当 时， 24x40最 小即购买甲种鱼苗 2400 尾，乙种鱼苗 3600 尾时，总费用最低例题 9（2010 江苏泰州）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠” 、 “豆你玩” 以绿豆为例，5 月上旬某市绿豆的市场价已达 16 元/千克市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格经市场调研预测，该市每调进100 吨绿豆，市场价格就下降 1 元/千克为了即能平抑绿豆
13、的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在 8 元/千克到 10 元/千克之间（含 8 元/千克和 10 元/千克） 问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？解答：设调进绿豆 x 吨，根据题意，得解得 600x800.1680.x，答：调进绿豆的吨数应不少于 600 吨，并且不超过 800 吨类型三、化归到函数模型解决问题例题 10（2010 浙江台州市）A ，B 两城相距 600 千米，甲、乙两车同时从 A 城出发驶向 B城，甲车到达 B 城后立即返回如图是它们离 A 城的距离 y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象（1）求甲车行驶过程中 y 与 x 之间的函数解析式，并
14、写出自变量 x 的取值范围；（2）当它们行驶 7 了小时时，两车相遇，求乙车速度解答：（1）当 0 6 时，； xy当 6 14 时， 设 ，bk图象过（6，600） ， （14，0）两点， 解得 .14,bk.15,7bkx/小时y/千米600146OFECD 1057xy ).146(x（2）当 时， ， 7x52075y（千米/小时） 5乙v例题 11 （2010 广东珠海）今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多少不遇旱灾，“一方有难，八方支援” ，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共 10 台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机 4 台、3 台
15、、2 台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田 1 亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田 32 亩.(1)设甲种柴油发电机数量为 x 台，乙种柴油发电机数量为 y 台.用含 x、y 的式子表示丙种柴油发电机的数量；求出 y 与 x 的函数关系式；(2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为 130 元、120 元、100 元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用 W 最少？解答：（1）丙种柴油发电机的数量为 10-x-y 4x+3y+2(10-x-y)=32y=12-2x(2)丙种柴油发电机为 10-x-y=(x-2)台W=130x+120(12-2x)+100(x-2)=-10x+1240依题意解不等式组 得：3x5.512xx 为正整数 x=3,4,5W 随 x 的增大而减少 当 x=5 时 ，W 最少为-105+1240=1190（元）例题 12 王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为 60
