《2018-2019学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 3.2.3 空间的角的计算学案 苏教版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 3.2.3 空间的角的计算学案 苏教版选修2-1（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.3空间的角的计算学习目标：1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角(重点、难点)2.二面角的求法(难点)3.空间三种角的范围(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理空间角的向量求法阅读教材P106P108的部分，完成下列问题1两条异面直线所成角的向量求法若异面直线l1，l2的方向向量分别为a，b，l1，l2所成的角为，则cos |cos|.2直线和平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，a与n的夹角为1，l与所成的角为2，则sin 2|cos 1|.(1)(2)图32193二面角的向量求法设二面角l的大小为，的法向量分别为n1，n2，则|c
2、os |cos|，取锐角还是钝角由图形确定图32201判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cosn1，n2.()(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补()答案(1)(2)(3)(4)2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_解析由题意得，直线l与平面的法向量所在直线的夹角为60，直线l与平面所成的角为906030.答案303异面直线l与m的
3、方向向量分别为a(3,2,1)，b(1,2,0)，则直线l与m所成的角的余弦值为_解析ab341，|a|，|b|，cosa，b.答案4已知二面角l，的法向量为n(1,2，1)，的法向量为m(1，3,1)，若二面角l为锐角，则其余弦值为_解析cosn，m.又因二面角为锐角，所以余弦值为.答案合 作 探 究攻 重 难求两条异面直线所成的角(1)如图3221，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC2，AA14，若M，N分别是BB1，CC1的中点，则异面直线AM与A1N所成角的大小为_. 【导学号：71392202】图3221(2)在三棱锥DABC中，DA平面ABC，DA4，ABAC2，
4、ABAC，E为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为_精彩点拨(1)思路一：以，为基向量，表示，求cos，的余弦值；思路二：以，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用坐标求cos，(2)题思路如(1)题自主解答(1)法一：，1640，即异面直线AM与A1N所成的角为90.法二：如图所示，建立空间直角坐标系：则A1(2,0,0)，N(0,0,2)，A(2,0,4)，M(0,2,2)，(2,0,2)，(2,2，2)，4040，即，故异面直线A1N与AM所成的角为90.(2)法一：如图所示，()，.441，又易知|，|216449，|3.cos，则异
5、面直线AE与BF所成角的余弦值为.法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(1，1,0)，B(2,0,0)，F(0,1,2)，(1,1,0)，(2,1,2)，211.|，|3，cos，.所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为.答案(1)90(2)名师指津1利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角2向量法求异面直线所成角的步骤(1)建立坐标系(或选取基向量)，求直线方向向量坐标(或用基向量线性表示)；(2)求a，b；(3)利用cos |cosa，b|，求.再练一题1如图3222所示，
6、三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小图3222解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0，2,0)，(，1，)，(，1，)cos，.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.求线面角如图3223，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.图3223(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值. 【导学号：71392203】精彩点拨以A为原点，AB
7、，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(1)求出和，证明0；(2)求出直线B1C1的方向向量与平面ACD1的法向量自主解答(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(
8、2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cos n，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.名师指津利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为：(1)根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系；(2)得到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标；(3)利用公式cosa，b，进行计算，其中向量a是直线的方向向量，b可以是平面的法向量，也可以是直线在平面内射影的方向向量；(4)将a，b转化为所求的线面角.向量夹角为锐角或直角时，线面角与这个夹角互余；向
9、量夹角为钝角或平角时，线面角等于这个夹角减去90.再练一题2如图3224所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值图3224解由题设条件知，AS，AB，AD两两垂直，设AB1，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示)则A(0,0,0)，S(0,0,1)，C(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,1)显然是底面ABCD的一个法向量，设与的夹角为，则cos .SC与底面ABCD的夹角为，sin |cos |.，cos .即直线SC与底面ABCD夹角的余弦值为.求二面角如图3225，在直三棱柱A1
10、B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点图3225(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值. 【导学号：71392204】精彩点拨(1)先建系求出A1B和C1D的方向向量，再求其余弦值；(2)求出平面ADC1与平面ABA1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值自主解答(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4). 因为cos，所以异面直线A1B与
11、C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.名师指津求二面角的步骤如下：(1)建立空间直角坐标系，确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角；(3)确定二面角与面面角的关系，要通过观察图形来确定二面角.再练一题3如图3226，在直三棱柱ABCA1B
12、1C1(侧棱和底面垂直的棱柱)中，ABBC，ABBCAA13，线段AC，A1B上分别有一点E，F，且满足2AEEC,2BFFA1.图3226(1)求证：平面A1BC平面A1ABB1；(2)求二面角FBEC的平面角的余弦值解(1)证明：BCAB，BCAA1，BC平面A1ABB1.又BC平面A1BC，平面A1BC平面A1ABB1.(2)由(1)知，以点B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系B(0,0,0),A(0,3,0),C(3,0,0),A1(0,3,3)又线段AC，A1B上分别有一点E，F，满足2AEEC,2BFFA1，E(1,2,0)
13、, F(0,1,1), (1,2,0)，(0,1,1)设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即取y1，则x2，z1，故n(2，1,1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC.E在AC上，平面BEC即平面ABC.BB1平面BEC.易知平面BEC的一个法向量m(0,0,1)，cosn，m.所求二面角的平面角与向量n，m的夹角相等或互补，根据图形可知二面角FBEC的平面角与两向量n，m的夹角互补，设二面角FBEC的平面角为，则cos .夹角的向量求法探究问题1利用向量法求异面直线所成的角时，需要注意什么？提示(1)异面直线所成的角与这两直线的方向向量的夹角范围不同，其中异面直线所成的角的范围是，向量夹角的范围为0，(2)应用向量法求两异面的夹角时，若求得余弦值为正数，夹角
