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1、第7题 分段函数I题源探究黄金母题【例1】已知函数，求，的值【解析】，精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第45页B组第4题【母题评析】本题以分段函数为载体，考查函数的求值问题本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到既考查运算能力与及分类讨论思想的应用的目的【思路方法】考察自变量的值与分段函数每一段函数的定义域关系，正确选用解析式如果自变量以参数形式出现，注意考虑分类讨论思想的应用II考场精彩真题回放【例2】【2017江苏14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 【答案】8【解析】解法一：由于则需考虑的情况，在此范围内，时，设 ，且 互质若 ，则由
2、 ，可设 ，且 互质因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此因此 不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8解法二：是有理数集，自变量，所对应的函数值都为有理数，且在函数上对应的空心点函数值也为有理数，令等于这些函数值与空心点函数值所求得在区间内皆为无理数，故 不能与函数上所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案为8 个【例3】【2017天津文8】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 （ ）A BC D【答案】A【解析】试题
3、分析：首先画出函数的图象，当时，的零点是，零点左边直线的斜率，不会和函数有交点，满足不等式恒成立，零点右边，函数的斜率，根据图象分析，当时，即成立，同理，若，函数的零点是，零点右边恒成立，零点左边，根据图象分析当时，即，当时，恒成立，所以，故选A【命题意图】本类题考查分段函数的求值【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往与分段函数的求值、分段函数的性质、分段函数图象及应用、分段函数与其它知识（不等式、方程、程序框图等）知识的交汇或综合【难点中心】分段函数也是函数，因此主要也是要关心它的图象与性质，以及图象与性质的应用其难点主要体现在：（1）函数的求值
4、问题必须考虑自变量的所属范围，无法判断时须利用分类讨论思想解决；（2）分段函数的图象画法，因为它的每一段多数由基本初等函数构成，处理分界点的图象是一个难点，当函数是非基本函数图象时，常常要联系其它知识来作（如利用导数）；（3）求解分段函数的性质中的参数问题，常常要用到数形结合法、分裂参数法、构造法等数学方法来解决III理论基础解题原理考点一分段函数的概念（1）定义：在函数的定义域内，对于自变量不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数函数的解析式中的绝对值含有未知数，此函数实质上也是分段函数（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集（3）值域；分段函数的值
5、域是各段函数值集合的并集考点二分段函数图象（1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心考点三 分段函数的性质1分段函数的单调性：判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不
6、连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性2分段函数的奇偶性：判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行：判断定义域是否是对称区间；对定义域中任意一个实数，判断与的关系IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系【技能方法】已知分段函数
7、的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式，注意取值范围的大前提，利用函数的单调性寻找关于参数的不等式（组）若能利用数形结合可加快求解的速度【易错指导】（1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解；（2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在有定义时，忽视对的验证；（3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨；（4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误；V举一反
8、三触类旁通考向1求解分段函数的函数值【例1】【2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考】已知函数 则（ ）A B C D【答案】A【例2】【2017高考山东卷文数】设，若，则A2 B4 C6 D8【答案】C【名师点睛】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围【例3】【2018河北邢台高一上学期第一次联考】设 则的值为 ()A B C D【答案】D【解析】因为 为无理数，所以，又因为 ，所以，故选D【思
9、路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、复合函数求函数值，属于中档题对于分段函数解析式的考查是高考命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值【例4】【2018山西45校第一次联考】函数的定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（ ）A0 B1 C2 D2018【答案】C【解析】由知，是周期为2的函数，故，代入解析式，得，解得，从而，故故选C【跟踪练习】1【2018名校大联考第二次联考】设函数且，则（ ）A1 B2 C3 D6【答案】C【解析】函数所以，解得所以故选C2设函数则满足的取值范围是
10、（ ）（A）（B）（C）（D） 【答案】C3【2018安徽滁州9月联合质量检测】设是定义域为，最小正周期为的函数，且在区间上的表达式为，则（ ）A B C1 D-1【答案】D【解析】故选D考向2求分段函数的最值（或值域）【例5】【2018湖南永州一模】定义为中的最大值，设，则的最小值是（ ）A2 B3 C4 D6【答案】C【例6】【2017江苏南京模拟】设常数，函数，则在区间上的取值范围为_【答案】【解析】当时，令，则，；当且时，则，令，则， ，函数所以当时，的取值范围是，应填答案点睛：解答本题的关键是运用三角换元法探求分段函数，则在区间上的值域求解时充分运用分类整合思想，对定义域分和两种情形
11、进行分类整合，特别在最后的函数值域的整合过程中，充分利用了这一题设条件，从而使得问题获解【例7】【2017湖南师范大学附属中学模拟二】已知函数f(x)x|x212|的定义域为0，m，值域为0，am2，则实数a的取值范围是_【答案】a1函数f(x)的定义域为0，m，值域为0，am2，分为以下情况考虑：当0m2时，函数的值域为0，m(12m2)，有m(12m2)am2，所以am，因为0m4；当2m4时，函数的值域为0，16，有am216，所以a，因为2m4，所以1a4；当m4时，函数的值域为0，m(m212)，有m(m212)am2，所以am，因为m4，所以a1综上所述，实数a的取值范围是a1【跟
12、踪练习】1已知函数，则 ，的最小值是_【答案】，【解析】；当时，当且仅当时，等号成立，当时，当且仅当时，等号成立，故最小值为【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段上，分段函数常与数形结合、分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注2【2015高考福建理14】若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是_【答案】【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含
13、关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用考向3分段函数的奇偶性【例8】【2016届北京市海淀区高三第二学期期中练习理】已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（）ABCD【答案】C【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性、两角和与差的正弦与余弦公式若，则，因为，且为偶函数，所以由题意知恒成立，所以必有，观察各选项知，只有C适合，故选C【点评】分段函数的奇偶性主要有两种题型：（1）判断已知函数的单调性，通常根据判断定义域是否对称、确定与的关系来判断；（2）根据函数的奇偶性求解参数问题，此类的解答通常要利用或建立方程来解决【跟踪练习】设奇函数，则的值为_【答案】0【解析】本题考查分段函数、函
14、数的奇偶性因为为奇函数，所以，即，所以；由，得，所以；由，得，所以，所以，所以【方法点拨】已知函数为奇函数求相关的参数时，须注意如果函数在时有定义，则必有，但如果在时没有定义，则通常考虑利用奇函数的定义或取特殊值求解考向4分段函数的单调性【例9】【2018安徽滁州9月联合质量检测】若函数|在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A BC D【答案】B点睛：含绝对值的函数问题，一般的思路是去绝对值，即将函数转成分段函数，含参数时，只需讨论参数范围即可【例10】【2017北京朝阳区二模】设函数f(x)=x+1,x0,x3+a,x0,则f(1)=_；若f(x)在其定义域内为单调递增函数，则实数a的取值范围是_【答案】 2 (-,1【解析】f(1)=2，由于f(x)在其定义域内为单调递增函数，所以a1填 (1)2 (2)(-,1【例11】【2017山东济宁3月模拟】若函数
