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1、第70题 圆方程及其应用I题源探究黄金母题【例1】求以点为圆心，并且与直线相切的圆的方程【答案】【解析】由圆心到切线的距离等于半径得：所求的圆的方程为【例2】求圆心在直线上，并且经过原点和点的圆的方程【答案】【解析】设所求的圆的方程为由已知，得解此方程组，得所求圆的方程为【例3】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，求圆心为的圆的标准方程【解析】因为，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率为，因此线段的垂直平分线的方程是，即，解方程组，得，即圆心坐标为，圆的半径，所以圆的标准方程为精彩解读【试题来源】人教A版必修2P132A组T3【母题评析】本题考查直线和圆的位置关系、圆的方程的求法，考查考生
2、的分析问题解决问题的能力【思路方法】结合圆的切线的性质和圆的标准方程解题【试题来源】人教A版必修2P144A组T2【试题来源】人教版A版必修2P120例3【母题评析】本题已知三个条件圆的标准方程，解答时根据利用直接法分别求出圆心的坐标与半径，具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题【思路方法】本题解答主要是利用直接法求圆的方程，即根据利用两条直径所在的直线首先求出圆心坐标，利用圆心到圆上的已知点求出圆的半径，进而求得圆的标准方程II考场精彩真题回放【例1】【2017高考江苏13】在平面直角坐标系中，点在圆上，若，则点的横坐标的取值范围是 【答案】【解析】设，则，把代入，得
3、，点的横坐标的取值范围是【例2】【2016年天津高考文】已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为_【答案】【解析】设圆心为，则由题意，得，解得，所以圆的半径为，故圆的方程为【例3】【2016浙江高考卷】已知，方程表示圆，则圆心坐标是_，半径是_【答案】；5【解析】由题意，得当时方程为，即，圆心为，半径为5；当时方程为，不表示圆【例4】【2016陕西高考卷】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：【例5】【2015北京高考卷】圆心为且过原点的圆的方程是 （ ）A BC
4、D【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为，故选D【例6】【2015江苏高考卷】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_【答案】【解析】由题意得：圆的半径，当且仅当时取等号，所以半径最大为，故所求的圆的方程为【命题意图】这类题主要考查圆的方程的求法、圆的方程的应用，以及逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想的应用、分类讨论思想的应用【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以单独命题在选择题与填空题中考查，也可以出现在解答题一个小题中，涉及到知识难度中等【难点中心】求圆的标准方程主要有两种方法：（1）直接法，该法的难度是如何确定圆心与半径；（2
5、）待定系数法，此法的难度是如何建立关于参数或的方程有时面临两种方法都可以利用，此时的难点是选择何种方法较为简捷III理论基础解题原理考点一圆的标准方程1标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：2点与圆的位置关系：（1）设点到圆心的距离为，圆半径为：点在圆内；点在圆上；点在圆外； （2）点与圆的位置关系：当，点在圆外；当=，点在圆上；当，点在圆内考点二圆的一般方程一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为；当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形注：方程表示圆的充要条件是：且且IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题可单独命题在选择题与填空题中出
6、现，也可以出现在解答题的第（1）题中主要题型：（1）根据条件求圆的方程，难度中等；（2）根据圆的方程确定圆心与半径，难度较易【技能方法】（1）直接法：就是根据条件直接分别求出圆心和半径；（2）待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得或（3）利用待定系数法时，要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般式【易错指导】（1）若圆的方程确定圆心时，易错误确定圆心为；（2）忽视二元二次方程表示圆的条件为，使问题的解决建立在纸上谈兵上；（3）忽视圆方程中两个变量
7、范围，往往会使问题造成多解V举一反三触类旁通考向1构成圆的方程的条件【例1】【2018湖北省黄冈中学高三上第一次周测】点在圆上，则的值为 （）A1BC1或D2或【答案】B【解析】因为点在圆上，故 解得，故选B【易错提醒】对于含有参数的二次的方程是否表示一个圆，是须有条件限制的，即必须满足，且【跟踪练习】1【2018贵州遵义航天高级中学高三上学期第四次模拟】在直角坐标平面内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则的值为 （ ）A B C D【答案】D点睛：（1）当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的
8、系数不能同时为零这一隐含条件（2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论（3）在求直线方程时，如求与直线平行的直线方程可设为，与直线垂直的直线方程可设为，代入条件求出即可2【2018武汉华中师大一附上期末】已知方程表示一个圆，则该圆的半径的取值范围横 【答案】【解析】要使方程表示圆，则，即，整理得，解得，考向2圆的方程求法【例2】【2018湖南永州模拟】已知的三个顶点的坐标分别为，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为 （）ABC D或【答案】D【方法归纳】求圆的方程主要有两种方法：（1）直接法：就是根据条件直接分别求出圆心和半径；（2）待定系数
9、法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得或【例3】【2018内蒙古包头市模拟】过三点的圆的方程为_【答案】【解析】设圆的方程为，其中，将坐标分别代入，分别将代入，得，化简，所以，所以圆的方程是【例4】【2018江苏兴化楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校12月联考】经过点且圆心是直线与直线的交点的圆的标准方程为_【答案】【解析】联立与可得圆心坐标为，由两点间距离公式可得圆的半径为 ，所以圆的标准方程为，故答案为【跟踪练习】1【2018辽宁沈阳四校协作体高三联考】已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（ ）A B C D【答案】D
10、2【2018黑龙江大庆大庆十中、二中、二十三中、二十八中第一次联考】已知A(4，5)、B(6，1)，则以线段AB为直径的圆的方程（ ）A(x1)2(y3)229 B(x1)2(y3)229 C(x1)2(y3)2116 D(x1)2(y3)2116【答案】B【解析】由题可知，则以线段为直径的圆的圆心为：即，半径为，故以线段为直径的圆的方程是，故答案选3【2018云南玉溪质检】圆与直线及，都相切，圆心在直线上，则圆的方程为_【答案】【解析】设圆心坐标为，则有，解得，则，所以圆的方程为考向3圆中的最值、范围问题【例5】【2018山东省临沂模拟】已知点，点是圆： 上的动点，则面积的最大值与最小值之差
11、为_【答案】【解析】由于底边为定值，所以当点P到直线AB距离最大值与最小值时，面积取最大值与最小值，因此面积的最大值与最小值之差为【方法点拨】求与圆相关的最值问题，通常利用两种方法：（1）将已知条件与所求问题充分展示在图形上，利用图形的直观性来解决；（2）根据条件得到关于某一个几何量的函数，通过求函数的最值来处理【跟踪练习】1【2018重庆巴蜀中学模拟】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（）ABCD【答案】D2【2018安徽皖南八校高三第二次（12月）联考】已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】圆的标准方程为，故
12、直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知， ， ，故选A3【2018陕西西安上学期质检】已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是A B C D【答案】C4【2018黑龙江海林朝鲜中学模拟】已知两点， （），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】把圆的方程化为，以为直径的圆的方程为，若曲线上存在点，使得，则两圆有交点，所以，解得 ，选B5【2018“超级全能生”26省9月联考】已知正的边长为，在平面中，动点满足是的中点，则线段的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】如下图，以A点为原点，建立坐标系， ，M(x，y)
13、，由是的中点，可知，得，即点M轨迹满足圆的方程，圆心所以，选A 【点睛】圆上的动点与圆外一定点线段上的比例点的轨迹是圆考向4与圆有关的轨迹问题【例6】【2018宁夏银川一中上学期第四次月考】点是圆上的动点，点与点关于点）对称，则点的轨迹方程是_【答案】【方法点睛】动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律的运动，且动点的轨迹为给定或容易求得，则可先将表示为的式子，再代入的轨迹方程，然而整理得的轨迹方程，代入法也称相关点法一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法【跟踪练习】1【2018河北省冀州市中学高三上开学考试】动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）A BC D【答案】C【解析】设圆上动点，它与定点连线的中点，由中点坐标公式得，所以， 因为在圆满足：，把代入方程得，选C2【2018河南高三12月联考】已知点， 是圆： 上任意一点，若线段的中点的轨迹方程为，则的值为（ ）
