通信原理新讲稿第3章--随机过程

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1、1,3.1 随机过程基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪声和带限白噪声,第3章 随机过程,2,3.1 随机过程基本概念,一、随机过程(t)的定义： 随机样本函数的总体； 不同时刻随机变量的集合。,3,3.1 随机过程基本概念,二、随机过程的分布函数 随机过程 (t)的一维分布函数： 随机过程 (t)的一维概率密度函数：,4,3.1 随机过程基本概念,随机过程 (t)的二维分布函数： 随机过程 (t)的二维概率密度函数：,5,3.1 随机过程基本概念,随机过程 (t)的任意n维

2、分布函数： 随机过程 (t)的任意n维概率密度函数：,6,3.1 随机过程基本概念,三、 随机过程的数字特征 1、均值,a (t ),7,3.1 随机过程基本概念,三、 随机过程的数字特征 2、方差,均方值,均值平方,8,3.1 随机过程基本概念,三、 随机过程的数字特征 3、相关函数 4、协方差函数,9,3.2 平稳随机过程,一、定义、性质与特点： 若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有,则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。,10,3.2 平稳随机过程,性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的

3、推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关： 而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：,11,3.2 平稳随机过程,数字特征： 特点：（1）其均值与t无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔有关。具有以上两个特点称为广义平稳随机过程。,12,3.2 平稳随机过程,二、各态历经性： 设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），若,即：过程的数字特征（统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。,13,3.2 平稳随机过程,例3-1 设一个随机相位的正弦波为,其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均 匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各 态历经性。 解：(

4、1)先求(t)的统计平均值： 数学期望,14,3.2 平稳随机过程,自相关函数,15,3.2 平稳随机过程,可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。 (2) 求(t)的时间平均值,16,3.2 平稳随机过程,17,3.2 平稳随机过程,比较统计平均与时间平均，可见： 结论：随机相位余弦波是各态历经的。,18,3.2 平稳随机过程,三、自相关函数： 平稳随机过程的自相关函数具有以下特点： (t)的平均功率 的偶函数 R()的上界，即最大值。 (t)的直流功率 (t)的交流功率,19,3.2 平稳随机过程,四、功率谱密度： 定义：,20

5、,3.2 平稳随机过程,功率谱密度的计算：维纳-辛钦关系 自相关函数与其功率谱密度是一对傅里 叶变换。记为,推论,21,3.2 平稳随机过程,对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率： 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。 功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有,22,3.2 平稳随机过程,例3-2求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相关函数和功率谱密度。 解：在例3-1中，已经求出(t)的相关函数为 由维纳-辛钦关系，以及 得到,23,3.3 高斯（正态）随机过程,一、定义 若任意n维概率密度函数可表示为,则称该随机过程为高斯（正态）随机

6、过程。式中,24,3.3 高斯（正态）随机过程,B为归一化协方差矩阵的行列式，即 其中,25,3.3 高斯（正态）随机过程,二、重要性质 1、 n维概率密度函数由数字特征确定； 2、广义平稳的高斯过程也是严平稳的； 3、若不同时刻的取值是不相关的，则也是互相独立的； 4、高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。,26,3.3 高斯（正态）随机过程,三、高斯随机变量 高斯过程在任一时刻上是一个高斯随机变量，其一维概率密度函数为,27,3.3 高斯（正态）随机过程,性质： f (x)对称于直线 x = a a表示分布中心， 称为标

7、准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a = 0和 = 1时，称为标准化的正态分布。,28,3.3 高斯（正态）随机过程,计算：正态分布函数 令 得,29,3.3 高斯（正态）随机过程,用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数： 当x 2时，,30,3.3 高斯（正态）随机过程,用Q函数表示正态分布函数： Q函数定义： Q函数和erfc函数的关系： Q函数和分布函数F(x)的关系：,31,3.4 平稳随机过程通过线性系统,1、输出过程o(t)的均值 由于设输入过程是平稳的 ，则有 可见输出过程的均值是常数。,32,3.4 平稳随机过程通过线性系统,2、输出过程o(t) 的

8、自相关函数： 根据输入过程的平稳性，有 于是,33,3.4 平稳随机过程通过线性系统,3、输出过程o(t) 的功率谱密度 令 = + - ，代入上式，得到 即,34,3.4 平稳随机过程通过线性系统,输出过程o(t)的概率分布 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。,35,3.5 窄带随机过程,定义：若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。功率谱密度图,36,3.5 窄带随机过程,波形： 窄带随机过程的表示：,37,3.5 窄带随机过程,式中 (t)的同相分量 (t)

9、的正交分量 (t)的统计特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特性确定。若(t)的统计特性已知，则a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特性也随之确定。,38,3.5 窄带随机过程,3.5.1 c(t)和s(t)的统计特性 数学期望：对(t)求数学期望得到 因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E(t) = 0 ，所以,39,3.5 窄带随机过程,(t)的自相关函数： 因为(t)是平稳的，故有 这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与有关。因此，若令 t = 0，上式仍应成立，,40,3.5 窄带随机过程,它变为 因与时间t无关，以下二式自然成立 所以，上式变为

10、,41,3.5 窄带随机过程,再令 t = /2c，同理可以求得 由以上分析可知，若窄带过程(t)是平稳的，则c(t)和s(t)也必然是平稳的。 进一步分析，下两式应同时成立，,42,3.5 窄带随机过程,故有 同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相关函数。 根据互相关函数的性质，应有 代入上式，得到 ，表明Rsc()是 的奇函数，所以 。因此， 同一时刻的同相和正交分量是互相正交的。,43,3.5 窄带随机过程,将 代入 得 即 结论：(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。,44,3.5 窄带随机过程,根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式 得到 因为(t)

11、是高斯过程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯随机变量，从而c(t) 、 s(t)也是高斯过程。,45,3.5 窄带随机过程,根据 可知， c(t) 与s(t)在 = 0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此c(t) 与s(t)也是统计独立的。 结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。,46,3.5 窄带随机过程,3.5.2 a(t)和(t)的统计特性 联合概率密度函数 f (a , ) 根据概率论知识有 由 可以求得,47,3.5 窄带随机

12、过程,于是有 式中 a 0, = (0 2),48,3.5 窄带随机过程,a的一维概率密度函数 可见， a服从瑞利(Rayleigh)分布。,49,3.5 窄带随机过程,的一维概率密度函数 可见， 服从均匀分布。,50,3.5 窄带随机过程,结论 一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， a(t)与(t)是统计独立的 ，即有,51,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声的表示式 式中,52,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式 包络： 相位： 包络的概率密

13、度函数 f (z) 由,53,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,根据zc，zs与z，之间的随机变量关系，求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数,54,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,然后求给定条件下的边际分布， 即 由于 故有 式中I0(x) 第一类零阶修正贝塞尔函数,55,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,因此 由上式可见，f (, z)与无关，故 称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。,56,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,讨论 当信号很小时，即A 0时，上式中(Az/n2)很小，I0 (Az/n2) 1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。 当(Az/n2)很大时，有 这时上式近似为高斯分

14、布，即,57,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,包络概率密度函数 f (z)曲线,58,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性,59,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,1、白噪声：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 双边功率谱密度 或 单边功率谱密度 式中 n0 正常数 白噪声的自相关函数：,60,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,白噪声和其自相关函数的曲线,61,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,白噪声的功率 或,62,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,2、低通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。 功率谱密度 由于功率谱频带受限亦称为带限白噪声。 自相关函数,63,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,功率谱密度和自相关函数曲线,64,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,3、带通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。 功率谱密度,65,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,自相关函数 平均功率,66,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线,