《2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义学案 苏教版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义学案 苏教版选修2-1（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5圆锥曲线的统一定义学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法(重点)2.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题(难点)自 主 预 习探 新 知教材整理圆锥曲线的统一定义阅读教材P56“思考”以上的部分，完成下列问题1平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹当0e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线2椭圆1(ab0)的准线方程为x，1(ab0)的准线方程为y.双曲线1(a0，b0)的准线方程为x，
2、双曲线1(a0，b0)的准线方程为y.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离的比等于2的点的轨迹是双曲线()(2)椭圆y21的准线方程是x.()(3)双曲线离心率的取值范围是(1，)()(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直()答案(1)(2)(3)(4)2双曲线y21的准线方程为_解析易知a215，b21，c2a2b216，即c4，则双曲线的准线方程为x.答案x3焦点坐标为F1(2,0)，F2(2,0)，则准线方程为x的椭圆的标准方程为_. 【导学号：71392108】解析由题意知c2，则，故a25，所以b2a2c21，则椭圆的方程为y21.答案y21
3、4双曲线1(a0，b0)的离心率为2，右准线为x，则右焦点的坐标为_解析据题意知解得a1，c2，则右焦点的坐标为(2,0)答案(2,0)合 作 探 究攻 重 难已知焦点和准线求圆锥曲线的方程已知某圆锥曲线的准线是x1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：(1)e；(2)e1；(3)e. 【导学号：71392109】精彩点拨自主解答(1)离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在x轴上，由1，解得c，a，b2，所求方程为1.(2)离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上，1，可得y24x.(3)离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴上，1，解得c
4、，a，b2.所求方程为1.名师指津本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准”方程，其准线有固定公式，因而可直接列出基本量满足的关系式.再练一题1若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，求此抛物线的标准方程解设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，设A(x0，y0)，由题知M.|AF|3，y03，|AM|，x17，x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.用圆锥曲线的统一定义求轨迹已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y9的距离之比为，求动点P的轨迹. 【导学号：7139
5、2110】精彩点拨此题解法有两种：一是定义法，二是直译法自主解答法一：由圆锥曲线的统一定义知，P点的轨迹是椭圆，c3，9，则a227，a3，e，与已知条件相符椭圆中心在原点，焦点为(0，3)，准线y9.b218，其方程为1.法二：由题意得.整理得1.P点的轨迹是以(0，3)为焦点，以y9为准线的椭圆名师指津解决此类题目有两种方法：(1)是直接列方程，代入后化简整理即得方程.(2)是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程.再练一题2方程|xy1|对应点P(x，y)的轨迹为_解析由|xy1|，得.可看作动点P(x，y)到定点(1,0)的距离与到定直线xy10的距离比为1的轨迹
6、方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线答案双曲线圆锥曲线统一定义的应用已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆1内的两个点，M是椭圆上的动点(1)求MAMB的最大值和最小值；(2)求MBMA的最小值及此时点M的坐标精彩点拨(1)利用椭圆的定义进行转化求解(2)注意e，则MAd(d为点M到右准线的距离)，然后利用数形结合思想求解自主解答(1)如图所示，由1，得a5，b3，c4.所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(4，0)为椭圆的左焦点因为MAMF2a10，所以MAMB10MFMB.因为|MBMF|BF2，所以2MBMF2.故102MAMB102，即MAMB的最大值为102，最小值为102.(2)
7、由题意得，椭圆的右准线l的方程为x.由(1)图可知，点M到右准线的距离为MM，由圆锥曲线的统一定义，得e，所以MAMM.所以MBMAMBMM.由(1)图可知，当B，M，M三点共线时，MBMM最小，即BM2.当y2时，有1，解得x(舍去负值)，即点M的坐标为.故MBMA的最小值为，此时点M的坐标为.名师指津1解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义2圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程再练一题3已知双曲线1和点A(4,1)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求PAPF的最小值. 【导学号：71392111】解由
8、双曲线的方程，知a2，b2，c4，离心率e2，右准线的方程为x1，设点P到右准线的距离为d，由圆锥曲线的定义，有2，即PFd，如图所示，过P作右准线的垂线，垂足为D，则PAPFPAdPAPD，所以当P，A，D三点共线时，PAPD的值最小，为413.圆锥曲线的统一定义探究问题1圆锥曲线的统一定义又称第二定义，那么第一定义与第二定义有哪些区别？提示椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距
9、离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的2在圆锥曲线的统一定义中，定点F和直线l是如何对应的？提示在统一定义中，圆锥曲线是椭圆或双曲线时，若定点是左焦点，则定直线是左准线，若定点是右焦点，则定直线是右准线而抛物线只有一个焦点对应一条准线也就是说，定点F和定直线是“相对应”的3利用圆锥曲线的统一定义，如何表示焦半径？提示根据定义e，则PFed(e为离心率)(1)椭圆的焦半径设P(x0，y0)是椭圆1(ab0)的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1aex0，PF2aex0.(2)双曲线的焦半径设P(x0，y0)是双曲线1(a0，b0)的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1
10、|ex0a|，PF2|ex0a|.(3)抛物线的焦半径设P(x0，y0)是抛物线y22px的一点，F是焦点，则PFx0.椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线为x8，离心率e.(1)求椭圆的方程；(2)求过另一个焦点且倾斜角为45的直线截椭圆C所得的弦长. 【导学号：71392112】精彩点拨(1)利用统一定义求解；(2)利用焦点弦弦长公式求解自主解答(1)设椭圆上任一点P(x，y)，由统一定义得，两边同时平方，得4(x2)2y2(8x)2，化简得1.(2)设椭圆的另一个焦点为F2(2,0)，过F2且倾斜角为45的直线方程为yx2，与椭圆1联立消去y，得7x216x320.设交点A(x1，
11、y1)，B(x2，y2)，则x1x2，ABAF2BF2aex1aex22ae(x1x2)24(x1x2).再练一题4过双曲线1的右焦点F，且倾斜角为45的直线与双曲线交于A，B两点，求线段AB的长解易知F(5,0)，则直线的方程为yx5.由得7x2160x5440.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由圆锥曲线的统一定义，知AFedex1a，同理BFx2a，ABAFBF2a8.即AB的长为.当 堂 达 标固 双 基1已知A(2,0)，B(2,0)，点P(x，y)满足，则PAPB_.解析点P到A(2,0)的距离与它到直线x3的距离之比为，点P的轨迹是椭圆，且，c2，a，故PAPB2
12、a2.答案22已知椭圆y21，则以椭圆的左准线为准线的抛物线方程为_解析由椭圆的方程，知a24，b21，所以c23，即c，故椭圆的左准线方程为x，故所求抛物线的方程为y2x.答案y2x3到点F(2,0)与直线x的距离的比等于2的曲线方程为_. 【导学号：71392113】解析由圆锥曲线的统一定义可知，曲线为焦点在x轴上的双曲线，且c2，即a21，故b23，则双曲线的方程为x21.答案x214椭圆1上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到左准线的距离为_解析由1，得a5，b4，c3，e.根据椭圆的第二定义得e.又PF13，d35，点P到左准线的距离为5.答案55过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，求ABF2的周长(F2为双曲线的右焦点)解根据题意，得F1(2,0)，F2(2,0)，直线AB的方程为yx2.令A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得2x24x70，x1x22，x1x2.AB 6.由x1x20知，弦AB与双曲线左、右两支均相交，由焦半径公式，得AF2aex112x1，BF2ex2a2x21，AF2BF212x12x212(x2x1)26.ABF2的周长为ABAF2BF266.9
