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1、,2. 二面角与平面和 平面的垂直关系,9.7 直线和平面所成的角与二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,一、二面角的定义,二面角,2、二面角的表示方法,二面角AB ,二面角 l ,二面角CAB D,二面角CAB E,1、定义,二面角,二、二面角的平面角,1、定义,二面角的平面角必须满足：,二面角的平面角的范围: 0180,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,注意:,(与顶点位置无关),APB= A1P1B1
2、,练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：,二面角B-BC-A,l,二面角-l-,O,E,O,O,二面角A-BC-D,D,14,2、作二面角的平面角的常用方法,、点P在棱上,、点P在一个半平面上,、点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,垂线法,垂面法,二面角,C,D,解：,在PB上取不同于P 的一点O，,在内过O作OCAB交PM 于C，,在 内作ODAB交PN于D，,连结CD，可得：,设PO = a ，BPM =BPN = 45,CO=a，DO=a， PC a ， PD a,又MPN=60,CD=PC a,COD=90,因此，二面角的度数为90,二面角,例1.如图,已知P是二面角
3、 棱上一点，过 P 分别在、内引射线PM、PN，且MPN=600， BPM =BPN =450，求此二面角的度数。,COD是二面角 的平面角,一“作” 二“证” 三“计算”,二面角,H,O,解：,O,二面角,例2如图P 为二面角 内一点，PA,PB, 且PA=5，PB=8，AB =7，求这二面角的度数。,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.ABP B.ACP C.都不是,练 习:,60,二面角,二面角,从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。,二 面 角 AB
4、 二 面 角 CAB D 二 面 角 l ,1、二面角的平面角必须满足 三个条件 2、二面角的平面角的大小与 其顶点在棱上的位置无关 3、二面角的大小用它的平面 角的大小来度量,1、定义法 2、三垂线（逆）定理法 3、垂面法,1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算所求的角,一“作”二“证”三“计算”,例 4 已知在一个60的二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且ACl，BDl ，又知AB=4cm,AC=6cm，BD=8cm, 求线段CD的长。,二面角,D,二面角,ODC,3. 如图，已知A、B是120的二面角l棱l上的两点，线
5、段AC，BD分别在面，内，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。,l,BDl AOBD，四边形ABDO为矩形, DO l ， AO=BD ACl ， AOl ， l 平面CAO AOl CODO,O,在Rt COD中，DO=AB=3,19,E,解：在平面内，过A作AOl ，使 AO=BD,连结CO、DO, 则OAC就是 二面角l的平面角，即 OAC 120，, BD=1 AO=1，在OAC中，AC=2， ,二面角,两个平面垂直的判定定理：,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。,求证： ,ABCD，垂足为点B,在平面内过B点作直线BE CD，
6、则ABE是二面角- CD -的平面角。,又AB BE，即二面角- CD 是直二面角, ,三、平面和平面的垂直关系,ABC84页第九题,D1,A,B,C,D,A1,C1,B1,O,C,D,B,A,E,两个平面垂直的性质定理：,P,b,c,a,P,c,a,b,练 习,2、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直,已知：a / ， a ,求证： ,b,A,B,S,C,F,E,4、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， DAC = BAC = BAD = 600， 求证：平面 BCD 平面ADC,A,C,B,D,O,5、已知PA 平面ABCD，ABCD为矩形，PA = AD，M、N分别是AB、PC的中点， 求证：（1）MN / 平面PAD； （2）平面PMC 平面PDC,6、已知ABC中，O为AC中点， ABC=900，P为ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC 平面ABC,P,A,B,C,O,
